Wie zuverlässig läuft die Zustelltour?
AFB IEin Paketdienst untersucht, wie gleichmäßig eine seiner Touren läuft. An acht Werktagen wurde die Zeit \(x\) notiert, die der Zusteller für die gesamte Tour benötigt; es gilt \([x] = \mathrm{min}\) (Material M1).
| Werktag | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dauer in min | 34 | 41 | 38 | 45 | 36 | 43 | 39 | 44 |
- Berechnen Sie das arithmetische Mittel \(\bar x\) und die Spannweite \(\mathrm{Sw}\) der acht Tourdauern.
- Geben Sie zu jedem Wert die Abweichung \(x_i - \bar x\) an und bestätigen Sie, dass die Summe dieser acht Abweichungen null ergibt.
- Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung \(\dfrac{1}{n}\left(|x_1 - \bar x| + \dots + |x_n - \bar x|\right)\) und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\bar x = \dfrac{34 + 41 + 38 + 45 + 36 + 43 + 39 + 44}{8}\,\mathrm{min} = \dfrac{320\,\mathrm{min}}{8} = 40\,\mathrm{min}\).
\(\mathrm{Sw} = x_{\max} - x_{\min} = 45\,\mathrm{min} - 34\,\mathrm{min} = 11\,\mathrm{min}\).
Die Tour dauert im Mittel 40 min; zwischen dem kürzesten und dem längsten Tag liegen 11 min.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Abweichungen \(x_i - \bar x\) lauten der Reihe nach (in min): \(-6\); \(1\); \(-2\); \(5\); \(-4\); \(3\); \(-1\); \(4\).
Die negativen Abweichungen ergeben zusammen \(-6 - 2 - 4 - 1 = -13\), die positiven \(1 + 5 + 3 + 4 = 13\). Insgesamt gilt also \(-13 + 13 = 0\).
Das ist kein Zufall: Werte unterhalb des Mittelwerts liefern negative, Werte oberhalb positive Abweichungen, und beide heben sich vollständig auf.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Beträge der Abweichungen sind 6; 1; 2; 5; 4; 3; 1; 4 (in min) mit der Summe \(6+1+2+5+4+3+1+4 = 26\).
\(\dfrac{26\,\mathrm{min}}{8} = 3{,}25\,\mathrm{min}\).
Ein einzelner Tag weicht also typischerweise um etwa \(3{,}25\,\mathrm{min}\) von der mittleren Tourdauer von 40 min ab. Anders als die Spannweite benutzt dieser Wert alle acht Messungen und nicht nur die beiden Randtage.
Zwei Zulieferer für Zugfedern
AFB IIEin Fahrradhersteller bezieht Zugfedern von zwei Zulieferern. Geprüft wird die Kraft \(x\), die nötig ist, um eine Feder um einen Zentimeter zu dehnen; es gilt \([x] = \mathrm{N}\). Der Sollwert beträgt 52 N. Aus jeder Lieferung wurden acht Federn zufällig entnommen und geprüft (Material M1). Der Einkauf notiert: „Beide Lieferungen liegen im selben Bereich, also sind beide Zulieferer gleich gut.“
| Zulieferer | Messwerte in N (aufsteigend geordnet) |
|---|---|
| Zulieferer A | 48 · 50 · 51 · 52 · 52 · 53 · 54 · 56 |
| Zulieferer B | 48 · 48 · 49 · 52 · 52 · 55 · 56 · 56 |
- Berechnen Sie für beide Lieferungen das arithmetische Mittel und die Spannweite.
- Berechnen Sie für beide Lieferungen die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel.
- Begründen Sie, warum die Spannweite die beiden Lieferungen nicht unterscheiden kann, und erläutern Sie, welche zusätzliche Information die mittlere absolute Abweichung liefert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zulieferer A: \(\bar x_A = \dfrac{48+50+51+52+52+53+54+56}{8}\,\mathrm{N} = \dfrac{416\,\mathrm{N}}{8} = 52\,\mathrm{N}\), \(\mathrm{Sw}_A = 56\,\mathrm{N} - 48\,\mathrm{N} = 8\,\mathrm{N}\).
Zulieferer B: \(\bar x_B = \dfrac{48+48+49+52+52+55+56+56}{8}\,\mathrm{N} = \dfrac{416\,\mathrm{N}}{8} = 52\,\mathrm{N}\), \(\mathrm{Sw}_B = 56\,\mathrm{N} - 48\,\mathrm{N} = 8\,\mathrm{N}\).
Beide Lieferungen haben denselben Mittelwert 52 N — genau den Sollwert — und dieselbe Spannweite 8 N.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zulieferer A: Die Abweichungen lauten \(-4\); \(-2\); \(-1\); \(0\); \(0\); \(1\); \(2\); \(4\) (in N), ihre Beträge ergeben \(4+2+1+0+0+1+2+4 = 14\). Damit ist die mittlere absolute Abweichung \(\dfrac{14\,\mathrm{N}}{8} = 1{,}75\,\mathrm{N}\).
Zulieferer B: Die Abweichungen lauten \(-4\); \(-4\); \(-3\); \(0\); \(0\); \(3\); \(4\); \(4\) (in N), ihre Beträge ergeben \(4+4+3+0+0+3+4+4 = 22\), also \(\dfrac{22\,\mathrm{N}}{8} = 2{,}75\,\mathrm{N}\).
Die Federn von B weichen im Mittel um rund \(57\,\%\) stärker vom Sollwert ab als die von A, denn \(\dfrac{2{,}75}{1{,}75}\approx 1{,}57\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
In die Spannweite gehen ausschließlich \(x_{\min}\) und \(x_{\max}\) ein. Beide Lieferungen haben zufällig dieselben Randwerte 48 N und 56 N; alles, was zwischen diesen Rändern geschieht, bleibt unberücksichtigt. Deshalb liefert die Spannweite hier zwangsläufig zweimal denselben Wert 8 N, obwohl die Lieferungen verschieden sind. Auch der Mittelwert hilft nicht weiter, denn er ist in beiden Fällen 52 N: Er sagt, wo die Werte liegen, nicht wie weit sie auseinanderliegen.
Die mittlere absolute Abweichung benutzt dagegen alle acht Messwerte. Sie zeigt, dass sich die Federn von A dicht um den Sollwert drängen (vier Werte liegen höchstens 1 N daneben), während bei B sechs der acht Werte mindestens 3 N vom Sollwert entfernt liegen — die Werte häufen sich dort an den Rändern. Die Notiz des Einkaufs ist damit nicht haltbar: Zulieferer A fertigt gleichmäßiger, was für die Federung des Fahrrads entscheidend ist.
Pegelstände und die Summe der Abweichungen
AFB IIAn einem Flusspegel wird an sechs aufeinanderfolgenden Tagen der Wasserstand \(x\) mit \([x] = \mathrm{cm}\) abgelesen (Material M1). Ein Praktikant schlägt vor, als Maß für die Schwankung des Wasserstands den Durchschnitt der Abweichungen \(x_i - \bar x\) zu verwenden.
| Tag | Mo | Di | Mi | Do | Fr | Sa |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wasserstand in cm | 182 | 175 | 190 | 168 | 186 | 179 |
- Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die sechs Abweichungen \(x_i - \bar x\) sowie deren Summe.
- Leiten Sie allgemein her, dass die Summe \((x_1 - \bar x) + (x_2 - \bar x) + \dots + (x_n - \bar x)\) für jeden Datensatz null ist.
- Erklären Sie mithilfe des Ergebnisses aus b), warum der Vorschlag des Praktikanten unbrauchbar ist, und berechnen Sie stattdessen die mittlere absolute Abweichung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\bar x = \dfrac{182+175+190+168+186+179}{6}\,\mathrm{cm} = \dfrac{1\,080\,\mathrm{cm}}{6} = 180\,\mathrm{cm}\).
Die Abweichungen lauten (in cm): \(182-180 = 2\); \(175-180 = -5\); \(190-180 = 10\); \(168-180 = -12\); \(186-180 = 6\); \(179-180 = -1\).
Summe: \(2 - 5 + 10 - 12 + 6 - 1 = 0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Es gilt
\((x_1 - \bar x) + \dots + (x_n - \bar x) = (x_1 + \dots + x_n) - n\cdot\bar x\),
denn der Summand \(\bar x\) tritt genau \(n\)-mal auf. Nach Definition des arithmetischen Mittels ist \(\bar x = \dfrac{x_1 + \dots + x_n}{n}\) und damit \(n\cdot\bar x = x_1 + \dots + x_n\).
Eingesetzt ergibt sich \((x_1 + \dots + x_n) - (x_1 + \dots + x_n) = 0\).
Die Summe der Abweichungen ist also für jeden Datensatz null, unabhängig davon, wie weit die Werte auseinanderliegen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Durchschnitt der Abweichungen ist \(\dfrac{0}{n} = 0\) — und zwar immer. Ein Pegel, der zwischen 179 cm und 181 cm schwankt, erhielte denselben Wert 0 wie ein Pegel, der zwischen 100 cm und 260 cm schwankt. Die vorgeschlagene Kennzahl kann also gar nicht zwischen ruhigem und stark schwankendem Wasserstand unterscheiden und ist als Streuungsmaß unbrauchbar.
Der Ausweg besteht darin, die Vorzeichen zu beseitigen. Mit den Beträgen 2; 5; 10; 12; 6; 1 (in cm) und ihrer Summe \(2+5+10+12+6+1 = 36\) ergibt sich
\(\dfrac{36\,\mathrm{cm}}{6} = 6\,\mathrm{cm}\).
Der Wasserstand weicht an einem einzelnen Tag also typischerweise um etwa 6 cm von seinem Mittel von 180 cm ab. Ein zweiter Weg, die Vorzeichen loszuwerden, ist das Quadrieren; er führt auf die empirische Varianz.
Welche Springerin wird nominiert?
AFB IIIZwei Leichtathletinnen bewerben sich um einen Startplatz im Weitsprung. Im Training wurde von beiden die Sprungweite \(x\) mit \([x] = \mathrm{cm}\) bei je sechs gültigen Versuchen gemessen (Material M1). Die Trainerin sagt: „Beide springen im Mittel gleich weit, also ist es egal, wen wir nominieren.“
| Springerin | V1 | V2 | V3 | V4 | V5 | V6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nele | 600 | 604 | 602 | 608 | 606 | 610 |
| Marie | 588 | 596 | 604 | 612 | 620 | 610 |
- Berechnen Sie für beide Springerinnen das arithmetische Mittel, die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung.
- Beurteilen Sie anhand Ihrer Ergebnisse, welche der beiden Springerinnen zuverlässiger springt.
- Entscheiden Sie begründet, wen die Trainerin nominieren sollte — einmal für einen Wettkampf, in dem nur der beste von drei Versuchen zählt, und einmal für einen Mehrkampf, in dem eine Qualifikationsnorm von 6,00 m in jedem Versuch erreicht werden muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nele: \(\bar x = \dfrac{600+604+602+608+606+610}{6}\,\mathrm{cm} = \dfrac{3\,630\,\mathrm{cm}}{6} = 605\,\mathrm{cm}\); \(\mathrm{Sw} = 610\,\mathrm{cm} - 600\,\mathrm{cm} = 10\,\mathrm{cm}\). Die Abweichungen sind \(-5\); \(-1\); \(-3\); \(3\); \(1\); \(5\) (in cm), die Summe ihrer Beträge ist \(5+1+3+3+1+5 = 18\), also mittlere absolute Abweichung \(\dfrac{18\,\mathrm{cm}}{6} = 3\,\mathrm{cm}\).
Marie: \(\bar x = \dfrac{588+596+604+612+620+610}{6}\,\mathrm{cm} = \dfrac{3\,630\,\mathrm{cm}}{6} = 605\,\mathrm{cm}\); \(\mathrm{Sw} = 620\,\mathrm{cm} - 588\,\mathrm{cm} = 32\,\mathrm{cm}\). Die Abweichungen sind \(-17\); \(-9\); \(-1\); \(7\); \(15\); \(5\) (in cm), die Summe ihrer Beträge ist \(17+9+1+7+15+5 = 54\), also \(\dfrac{54\,\mathrm{cm}}{6} = 9\,\mathrm{cm}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Trainerin hat recht, was den Mittelwert angeht: Beide springen im Mittel 605 cm. Ihr Schluss ist trotzdem falsch, denn die Streuung unterscheidet sich deutlich.
Neles Spannweite beträgt nur 10 cm, Maries dagegen 32 cm — das Dreifache. Auch die mittlere absolute Abweichung, die alle sechs Versuche einbezieht, trennt beide klar: 3 cm gegenüber 9 cm. Neles Versuche liegen also typischerweise dreimal dichter am eigenen Mittel.
Nele springt damit zuverlässiger: Ihre schwächsten Versuche fallen kaum ab (600 cm), während Marie zweimal unter 600 cm bleibt (588 cm und 596 cm). Das Urteil stützt sich auf die mittlere absolute Abweichung, weil sie im Gegensatz zur Spannweite nicht von zwei einzelnen Versuchen abhängt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Wettkampf mit dem besten von drei Versuchen: Hier zählt allein der weiteste Sprung, schwache Versuche bleiben folgenlos. Marie hat mit 620 cm die größte Trainingsweite überhaupt und erreicht in zwei von sechs Versuchen mindestens 612 cm, während Nele nie über 610 cm hinauskommt. Gerade die große Streuung erhöht Maries Chance auf einen Ausreißer nach oben. Zu nominieren ist deshalb Marie.
Mehrkampf mit einer Norm von 6,00 m in jedem Versuch: Jetzt schadet jede Schwankung nach unten. Nele erreicht die Norm in allen sechs Versuchen (Minimum 600 cm), Marie dagegen nur in vier von sechs, also in rund \(67\,\%\) der Versuche. Zu nominieren ist deshalb Nele.
Beide Entscheidungen beruhen auf denselben Daten. Welche Kennzahl den Ausschlag gibt, hängt vom Ziel ab: Bei einem Maß wie „bester Versuch“ ist große Streuung ein Vorteil, bei einer Mindestanforderung ein Risiko. Der gemeinsame Mittelwert von 605 cm allein trägt in keinem der beiden Fälle eine Entscheidung.
Eine Zeitungsmeldung über zwei Notaufnahmen
AFB IIIEine Regionalzeitung berichtet über die Wartezeiten in den Notaufnahmen zweier Kliniken: „In beiden Häusern liegen die Wartezeiten zwischen 5 und 65 Minuten. Die Versorgung ist also in beiden Kliniken gleich gut.“ Zugrunde liegen je zehn zufällig ausgewählte Patientinnen und Patienten eines Abends; gemessen wurde die Wartezeit \(x\) mit \([x] = \mathrm{min}\) (Material M1).
| Klinik | Wartezeiten in min |
|---|---|
| Klinik A | 5 · 10 · 12 · 14 · 15 · 16 · 18 · 20 · 25 · 65 |
| Klinik B | 5 · 15 · 20 · 20 · 35 · 40 · 45 · 50 · 55 · 65 |
- Berechnen Sie für beide Kliniken das arithmetische Mittel, die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung.
- Untersuchen Sie, wie sich Mittelwert und Spannweite jeder Klinik ändern, wenn der jeweils größte Wert von 65 min gestrichen wird.
- Beurteilen Sie die Aussage der Zeitung und entwickeln Sie einen Vorschlag, welche Angaben die Redaktion stattdessen veröffentlichen sollte.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Klinik A: \(\bar x_A = \dfrac{200\,\mathrm{min}}{10} = 20\,\mathrm{min}\), \(\mathrm{Sw}_A = 65\,\mathrm{min} - 5\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{min}\). Die Beträge der Abweichungen sind 15; 10; 8; 6; 5; 4; 2; 0; 5; 45 (in min) mit der Summe 100, also mittlere absolute Abweichung \(\dfrac{100\,\mathrm{min}}{10} = 10\,\mathrm{min}\).
Klinik B: \(\bar x_B = \dfrac{350\,\mathrm{min}}{10} = 35\,\mathrm{min}\), \(\mathrm{Sw}_B = 65\,\mathrm{min} - 5\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{min}\). Die Beträge der Abweichungen sind 30; 20; 15; 15; 0; 5; 10; 15; 20; 30 (in min) mit der Summe 160, also \(\dfrac{160\,\mathrm{min}}{10} = 16\,\mathrm{min}\).
Die Spannweiten stimmen überein, Mittelwert und mittlere absolute Abweichung nicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Klinik A ohne den Wert 65: \(\bar x = \dfrac{200 - 65}{9}\,\mathrm{min} = \dfrac{135\,\mathrm{min}}{9} = 15\,\mathrm{min}\), \(\mathrm{Sw} = 25\,\mathrm{min} - 5\,\mathrm{min} = 20\,\mathrm{min}\).
Klinik B ohne den Wert 65: \(\bar x = \dfrac{350 - 65}{9}\,\mathrm{min} = \dfrac{285\,\mathrm{min}}{9} \approx 31{,}67\,\mathrm{min}\), \(\mathrm{Sw} = 55\,\mathrm{min} - 5\,\mathrm{min} = 50\,\mathrm{min}\).
Bei Klinik A fällt die Spannweite von 60 min auf 20 min, also auf ein Drittel; bei Klinik B nur von 60 min auf 50 min. Die gemeinsame Spannweite von 60 min beruht bei A auf einem einzigen langen Wartefall, bei B dagegen auf einer tatsächlich breiten Verteilung. Der Mittelwert reagiert in beiden Fällen deutlich schwächer (Abnahme um 5 min bzw. rund 3,3 min).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die erste Hälfte der Aussage ist richtig: Beide Datensätze haben tatsächlich die Spanne von 5 min bis 65 min. Der Schluss auf gleiche Versorgung ist dagegen nicht haltbar, und zwar aus zwei Gründen.
Erstens unterscheiden sich die Mittelwerte erheblich: 20 min gegenüber 35 min. In Klinik B wartet man im Mittel fast doppelt so lange. Zweitens sagt eine gleiche Spannweite nichts über die Streuung: Die mittlere absolute Abweichung beträgt 10 min bei A und 16 min bei B, und Teilaufgabe b) zeigt, dass die 60 min bei Klinik A allein von einem Ausreißer stammen. In A warten acht von zehn Personen höchstens 20 min, in B nur vier von zehn.
Vorschlag: Die Redaktion sollte erstens den Mittelwert beider Kliniken nennen, zweitens ein Streuungsmaß angeben, das alle Werte einbezieht (mittlere absolute Abweichung oder, nach den folgenden Abschnitten, die Standardabweichung), drittens auf den Ausreißer in Klinik A ausdrücklich hinweisen und viertens den Stichprobenumfang \(n = 10\) sowie den Erhebungszeitpunkt angeben — zehn Wartezeiten eines einzigen Abends erlauben ohnehin keine Aussage über die Versorgungsqualität einer Klinik. Erst mit diesen Angaben kann die Leserschaft die Zahlen selbst einordnen.