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Lagen, Abstände, Winkel

Drohnen, Hänge, Flugbahnen — zwei Aufgaben zu Lage und Abstand im Raum.

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Drohne über dem Hang

AFB I–II

Ein ebener Hang liegt in der Ebene \(H:\ 2x_1+x_2+2x_3=12\) (Angaben in Metern). Eine Drohne schwebt im Punkt \(D(6\,|\,3\,|\,6)\).

  1. Überprüfen Sie, ob der Punkt \(Q(3\,|\,2\,|\,2)\) auf dem Hang liegt.
  2. Berechnen Sie den Abstand der Drohne vom Hang.
  3. Bestimmen Sie den Punkt des Hangs, der der Drohne am nächsten ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Punktprobe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Hessesche Normalform, \(\lvert\vec n\rvert=3\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Lotgerade durch D mit Richtung \(\vec n\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(6+2+4=12\) — \(Q\) liegt auf dem Hang.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(d=\dfrac{\lvert12+3+12-12\rvert}{3}=\dfrac{15}{3}=5\) m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\ell:\ \vec x=(6+2r\,|\,3+r\,|\,6+2r)\). Einsetzen: \(2(6+2r)+(3+r)+2(6+2r)=27+9r=12\Rightarrow r=-\tfrac53\). \(F\left(\tfrac83\,\big|\,\tfrac43\,\big|\,\tfrac83\right)\). Kontrolle: \(\lvert\overrightarrow{DF}\rvert=\tfrac53\cdot3=5\).

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Zwei Flugbahnen

AFB II–III

Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig auf den Bahnen \(f_1:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(f_2:\ \vec x=\begin{pmatrix}10\\0\\9\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\) (\(t\) in Minuten, Koordinaten in km). Die Flugsicherung verlangt einen senkrechten Mindestabstand von 1 km zwischen kreuzenden Bahnen.

  1. Weisen Sie nach, dass die Bahnen windschief sind.
  2. Ermitteln Sie den Abstand der beiden Bahnen.
  3. Interpretieren Sie, ob sich die Flugzeuge wirklich so nahe kommen.
  4. Bewerten Sie die Situation im Hinblick auf die Vorgabe der Flugsicherung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Richtungsvektoren vergleichen, dann gleichsetzen (verschiedene Parameter!).
Hinweis zu Aufgabe b)
Beide Bahnen verlaufen waagerecht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Bahnen kreuzen über dem Punkt (5 | 5). Wann ist welches Flugzeug dort?
Hinweis zu Aufgabe d)
Mindestabstand genau erreicht — genügt das?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen mit \(r\), \(s\): \(r=10-s\), \(r=s\), \(8=9\) — Widerspruch. Also windschief.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Beide Richtungsvektoren haben \(x_3\)-Komponente 0; die Bahnen liegen in den Ebenen \(x_3=8\) und \(x_3=9\). Der Abstand ist 1 km (gemeinsames Lot in \(x_3\)-Richtung, z. B. über \((5\,|\,5\,|\,8)\) und \((5\,|\,5\,|\,9)\)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f_1\) ist bei \(t=5\) in \((5\,|\,5\,|\,8)\), \(f_2\) ebenfalls bei \(t=5\) in \((5\,|\,5\,|\,9)\). Sie sind also gleichzeitig übereinander — der Abstand von 1 km wird tatsächlich erreicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Vorgabe von 1 km wird genau eingehalten, aber ohne Reserve. Kleine Abweichungen in Höhe oder Zeit würden sie unterschreiten; sinnvoll wäre eine größere Höhendifferenz oder zeitliche Staffelung.