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Ableitung und Integral

Rate, Bestand, Stammfunktion: zehn Übungen, in denen Ableiten und Integrieren ineinandergreifen.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Graph von f, Graph von F
AFB I

Der Graph von f hat bei x = 2 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von − nach + und bei x = 4 einen Hochpunkt. F ist eine Stammfunktion von f. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Extremstellen von f werden zu Wendestellen von F, Nullstellen mit Vorzeichenwechsel zu Extremstellen. Ob F selbst bei x = 2 null ist, hängt von der Integrationskonstanten ab — das lässt sich aus f nicht ablesen.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um Stammfunktion, Integralfunktion und Hauptsatz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Stammfunktionen einer Funktion haben dieselbe Form und unterscheiden sich nur in der Höhe; das Integral misst orientierte Flächen.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine Funktion F mit F′ = f heißt von f. Nach dem gilt ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Das Integral misst die Fläche. Um aus einer Änderungsrate einen Bestand zu berechnen, addiert man den . Die Funktion x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt heißt

„Ableitung“ bleibt übrig: Das Integral macht das Ableiten rückgängig — die Ableitung von F ist f, nicht umgekehrt.
A4
Welche Größe steckt im Integral?
AFB I

Die Änderungsrate r(t) ist gegeben. Ordne jede Frage dem passenden Ansatz zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1∫ r(t) dt
2B(0) + ∫ r(t) dt
3r(t) oder r′(t)
Das Integral allein liefert eine Änderung; ein Bestand braucht zusätzlich den Anfangswert. Fragen nach „wie schnell“ zielen auf die Rate selbst.
A5
Blitzrechnung
AFB I

Ein Akku wird mit der Ladeleistung P(t) = 60 − 6t (in W, t in h) für 0 ≤ t ≤ 10 geladen. Wie viel Energie (in Wh) nimmt er in den ersten 4 Stunden auf?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
∫₀⁴ (60 − 6t) dt = [60t − 3t²]₀⁴ = 240 − 48 = 192 Wh. Trick: P ist linear — Mittelwert (60 + 36) : 2 = 48 W mal 4 h.
A6
Integralfunktion untersuchen
AFB II

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, um den Hochpunkt der Integralfunktion I₀(x) = ∫₀ˣ (4 − t²) dt zu bestimmen.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Stammfunktion von 4 − t² bilden: 4t − t³/3
2Grenzen einsetzen: I₀(x) = 4x − x³/3
3Hauptsatz nutzen: I₀′(x) = 4 − x²
4I₀′(x) = 0 lösen: x = 2 (für x > 0)
5Vorzeichenwechsel von + nach − prüfen und I₀(2) = 16/3 angeben
Viele setzen zuerst die Nullstelle von I₀ an. Gesucht ist aber das Extremum — also die Nullstelle der Ableitung I₀′ = f.
A7
Rechenkette
AFB II

Ein Stausee enthält um 0 Uhr 800 000 m³. Der Zufluss beträgt r(t) = 3t² − 24t + 36 (in 1000 m³ pro Stunde, t in h, 0 ≤ t ≤ 8).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Nullstellen von r: kleinere Nullstelle t₁ = h
  2. größere Nullstelle t₂ = h
  3. Änderung von t = 0 bis t = 2 in 1000 m³:
  4. Wassermenge um 2 Uhr in 1000 m³:
Zwischen 2 und 6 Uhr ist r negativ — dort fließt Wasser ab. Um 2 Uhr ist der See deshalb lokal am vollsten; ob das global stimmt, entscheidet der Vergleich mit dem Rand t = 8.
A8
Funktion und Stammfunktion
AFB II

Ordne jeder Funktion eine Stammfunktion zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Probe durch Ableiten: Bei verketteten Termen muss die innere Ableitung beim Integrieren ausgeglichen werden — daher der Faktor ½.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler im Abitur: Integral und Flächeninhalt gleichsetzen, obwohl der Graph die x-Achse schneidet.
A10
Was passiert mit dem Integral?
AFB III

Das Integral ∫₀⁴ f(x) dx ist positiv. Die Funktion oder die Grenzen werden verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird null, 2 = wird kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = wird größer, 5 = verdoppelt sich genau. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird null5 = verdoppelt sich genau
f wird durch 2 · f ersetzt
f wird durch f + 1 ersetzt
Der Graph von f wird um 3 nach rechts verschoben, die Grenzen werden 3 bis 7
f wird durch −f ersetzt und dann das Ergebnis mit −1 multipliziert
Die obere Grenze wird 0
Faktor, Verschiebung und Grenzen wirken wie bei einer Fläche: ein Faktor streckt, eine gemeinsame Verschiebung von Graph und Grenzen ändert nichts, gleiche Grenzen ergeben 0.