Das arithmetische Mittel: Übungen – Mathe Klasse 11

1Summe, Anzahl, MittelwertAFB I

Ein Schulkiosk hat an acht Tagen die Anzahl der verkauften Portionen notiert.

Verkaufte Portionen an acht Schultagen
14	9	12	17	10	16	11	15

Berechnen Sie das arithmetische Mittel Schritt für Schritt.

Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet.

Wie groß ist der Stichprobenumfang \(n\)?
Wie groß ist die Summe aller Messwerte?
Wie groß ist das arithmetische Mittel \(\bar x\)?

\(14+9+12+17+10+16+11+15 = 104\) und \(\bar x = \dfrac{104}{8} = 13\). Im Zähler steht immer die Summe aller Messwerte, im Nenner ihre Anzahl — nie umgekehrt.

2Der Durchschnitt von vier KlausurenAFB I

In vier Klausuren wurden die Punktzahlen \(12;\; 15;\; 9;\; 20\) erreicht.

Berechnen Sie die durchschnittliche Punktzahl.

Trage das arithmetische Mittel ein. Enter prüft.

\(\bar x = \dfrac{12+15+9+20}{4} = \dfrac{56}{4} = 14\). Der Wert 14 kommt in der Messreihe selbst gar nicht vor — ein arithmetisches Mittel muss kein gemessener Wert sein.

3Drei Mittelwerte berechnenAFB II

Berechnen Sie für jede Messreihe das arithmetische Mittel. Dezimalzahlen mit Komma.

Drei Felder, ein Prüfen-Klick.

Messreihe	Werte	\(\bar x\)
A	3; 7; 5; 9
B	2,5; 3,5; 4,0; 1,0; 4,0
C	120; 135; 128; 141; 136; 132

A: \(\dfrac{24}{4} = 6\). B: \(\dfrac{15}{5} = 3\). C: \(\dfrac{792}{6} = 132\). Bei Reihe C lohnt ein Trick: Alle Werte liegen nahe bei 130. Rechnet man nur mit den Abweichungen \(-10; +5; -2; +11; +6; +2\), so ergibt deren Summe 12, geteilt durch 6 also \(+2\) — und \(130 + 2 = 132\).

4Richtig oder falsch?AFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen zum arithmetischen Mittel.

Aussage 1 von 5

Zwei der fünf Aussagen sind falsch — und genau diese beiden Fehler tauchen in Klassenarbeiten am häufigsten auf.

5Mittelwert aus der HäufigkeitstabelleAFB II

In einer Bibliothek wurde erfasst, wie viele Bücher jede Person ausgeliehen hat.

Anzahl der ausgeliehenen Bücher pro Person
Wert \(x\)	0	1	2	3	4
\(H(x)\)	4	7	5	3	1

Berechnen Sie mit Hilfe der Produkte \(x \cdot H(x)\) das arithmetische Mittel.

Acht Felder ausfüllen, dann prüfen.

Zeile	Wert
\(0 \cdot H(0)\)
\(1 \cdot H(1)\)
\(2 \cdot H(2)\)
\(3 \cdot H(3)\)
\(4 \cdot H(4)\)
Summe der Produkte
Stichprobenumfang \(n\)
arithmetisches Mittel \(\bar x\)

Ein Wert, der siebenmal vorkommt, muss auch siebenmal addiert werden — statt ihn siebenmal hinzuschreiben, multipliziert man ihn einmal mit 7. Damit ist \(\bar x = \dfrac{0+7+10+9+4}{4+7+5+3+1} = \dfrac{30}{20} = 1{,}5\). Der Nenner ist die Summe der absoluten Häufigkeiten, nicht die Anzahl der Tabellenspalten — wer durch 5 teilt, erhält fälschlich 6.

6Fünf Messreihen nach ihrem Mittelwert ordnenAFB II

Berechnen Sie jeweils das arithmetische Mittel und ordnen Sie die Reihen vom kleinsten zum größten Mittelwert.

Verschiebe die Zeilen, bis die Reihenfolge stimmt.

13; 3; 3; 3; 8

21; 4; 4; 11

310; 2; 6

45; 7; 9

58; 9; 7; 12

Die Mittelwerte lauten 4 — 5 — 6 — 7 — 9. Die Reihe mit dem größten Einzelwert (11) hat nicht den größten Mittelwert, und die Reihe mit dem kleinsten Einzelwert (1) nicht den kleinsten: Für \(\bar x\) zählen immer alle Werte, nicht die Ränder.

7Den fehlenden Messwert bestimmenAFB II

In fünf Tests wurden die Punktzahlen \(11;\; 14;\; 9;\; 13\) und eine fünfte, noch unbekannte Punktzahl erreicht. Der Durchschnitt aller fünf Tests beträgt genau 12 Punkte.

Berechnen Sie die fehlende Punktzahl.

Trage die fehlende Punktzahl ein.

Aus \(\bar x = \dfrac{\text{Summe}}{n}\) folgt Summe \(= \bar x \cdot n = 12 \cdot 5 = 60\). Die vier bekannten Werte ergeben \(11+14+9+13 = 47\), also fehlen \(60 - 47 = 13\) Punkte. Wer den Mittelwert der vier bekannten Werte bildet (11,75), rechnet an der Aufgabe vorbei.

8Fehlersuche: zwei Gruppen zusammenfassenAFB II

Gruppe A besteht aus 12 Personen mit dem Mittelwert \(\bar x_A = 18\), Gruppe B aus 8 Personen mit \(\bar x_B = 23\). Gesucht ist der Mittelwert aller 20 Personen.

Klicken Sie alle Zeilen an, die einen Fehler enthalten.

Klicke die fehlerhaften Zeilen an.

Die Kontrolle in der letzten Zeile ist richtig und wichtig — sie deckt den Fehler allerdings nicht auf, weil auch 20,5 zwischen 18 und 23 liegt. Entscheidend ist: Die größere Gruppe zieht den Gesamtmittelwert zu sich, hier also näher an 18.

9Eine Messreihe mit vorgegebenem MittelwertAFB II

Stellen Sie auf dem Zahlenstrahl eine Messreihe zusammen, für die gleichzeitig gilt: \(n = 5\), \(\bar x = 6\) und \(S_w = 8\).

Der Mittelwert wird nach jeder Änderung neu berechnet.

Klick auf den Zahlenstrahl setzt einen Messwert, Klick auf einen Punkt wählt ihn aus. Mit der Tastatur: Tab auf einen Punkt, ←/→ verschiebt ihn, Entf löscht ihn.

Die fünf Werte müssen zusammen \(5 \cdot 6 = 30\) ergeben und dabei genau 8 auseinanderliegen. Eine mögliche Lösung ist \(2;\;4;\;6;\;8;\;10\): Summe 30, \(S_w = 10 - 2 = 8\). Es gibt viele weitere, zum Beispiel \(3;\;3;\;7;\;6;\;11\).

10Gleicher Mittelwert, andere WerteAFB II

Berechnen Sie das arithmetische Mittel jeder Karte und ordnen Sie sie dem passenden Korb zu.

Erst eine Karte anklicken, dann den Korb.

1\(\bar x = 6\)

2\(\bar x = 8\)

3\(\bar x = 10\)

Die Summen lauten 18, 24, 16, 32, 20, 40 — geteilt durch 3, 4, 2, 4, 2 bzw. 4. Zwei Reihen mit demselben Mittelwert können sehr unterschiedlich aussehen: 4; 6; 8 liegt eng beieinander, 2; 5; 5; 12 dagegen weit auseinander. Wie stark die Werte streuen, sagt \(\bar x\) nicht.

11Die Formel zusammensetzenAFB I

Setzen Sie die Bausteine so zusammen, dass die Berechnungsvorschrift für das arithmetische Mittel entsteht. Vier Bausteine bleiben übrig.

Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Gesprochen: „x quer ist die Summe aller Messwerte, geteilt durch die Anzahl der Messwerte.“ Die übrig gebliebenen Bausteine ergeben zusammen die Spannweite \(S_w = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\) — eine ganz andere Kennzahl.

12Wie wirkt sich die Änderung aus?AFB II

Gegeben ist die Messreihe \(4;\; 8;\; 9;\; 11;\; 18\) mit \(n = 5\) und \(\bar x = 10\).

Kreuzen Sie an, wie sich das arithmetische Mittel jeweils verändert.

In jeder Zeile genau ein Kreuz.

	\(\bar x\) wird größer	\(\bar x\) wird kleiner	\(\bar x\) bleibt gleich
Der Wert 18 wird durch 23 ersetzt.
Ein weiterer Wert 10 wird ergänzt.
Der Wert 4 wird gestrichen.
Jeder Wert wird um 3 vergrößert.
Der Wert 8 wird durch 12 und gleichzeitig der Wert 11 durch 7 ersetzt.
Ein weiterer Wert 0 wird ergänzt.

Ein zusätzlicher Wert lässt \(\bar x\) genau dann unverändert, wenn er gleich dem bisherigen Mittelwert ist — deshalb ändert die zusätzliche 10 nichts, die zusätzliche 0 dagegen senkt \(\bar x\) auf \(\tfrac{50}{6} \approx 8{,}3\). Beim Streichen der 4 bleibt \(\tfrac{46}{4} = 11{,}5\). Werden zwei Werte um \(+4\) und \(-4\) verändert, bleibt die Summe gleich und damit auch \(\bar x\).

13Mittelwert einstellenAFB II

Fünf Messwerte lauten \(22;\; 31;\; 27;\; 19;\; 26\).

Stellen Sie den Regler auf das arithmetische Mittel dieser Reihe.

Pfeiltasten bewegen den Regler in Einerschritten. Der Wert muss exakt stimmen.

040

\(22+31+27+19+26 = 125\) und \(\dfrac{125}{5} = 25\). Zur schnellen Kontrolle: Der Mittelwert muss zwischen 19 und 31 liegen, und weil drei der fünf Werte zwischen 22 und 27 liegen, ist ein Wert nahe der Mitte zu erwarten.

14Zwei Klassen, ein GesamtmittelAFB III

In der Klasse 11a mit 25 Personen beträgt der Punktedurchschnitt einer Klausur \(\bar x_a = 8{,}4\), in der Klasse 11b mit 15 Personen \(\bar x_b = 10{,}0\).

Berechnen Sie den Punktedurchschnitt beider Klassen zusammen.

Über die Summen, nicht über die Mittelwerte. Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei.

Wie viele Punkte hat die 11a insgesamt erreicht?P
Wie viele Punkte hat die 11b insgesamt erreicht?P
Wie viele Punkte sind das zusammen?P
Wie viele Personen sind es zusammen?
Wie groß ist der gemeinsame Punktedurchschnitt?P

Aus \(\bar x = \dfrac{\text{Summe}}{n}\) folgt Summe \(= \bar x \cdot n\), also \(25 \cdot 8{,}4 = 210\) und \(15 \cdot 10 = 150\). Zusammen: \(\bar x = \dfrac{360}{40} = 9{,}0\). Der ungewichtete Mittelwert \(\dfrac{8{,}4 + 10}{2} = 9{,}2\) wäre zu groß, weil er die kleinere Klasse genauso stark zählen würde wie die größere.

15Was folgt daraus?AFB III

Für dieselbe Situation wie in Aufgabe 14 (11a: 25 Personen, \(\bar x_a = 8{,}4\); 11b: 15 Personen, \(\bar x_b = 10{,}0\)) sind die folgenden Aussagen zu prüfen.

Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus.

Mehrere Antworten sind richtig.

Der gemeinsame Mittelwert wird immer zur größeren Gruppe hin gezogen — hier zur 11a, deshalb 9,0 statt 9,2. Dass jemand genau den Mittelwert erreicht hat, folgt daraus nicht: \(\bar x\) muss kein gemessener Wert sein. Und in der Summe hat die 11a mit 210 Punkten mehr erreicht als die 11b mit 150 — ein höherer Durchschnitt bedeutet nicht die größere Summe.

16Ein Term für den neuen MittelwertAFB III

Fünf Messwerte haben das arithmetische Mittel \(\bar x = 12\). Nun kommt ein sechster Messwert \(x\) hinzu.

Geben Sie einen Term für den neuen Mittelwert in Abhängigkeit von \(x\) an.

Schreibweise: (60+x)/6, Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.

Die fünf bisherigen Werte haben zusammen \(5 \cdot 12 = 60\). Kommt \(x\) hinzu, so lautet die neue Summe \(60 + x\) bei nun sechs Werten: \(\bar x_{\text{neu}} = \dfrac{60 + x}{6} = 10 + \dfrac{x}{6}\). Für \(x = 12\) ergibt sich wieder 12 — ein Wert in Höhe des alten Mittelwerts ändert nichts.

17Messreihe und Mittelwert verbindenAFB II

Verbinden Sie jede Messreihe mit ihrem arithmetischen Mittel. Die Reihen haben unterschiedlich viele Werte — auf den Nenner achten.

Links eine Messreihe anklicken, dann rechts den passenden Mittelwert.

Die Summen sind 24, 35, 16, 40 und 24 — geteilt durch 4, 5, 4, 4 bzw. 3. Die erste und die letzte Reihe haben dieselbe Summe 24, aber verschiedene Mittelwerte, weil sie verschieden viele Werte enthalten.

18Wie stark wirkt der Ausreißer?AFB III

In einem Betrieb verdienen fünf Personen wie folgt:

Monatsgehälter in einem kleinen Betrieb
Person	A	B	C	D	E
Gehalt in €	1900	2000	2100	2400	8000

Das arithmetische Mittel beträgt \(\bar x = 3280\,\text{€}\). Person E wechselt in eine andere Firma; die Nachfolgerin verdient 3000 €.

Berechnen Sie, um wie viele Euro das arithmetische Mittel dadurch sinkt.

Trage die Differenz in Euro ein (nur die Zahl).

Die Summe sinkt um \(8000\,\text{€} - 3000\,\text{€} = 5000\,\text{€}\), und diese Änderung verteilt sich auf alle fünf Werte: \(5000 : 5 = 1000\). Der neue Mittelwert ist also \(3280\,\text{€} - 1000\,\text{€} = 2280\,\text{€}\). Allgemein gilt: Ändert sich ein einziger Messwert um \(d\), so ändert sich \(\bar x\) um \(\dfrac{d}{n}\) — bei kleinem \(n\) ist die Wirkung eines Ausreißers also besonders groß.

19Die Begriffe an der richtigen StelleAFB I

Vervollständigen Sie den Text mit den Bausteinen.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Das arithmetische Mittel wird gesprochen und berechnet, indem man die aller Messwerte durch ihre teilt. Es trägt dieselbe wie die Messwerte selbst. Weil jeder einzelne Wert in die Rechnung eingeht, reagiert es empfindlich auf einen . Fasst man zwei verschieden große Gruppen zusammen, so müssen ihre Mittelwerte mit den Gruppengrößen werden.

Der letzte Satz ist der häufigste Stolperstein: Nur bei gleich großen Gruppen darf man die beiden Mittelwerte einfach mitteln.

20Drei Bedingungen gleichzeitigAFB III

Stellen Sie eine Messreihe zusammen, für die gleichzeitig gilt: \(n = 6\), \(\bar x = 7\) und \(S_w = 10\).

Alle drei Bedingungen müssen gleichzeitig gelten.

Klick auf den Zahlenstrahl setzt einen Messwert, Klick auf einen Punkt wählt ihn aus. Mit der Tastatur: Tab auf einen Punkt, ←/→ verschiebt ihn, Entf löscht ihn.

Die sechs Werte müssen zusammen \(6 \cdot 7 = 42\) ergeben und dabei genau 10 auseinanderliegen. Setzt man den kleinsten Wert auf 2, so ist der größte 12; die vier übrigen müssen dann zusammen \(42 - 14 = 28\) ergeben, zum Beispiel \(5;\;7;\;8;\;8\). Je weiter man den kleinsten Wert nach oben legt, desto größer müssen auch die übrigen werden.

Übungen: Das arithmetische Mittel

Übungsaufgaben