MINT lernen

Ableitung und Integral

Die Rate verrät, wie schnell sich etwas ändert — das Integral, wie viel sich angesammelt hat. Im Abitur braucht man beide Richtungen.

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Vom Graphen der Rate zum Bestand

Im Abitur hängen \(f\), eine Stammfunktion \(F\) und oft auch \(f'\) zusammen: Ein Graph ist gegeben, nach einem anderen wird gefragt.

  • Vorzeichen:\(f>0\): \(F\) steigt · \(f<0\): \(F\) fällt.
  • Nullstelle von f:mit Vorzeichenwechsel → Extremstelle von \(F\); von \(+\) nach \(-\) ein Hochpunkt.
  • Extremstelle von f:→ Wendestelle von \(F\): Dort ändert \(F\) am stärksten.
  • Bestand:\(B(t)=B(0)+\int_0^t r(x)\,dx\) — Anfangsbestand plus orientierte Fläche.
  • Einheit:Einheit von \(r\) mal Einheit von \(t\): Personen pro Stunde · Stunden = Personen.

Ein Freizeitpark öffnet um 9 Uhr, 200 Beschäftigte sind schon da. Oben siehst du die Rate \(r\): Personen pro Stunde, die kommen (positiv) oder gehen (negativ). Ziehe die Zeitmarke \(t\) mit der Maus oder den Pfeiltasten und beobachte den Bestand \(B\) darunter.

Vom Zustrom zur Besucherzahl

Halte fest: Unten steht eine Stammfunktion der Rate oben. Wo \(r\) von \(+\) nach \(-\) wechselt, hat \(B\) seinen Hochpunkt; wo \(r\) am größten ist, steigt \(B\) am stärksten.

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Integralfunktion und Hauptsatz

Gegeben ist \(f(t)=6t-3t^2\). Gesucht sind die Integralfunktion \(I_0\) und ihr Hochpunkt.

Herleitung:

\(I_0(x)=\int_0^x\left(6t-3t^2\right)dt\)
| Ansatz
Untere Grenze fest, obere Grenze variabel.
\(=\left[3t^2-t^3\right]_0^x\)
| Stammfunktion
Potenzregel rückwärts: \(6t\to3t^2\), \(3t^2\to t^3\).
\(=3x^2-x^3\)
| Grenzen
Die untere Grenze liefert \(0\).
\(I_0'(x)=6x-3x^2=f(x)\)
| ableiten
Ableiten macht das Integrieren rückgängig — Nullstellen \(0\) und \(2\).
\(H(2\,|\,4)\)
Ergebnis
\(f\) wechselt bei \(x=2\) von \(+\) nach \(-\); \(I_0(2)=12-8=4\).
  • Hauptsatz:\(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) für jede Stammfunktion \(F\).
  • Stammfunktionen:unterscheiden sich nur um eine Konstante; eine Integralfunktion hat bei \(x=a\) immer eine Nullstelle.
  • Rotationskörper:\(V=\pi\int_a^b\bigl(f(x)\bigr)^2dx\) bei Drehung um die \(x\)-Achse.
  • TI-Nspire CAS:menu → 4 Analysis → 3 Integral: \(\int_0^x(6t-3t^2)\,dt\) liefert \(-x^3+3x^2\).
Merke

Hauptsatz: \(I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt\;\Rightarrow\;I_a'(x)=f(x)\)

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Allgemeine Hinweise

Hochpunkt von f ist kein Hochpunkt von F

Wo \(f\) maximal ist, steigt \(F\) am stärksten — dort liegt eine Wendestelle von \(F\), keine Extremstelle.

Nicht jede Stammfunktion ist Integralfunktion

\(F(x)=x^2+1\) ist Stammfunktion von \(2x\), hat aber keine Nullstelle. Also gibt es kein \(a\) mit \(F=I_a\).

Zwei Graphen untereinander skizzieren

\(f\) oben, \(F\) darunter: Nullstellen von \(f\) senkrecht nach unten ziehen, dort die Extrema von \(F\) eintragen, dazwischen steigend oder fallend.

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