MINT lernen

Ableitung und Integral

Aus der Rate den Bestand, aus dem Bestand die Rate — zwei Aufgaben im Stil des Abiturs.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Heizöltank

AFB I–II

Ein Heizöltank enthält am Morgen 2400 Liter. Über den Tag wird Öl entnommen und zeitweise nachgefüllt. Die Änderungsrate des Tankinhalts wird für \(0\le t\le12\) durch \(r(t)=\tfrac{3}{2}t^2-18t+30\) beschrieben (\(t\) in Stunden nach 6 Uhr, \(r\) in Litern pro Stunde).

  1. Geben Sie die Zeitpunkte an, zu denen sich der Tankinhalt nicht ändert.
  2. Berechnen Sie den Tankinhalt um 8 Uhr.
  3. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Tankinhalt am kleinsten ist, und diesen Inhalt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wann ist die Änderungsrate null?
Hinweis zu Aufgabe b)
Anfangsbestand plus Integral der Rate von 0 bis 2.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zwischen den Nullstellen ist r negativ. Randwerte mit prüfen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(r(t)=0\iff t^2-12t+20=0\iff t=2\) oder \(t=10\): um 8 Uhr und um 16 Uhr.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(B(2)=2400+\int_0^2 r(t)\,dt=2400+\left[\tfrac12t^3-9t^2+30t\right]_0^2=2400+(4-36+60)=2428\) Liter.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(2<t<10\) ist \(r<0\), bei \(t=10\) wechselt \(r\) von \(-\) nach \(+\). \(B(10)=2400+\left[\tfrac12t^3-9t^2+30t\right]_0^{10}=2400+(500-900+300)=2300\) Liter um 16 Uhr; \(B(0)=2400\) und \(B(12)=2400+(864-1296+360)=2328\) sind größer. Minimum: 2300 l um 16 Uhr.

2

Tunnelbohrung

AFB II–III

Die Geschwindigkeit einer Tunnelbohrmaschine wird für \(0\le t\le8\) durch \(v(t)=-\tfrac{1}{4}t^2+2t\) beschrieben (\(t\) in Tagen, \(v\) in Metern pro Tag). Die Integralfunktion \(s(x)=\int_0^x v(t)\,dt\) gibt den zurückgelegten Vortrieb an. Ein Ingenieur behauptet: „Weil die Maschine am 4. Tag am schnellsten ist, ist sie am 4. Tag auch am weitesten gekommen.“

  1. Leiten Sie einen Term für \(s(x)\) her.
  2. Untersuchen Sie, an welchem Tag der Vortrieb am stärksten zunimmt, und deuten Sie diesen Punkt am Graphen von s.
  3. Widerlegen Sie die Behauptung des Ingenieurs.
  4. Beurteilen Sie, ob das Modell über \(t=8\) hinaus sinnvoll ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stammfunktion bilden und die Grenzen 0 und x einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Stärkste Zunahme von s heißt: s′ = v maximal. Was ist das für ein Punkt von s?
Hinweis zu Aufgabe c)
Solange v positiv ist, wächst s weiter.
Hinweis zu Aufgabe d)
Was liefert v für t > 8?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s(x)=\left[-\tfrac{1}{12}t^3+t^2\right]_0^x=-\tfrac{1}{12}x^3+x^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v'(t)=-\tfrac12t+2=0\Rightarrow t=4\), \(v(4)=4\) m pro Tag. Dort hat \(s\) eine Wendestelle: \(s''=v'\) wechselt das Vorzeichen; \(s(4)=-\tfrac{64}{12}+16\approx10{,}67\) m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(0<t<8\) ist \(v(t)=t\left(2-\tfrac t4\right)>0\), also wächst \(s\) auf dem ganzen Intervall. Nach 4 Tagen sind es erst etwa 10,67 m, nach 8 Tagen \(s(8)=-\tfrac{512}{12}+64\approx21{,}33\) m. Maximale Geschwindigkeit bedeutet größte Zunahme, nicht größte Strecke.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für \(t>8\) wird \(v(t)<0\): Die Maschine würde rückwärts bohren, der Vortrieb nähme ab. Das ist unrealistisch; das Modell gilt nur für \(0\le t\le8\), danach müsste eine Pause oder ein neues Modell folgen.