Textaufgaben: Die empirische Standardabweichung

\(\bar x = \dfrac{21+21+22+23+25+25+27+28+29+29}{10}\,\mathrm{^\circ C} = \dfrac{250\,\mathrm{^\circ C}}{10} = 25\,\mathrm{^\circ C}\).

Die Abweichungen lauten \(-4\); \(-4\); \(-3\); \(-2\); \(0\); \(0\); \(2\); \(3\); \(4\); \(4\), ihre Quadrate \(16\); \(16\); \(9\); \(4\); \(0\); \(0\); \(4\); \(9\); \(16\); \(16\) mit der Summe \(90\).

\(\bar s^{\,2} = \dfrac{90\,\mathrm{^\circ C}^2}{10} = 9\,\mathrm{^\circ C}^2\).

\(\bar s = \sqrt{\bar s^{\,2}} = \sqrt{9\,\mathrm{^\circ C}^2} = 3\,\mathrm{^\circ C}\).

Die Einheit ist \(\mathrm{^\circ C}\), also dieselbe wie bei den Messwerten und beim arithmetischen Mittel.

Die Mittagstemperatur beträgt im Mittel \(25\,\mathrm{^\circ C}\), und ein einzelner Tag weicht davon typischerweise um etwa \(\pm\,3\,\mathrm{^\circ C}\) ab. Das Band von \(\bar x - \bar s = 22\,\mathrm{^\circ C}\) bis \(\bar x + \bar s = 28\,\mathrm{^\circ C}\) enthält sechs der zehn Messwerte; die übrigen vier (zweimal 21 °C und zweimal 29 °C) liegen außerhalb.

Der Mittelwert allein genügt nicht, weil er nur sagt, wo die Temperaturen ungefähr liegen, nicht aber, wie weit sie schwanken. Ein Gewächshaus mit konstant 25 °C und eines, das zwischen 15 °C und 35 °C pendelt, hätten denselben Mittelwert — für die Pflanzen wäre der Unterschied entscheidend. Hier zeigt \(\bar s = 3\,\mathrm{^\circ C}\), dass die Schwankungen noch moderat sind: Selbst die Extremwerte 21 °C und 29 °C liegen innerhalb des verträglichen Bereichs. Würde \(\bar s\) auf etwa \(5\,\mathrm{^\circ C}\) steigen, wäre bei gleichem Mittelwert regelmäßig mit Werten unter 20 °C und über 30 °C zu rechnen, und die Lüftung müsste früher eingreifen.

Kurs A: \(\bar x_A = \dfrac{600\,\mathrm{Punkte}}{10} = 60\,\mathrm{Punkte}\). Die Abweichungen sind \(-8\); \(-5\); \(-3\); \(-2\); \(0\); \(0\); \(2\); \(3\); \(5\); \(8\), ihre Quadrate \(64\); \(25\); \(9\); \(4\); \(0\); \(0\); \(4\); \(9\); \(25\); \(64\) mit der Summe \(204\). Damit ist \(\bar s^{\,2}_A = \dfrac{204}{10} = 20{,}4\,\mathrm{Punkte}^2\) und \(\bar s_A = \sqrt{20{,}4}\approx 4{,}52\,\mathrm{Punkte}\).

Kurs B: \(\bar x_B = \dfrac{660\,\mathrm{Punkte}}{10} = 66\,\mathrm{Punkte}\). Die Abweichungen sind \(-20\); \(-15\); \(-10\); \(-5\); \(0\); \(0\); \(5\); \(10\); \(15\); \(20\), ihre Quadrate \(400\); \(225\); \(100\); \(25\); \(0\); \(0\); \(25\); \(100\); \(225\); \(400\) mit der Summe \(1\,500\). Damit ist \(\bar s^{\,2}_B = \dfrac{1\,500}{10} = 150\,\mathrm{Punkte}^2\) und \(\bar s_B = \sqrt{150}\approx 12{,}25\,\mathrm{Punkte}\).

Lage: Kurs B liegt mit 66 Punkten im Mittel sechs Punkte über Kurs A mit 60 Punkten.

Streuung: Kurs A hat \(\bar s_A \approx 4{,}52\,\mathrm{Punkte}\), Kurs B dagegen \(\bar s_B \approx 12{,}25\,\mathrm{Punkte}\) — fast das Dreifache.

Das Band \(\bar x \pm \bar s\) reicht in Kurs A von rund 55,5 bis 64,5 Punkten, in Kurs B dagegen von rund 53,8 bis 78,2 Punkten. Kurs A ist also leistungsmäßig sehr einheitlich, Kurs B sehr uneinheitlich: Dort stehen 86 Punkte neben 46 Punkten, während in Kurs A alle Ergebnisse zwischen 52 und 68 Punkten liegen.

Die Fachkonferenz betrachtet nur die Lage. Richtig ist, dass der Mittelwert in Kurs B höher liegt. Dieser höhere Mittelwert entsteht jedoch vor allem durch die Spitzengruppe: Vier Mitglieder von Kurs B erreichen 71 Punkte oder mehr, während in Kurs A niemand über 68 Punkte kommt. Am unteren Ende ist das Bild umgekehrt: Die schwächsten Ergebnisse in Kurs B sind 46 und 51 Punkte und liegen damit unter dem schwächsten Ergebnis aus Kurs A (52 Punkte). Der Satz „Kurs B ist der stärkere Kurs“ verdeckt also, dass gerade dort der größte Förderbedarf besteht.

Vollständige Aussage: „Kurs B erreicht mit \(\bar x_B = 66\,\mathrm{Punkten}\) ein höheres mittleres Ergebnis als Kurs A mit \(\bar x_A = 60\,\mathrm{Punkten}\), streut mit \(\bar s_B \approx 12{,}25\,\mathrm{Punkten}\) gegenüber \(\bar s_A \approx 4{,}52\,\mathrm{Punkten}\) aber fast dreimal so stark. Kurs B ist im Mittel stärker, aber deutlich uneinheitlicher; Fördermaßnahmen wären dort gezielt auf die schwächeren Mitglieder zu richten.“

Zwei Kennzahlen sind hier also unverzichtbar: Erst Mittelwert und Standardabweichung zusammen beschreiben einen Datensatz brauchbar.

Straße 1: \(\bar x_1 = \dfrac{19{,}7+19{,}9+20{,}0+20{,}1+20{,}3}{5}\,\mathrm{mm} = \dfrac{100{,}0\,\mathrm{mm}}{5} = 20{,}0\,\mathrm{mm}\). Die Abweichungen sind \(-0{,}3\); \(-0{,}1\); \(0\); \(0{,}1\); \(0{,}3\), ihre Quadrate \(0{,}09\); \(0{,}01\); \(0\); \(0{,}01\); \(0{,}09\) mit der Summe \(0{,}20\). Damit ist \(\bar s^{\,2}_1 = \dfrac{0{,}20\,\mathrm{mm}^2}{5} = 0{,}04\,\mathrm{mm}^2\) und \(\bar s_1 = \sqrt{0{,}04\,\mathrm{mm}^2} = 0{,}2\,\mathrm{mm}\).

Straße 2: \(\bar x_2 = \dfrac{198+199+200+201+202}{5}\,\mathrm{mm} = \dfrac{1\,000\,\mathrm{mm}}{5} = 200\,\mathrm{mm}\). Die Abweichungen sind \(-2\); \(-1\); \(0\); \(1\); \(2\), ihre Quadrate \(4\); \(1\); \(0\); \(1\); \(4\) mit der Summe \(10\). Damit ist \(\bar s^{\,2}_2 = \dfrac{10\,\mathrm{mm}^2}{5} = 2\,\mathrm{mm}^2\) und \(\bar s_2 = \sqrt{2\,\mathrm{mm}^2} \approx 1{,}414\,\mathrm{mm}\).

Straße 1: \(\dfrac{\bar s_1}{\bar x_1} = \dfrac{0{,}2\,\mathrm{mm}}{20{,}0\,\mathrm{mm}} = 0{,}01 = 1{,}00\,\%\).

Straße 2: \(\dfrac{\bar s_2}{\bar x_2} = \dfrac{1{,}414\,\mathrm{mm}}{200\,\mathrm{mm}} \approx 0{,}00707 \approx 0{,}71\,\%\).

Die Einheit Millimeter kürzt sich in beiden Brüchen heraus; der Variationskoeffizient ist deshalb einheitenlos und für beliebige Merkmale vergleichbar.

Relativ zur Größe der Werkstücke arbeitet Straße 2 genauer: Ihr Variationskoeffizient beträgt rund \(0{,}71\,\%\) gegenüber \(1{,}00\,\%\) bei Straße 1. Eine Welle weicht also im Verhältnis zu ihrem Durchmesser nur etwa \(0{,}7\,\%\) ab, ein Bolzen dagegen \(1{,}0\,\%\) — obwohl die Welle absolut gesehen mit \(1{,}414\,\mathrm{mm}\) etwa siebenmal so stark streut wie der Bolzen mit \(0{,}2\,\mathrm{mm}\).

Der Betriebsleiter vergleicht nur die beiden Standardabweichungen. Diese tragen zwar dieselbe Einheit, gehören aber zu Merkmalen ganz verschiedener Größenordnung. Eine Abweichung von 1 mm ist bei einem 20 mm dicken Bolzen ein grober Fehler von \(5\,\%\), bei einer 200 mm dicken Welle dagegen nur \(0{,}5\,\%\) und in vielen Anwendungen unerheblich. Wer beide Zahlen unmittelbar nebeneinanderstellt, vergleicht also Ungleiches.

Der Variationskoeffizient \(\dfrac{\bar s}{\bar x}\) behebt das, indem er die Streuung an der Größenordnung des Merkmals misst. Er ist immer dann das passende Maß, wenn Datensätze mit sehr verschiedenen Mittelwerten oder verschiedenen Merkmalen verglichen werden sollen; sinnvoll ist er allerdings nur bei positiven Mittelwerten, denn für \(\bar x\) nahe null würde der Quotient beliebig groß.

\(\bar x = \dfrac{42+45+44+46+43+45+43+92}{8}\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3 = \dfrac{400}{8}\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3 = 50\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\).

Die quadrierten Abweichungen sind \(64\); \(25\); \(36\); \(16\); \(49\); \(25\); \(49\); \(1\,764\) mit der Summe \(2\,028\).

\(\bar s^{\,2} = \dfrac{2\,028}{8} = 253{,}5\) und \(\bar s = \sqrt{253{,}5} \approx 15{,}92\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\).

Allein der Wert 92 liefert \(1\,764\) der \(2\,028\) Einheiten der Quadratsumme, also rund \(87\,\%\).

Ohne den Wert 92: \(\bar x = \dfrac{308}{7}\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3 = 44\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\).

Die quadrierten Abweichungen sind \(4\); \(1\); \(0\); \(4\); \(1\); \(1\); \(1\) mit der Summe \(12\), also \(\bar s^{\,2} = \dfrac{12}{7} \approx 1{,}71\) und \(\bar s = \sqrt{\tfrac{12}{7}} \approx 1{,}31\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\).

Vergleich: Der Mittelwert sinkt von \(50\) auf \(44\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\), also um \(12\,\%\). Die Standardabweichung fällt dagegen von \(15{,}92\) auf \(1{,}31\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\), also auf weniger als ein Zehntel. Ursache ist das Quadrieren: Ein einzelner weit entfernter Wert liefert einen sehr großen Beitrag unter der Wurzel, während er beim Mittelwert nur mit dem Gewicht \(\tfrac{1}{n}\) eingeht. Bezogen auf die sieben übrigen Werte liegt 92 rund \(\dfrac{92-44}{1{,}31} \approx 37\) Standardabweichungen über deren Mittel — ein Abstand, der bei einer echten Messung praktisch ausgeschlossen ist.

Entscheidung: Der Wert 92 darf aus der Auswertung entfernt werden, aber nicht, weil er groß ist, sondern weil das Wartungsprotokoll für genau diese Stunde einen Spannungseinbruch am Messgerät dokumentiert. Es liegt damit ein von den Daten unabhängiger, sachlicher Beleg dafür vor, dass der Wert keine Ozonkonzentration misst, sondern eine Gerätestörung abbildet. Zusätzlich stützt die Rechnung aus b) diese Deutung: Eine Verdopplung der Konzentration innerhalb einer Stunde bei sonst völlig ruhigem Verlauf ist physikalisch unplausibel.

Ohne den Protokolleintrag wäre die Streichung dagegen unzulässig. Ein Wert nur deshalb zu entfernen, weil er die Standardabweichung groß macht, hieße, das Ergebnis der eigenen Erwartung anzupassen — gerade Extremwerte können die wichtigste Information eines Datensatzes sein, etwa eine kurzzeitige Ozonspitze.

Regel: Ein auffälliger Wert wird zuerst als Ausreißer gekennzeichnet, aber nicht gelöscht. Entfernt werden darf er nur, wenn eine von den Daten unabhängige Ursache belegt ist (Gerätefehler, Protokollfehler, falsche Einheit). Jede Streichung ist zu dokumentieren, und beide Auswertungen — mit und ohne den Wert — sind anzugeben, damit die Wirkung der Entscheidung nachprüfbar bleibt. Zusätzlich sollte neben \(\bar x\) und \(\bar s\) auch der Median genannt werden, der auf einzelne Extremwerte kaum reagiert.

Anlage 1: \(\bar x_1 = \dfrac{10\,000\,\mathrm{ml}}{10} = 1\,000\,\mathrm{ml}\). Die Abweichungen sind \(-12\); \(-8\); \(-5\); \(-2\); \(0\); \(1\); \(3\); \(6\); \(8\); \(9\), ihre Quadrate \(144\); \(64\); \(25\); \(4\); \(0\); \(1\); \(9\); \(36\); \(64\); \(81\) mit der Summe \(428\). Damit ist \(\bar s^{\,2}_1 = \dfrac{428\,\mathrm{ml}^2}{10} = 42{,}8\,\mathrm{ml}^2\) und \(\bar s_1 = \sqrt{42{,}8}\approx 6{,}54\,\mathrm{ml}\).

Anlage 2: \(\bar x_2 = \dfrac{10\,060\,\mathrm{ml}}{10} = 1\,006\,\mathrm{ml}\). Die Abweichungen sind \(-3\); \(-2\); \(-1\); \(0\); \(0\); \(0\); \(1\); \(1\); \(2\); \(2\), ihre Quadrate \(9\); \(4\); \(1\); \(0\); \(0\); \(0\); \(1\); \(1\); \(4\); \(4\) mit der Summe \(24\). Damit ist \(\bar s^{\,2}_2 = \dfrac{24\,\mathrm{ml}^2}{10} = 2{,}4\,\mathrm{ml}^2\) und \(\bar s_2 = \sqrt{2{,}4}\approx 1{,}55\,\mathrm{ml}\).

Toleranz \(\pm\,15\,\mathrm{ml}\), also der Bereich von 985 ml bis 1015 ml: Bei Anlage 1 liegen alle zehn Werte zwischen 988 ml und 1009 ml, bei Anlage 2 alle zwischen 1003 ml und 1008 ml. Beide Anlagen halten die Toleranz in dieser Stichprobe ein. Anlage 1 tut das allerdings nur knapp: Ihr Band \(\bar x \pm \bar s\) reicht von rund 993,5 ml bis 1006,5 ml, und schon eine Abweichung von gut zwei Standardabweichungen nach unten erreicht die Grenze von 985 ml. Bei Anlage 2 reicht das Band nur von rund 1004,5 ml bis 1007,5 ml; hier wären rund dreizehn Standardabweichungen nötig, um die untere Grenze zu unterschreiten.

Werbeaussage „mindestens ein Liter“: Für Anlage 1 ist sie widerlegt. Vier der zehn gemessenen Flaschen (988; 992; 995 und 998 ml) enthalten weniger als 1000 ml, also \(40\,\%\) der Stichprobe. Dass der Mittelwert genau 1000 ml beträgt, ändert daran nichts: Der Mittelwert sagt nichts über die einzelne Flasche aus, und bei \(\bar s_1 \approx 6{,}54\,\mathrm{ml}\) ist mit Unterschreitungen sogar zu rechnen. Für Anlage 2 trifft die Aussage in der Stichprobe zu: Die kleinste Füllmenge beträgt 1003 ml, und der Abstand vom Mittelwert 1006 ml bis zur Marke 1000 ml beträgt \(\dfrac{6}{1{,}55}\approx 3{,}9\) Standardabweichungen.

Argumente für Anlage 2: Nur mit ihr ist die vorgesehene Werbeaussage haltbar, denn ihr Mittelwert liegt oberhalb der Nennmenge und ihre Streuung ist mit \(\bar s_2 \approx 1{,}55\,\mathrm{ml}\) mehr als viermal kleiner als bei Anlage 1. Zusammen ergibt das einen Sicherheitsabstand von fast vier Standardabweichungen zur Marke von 1000 ml. Anlage 1 würde dagegen regelmäßig Flaschen unter 1000 ml liefern; die Werbeaussage wäre irreführend.

Argument gegen Anlage 2: Sie füllt im Mittel 6 ml zu viel ab. Bei 200 000 Flaschen im Jahr sind das \(200\,000\cdot 6\,\mathrm{ml} = 1\,200\,000\,\mathrm{ml} = 1\,200\,\mathrm{l}\) — also 1200 Liter Saft, die verschenkt werden.

Entscheidung: Die Molkerei sollte Anlage 2 einsetzen. Die kleine Standardabweichung ist der entscheidende Vorteil, denn sie ist die Eigenschaft der Maschine, die sich nicht ohne Weiteres ändern lässt; die systematische Überfüllung dagegen lässt sich durch Nachjustieren des Sollwerts beheben. Stellt man Anlage 2 auf einen Mittelwert von etwa 1004 ml ein, so bleibt bei \(\bar s_2 \approx 1{,}55\,\mathrm{ml}\) immer noch ein Abstand von rund \(2{,}6\) Standardabweichungen zur Marke von 1000 ml, und der jährliche Mehrverbrauch sinkt auf 800 Liter.

Allgemein gilt: Der Mittelwert beschreibt die Einstellung der Maschine und ist korrigierbar, die Standardabweichung beschreibt ihre Präzision und ist es nicht. Eine Entscheidung, die nur auf den Mittelwert schaut — hier auf die exakt getroffenen 1000 ml der Anlage 1 —, würde deshalb die schlechtere Maschine wählen. Anzumerken bleibt, dass zehn Flaschen je Anlage eine sehr kleine Stichprobe sind; vor der Anschaffung sollte mit deutlich mehr Messungen geprüft werden.