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Lagen, Abstände, Winkel

Treffen sich zwei Flugbahnen — und wenn nicht: Wie knapp gehen sie aneinander vorbei?

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Lage zweier Geraden

Flugbahnen, Seile, Kanten eines Körpers: Bevor ein Abstand oder Winkel berechnet wird, steht die Frage, wie die Objekte zueinander liegen.

  • Schritt 1:Richtungsvektoren vergleichen — sind sie Vielfache voneinander (kollinear)?
  • Kollinear:Stützpunkt von \(h\) in \(g\) einsetzen: liegt er darauf → identisch, sonst echt parallel.
  • Nicht kollinear:gleichsetzen, zwei Zeilen nach \(r\) und \(s\) lösen, dritte Zeile prüfen: stimmt sie → Schnittpunkt, Widerspruch → windschief.
  • Gerade und Ebene:\(g\) in die Koordinatenform einsetzen: eine Lösung → Schnittpunkt, \(0=0\) → \(g\) liegt in \(E\), Widerspruch → parallel.

Schau dir die beiden Geradengleichungen an und tippe die Lage, bevor du prüfst. Nach „Prüfen“ erscheinen die Rechnung und das räumliche Bild.

Wie liegen g und h?

Halte fest: Erst die Richtungsvektoren, dann Punktprobe oder Gleichsetzen. Ob sich zwei nicht parallele Geraden schneiden, entscheidet die dritte Zeile.

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Abstände und Winkel

  • Punkt – Ebene:Hessesche Normalform: Koordinaten von \(P\) einsetzen, durch \(\lvert\vec n\rvert\) teilen.
  • Punkt – Gerade:Lotfußpunkt \(F\) auf \(g\) mit \(\overrightarrow{PF}\cdot\vec u=0\), dann \(d=\lvert\overrightarrow{PF}\rvert\).
  • Windschiefe Geraden:\(\vec n\perp\vec u\) und \(\vec n\perp\vec v\), Hilfsebene durch \(g\) mit Normalenvektor \(\vec n\), dann Abstand eines Punktes von \(h\).
  • Winkel:Geraden: \(\cos\alpha=\frac{\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec v\rvert}\) · Gerade und Ebene: \(\sin\alpha=\frac{\lvert\vec u\cdot\vec n\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec n\rvert}\).

Wie weit ist \(P(4\,|\,1\,|\,5)\) von der Ebene \(E:\ 2x_1-x_2+2x_3=5\) entfernt?

Herleitung:

\(\lvert\vec n\rvert=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3\)
| Betrag
Normalenvektor \((2\,|\,-1\,|\,2)\) aus der Koordinatenform ablesen.
\(d=\dfrac{\lvert2\cdot4-1+2\cdot5-5\rvert}{3}\)
| HNF
Koordinaten von \(P\) in die linke Seite, rechte Seite abziehen.
\(=\dfrac{\lvert12\rvert}{3}\)
| ausrechnen
\(8-1+10-5=12\).
\(d(P,E)=4\)
Ergebnis
\(P\) liegt 4 LE von \(E\) entfernt, und zwar auf der Seite, in die \(\vec n\) zeigt (Zähler positiv).
Merke

Hessesche Normalform: \(d(P,E)=\dfrac{\lvert n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d\rvert}{\lvert\vec n\rvert}\)

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Allgemeine Hinweise

Sinus bei Gerade und Ebene

\(\vec n\) steht senkrecht auf \(E\). Der Kosinus liefert den Winkel zwischen Gerade und \(\vec n\) — der Winkel zur Ebene ist sein Ergänzungswinkel, daher der Sinus.

Parallel ist nicht identisch

Kollineare Richtungsvektoren reichen nicht. Erst die Punktprobe entscheidet zwischen „identisch“ und „echt parallel“.

Erst die Lage, dann der Abstand

Schneiden sich zwei Geraden, ist ihr Abstand null. Abstandsverfahren erst ansetzen, wenn feststeht, dass sie parallel oder windschief sind.

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