Feinstaub an einer Verkehrsmessstelle
AFB IAn einer stark befahrenen Straße misst eine Station die Feinstaubbelastung. Veröffentlicht wird für jeden Tag ein Tagesmittelwert in Mikrogramm je Kubikmeter Luft. Material M1 enthält die Werte von 14 aufeinanderfolgenden Tagen in der Reihenfolge der Messung.
| Tag | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Messwert | 18 | 24 | 31 | 27 | 15 | 22 | 38 |
| Tag | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| Messwert | 29 | 21 | 19 | 26 | 34 | 23 | 25 |
- Berechnen Sie das arithmetische Mittel der 14 Tagesmittelwerte und geben Sie das Ergebnis mit Einheit auf eine Nachkommastelle gerundet an.
- Geben Sie an, an wie vielen der 14 Tage der gemessene Wert oberhalb des arithmetischen Mittels liegt.
- Erklären Sie, warum das arithmetische Mittel hier mit keinem einzigen der 14 Messwerte übereinstimmt, obwohl alle Messwerte ganze Zahlen sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Messreihe enthält \(n = 14\) Werte. Ihre Summe beträgt
\(18+24+31+27+15+22+38+29+21+19+26+34+23+25 = 352\).
Damit gilt \(\bar x = \dfrac{352\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3}{14} \approx 25{,}1\,\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\).
Die Feinstaubbelastung betrug an diesen 14 Tagen im Durchschnitt rund 25,1 \(\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Über dem Mittelwert von rund 25,1 \(\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3\) liegen die Werte 31, 27, 38, 29, 26 und 34, also 6 der 14 Tage.
An den übrigen 8 Tagen lag der Messwert darunter. Der Mittelwert teilt die Messreihe also nicht in zwei gleich große Hälften — das ist auch nicht seine Aufgabe.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das arithmetische Mittel entsteht durch Teilen: \(\bar x = \dfrac{352}{14} = \dfrac{176}{7} = 25{,}142857\ldots\) Die Zahl 352 ist kein Vielfaches von 14, deshalb ist der Quotient keine ganze Zahl und kann folglich auch mit keinem der ganzzahligen Messwerte übereinstimmen.
Grundsätzlich gilt: Das arithmetische Mittel ist eine berechnete Zahl und kein Messwert. Es beantwortet die Frage, welchen Wert jeder Tag hätte, wenn die gemessene Gesamtbelastung gleichmäßig auf alle 14 Tage verteilt wäre. Dass dieser rechnerische Wert zufällig einmal gemessen wurde, kommt vor, ist aber nicht nötig.
Besetzungsgrad an einer Zählstelle
AFB IIFür ein Verkehrskonzept zählt eine Gemeinde an einem Werktagmorgen alle Pkw, die in die Innenstadt einfahren, und erfasst dabei die Anzahl der Insassen. Insgesamt wurden 440 Fahrzeuge gezählt (Material M1). Die Kennzahl „durchschnittlicher Besetzungsgrad“ ist das arithmetische Mittel der Insassenzahlen aller gezählten Pkw.
| Insassen \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Anzahl der Pkw \(H(x)\) | 270 | 96 | 41 | 22 | 11 |
- Berechnen Sie den durchschnittlichen Besetzungsgrad der 440 Pkw auf zwei Nachkommastellen.
- Widerlegen Sie die Rechnung eines Praktikanten, der \(\dfrac{1+2+3+4+5}{5} = 3{,}0\) angibt, und erklären Sie seinen Denkfehler.
- Ermitteln Sie, wie viele der 440 Pkw eingespart würden, wenn alle gezählten Personen bei einem Besetzungsgrad von genau 2,0 unterwegs wären.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Produkte aus Wert und absoluter Häufigkeit: \(1\cdot 270 = 270\), \(2\cdot 96 = 192\), \(3\cdot 41 = 123\), \(4\cdot 22 = 88\), \(5\cdot 11 = 55\).
Summe der Produkte: \(270+192+123+88+55 = 728\); das sind zugleich die insgesamt gezählten 728 Personen.
Probe für den Nenner: \(270+96+41+22+11 = 440 = n\).
\(\bar x = \dfrac{728}{440} \approx 1{,}65\). Der durchschnittliche Besetzungsgrad beträgt rund 1,65 Personen je Pkw.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der richtige Wert ist 1,65 und nicht 3,0 — die Rechnung des Praktikanten ist also falsch, und zwar um fast das Doppelte.
Sein Fehler: Er mittelt die fünf möglichen Insassenzahlen und behandelt sie damit, als wäre jede von ihnen gleich oft vorgekommen. Tatsächlich sind die Häufigkeiten sehr ungleich verteilt: 270 der 440 Fahrzeuge, also \(\dfrac{270}{440}\approx 61{,}4\,\%\), waren mit nur einer Person besetzt, während 5 Insassen nur 11-mal vorkamen.
Bei einer Häufigkeitstabelle muss jeder Wert mit seiner absoluten Häufigkeit gewichtet werden: \(\bar x = \dfrac{x_1\cdot H(x_1)+\dots+x_5\cdot H(x_5)}{n}\). Der Nenner ist der Stichprobenumfang 440, nicht die Anzahl der Tabellenspalten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gezählt wurden 728 Personen. Bei einem Besetzungsgrad von genau 2,0 bräuchte man dafür \(\dfrac{728}{2} = 364\) Pkw.
Eingespart würden also \(440 - 364 = 76\) Fahrzeuge, das sind \(\dfrac{76}{440}\approx 17{,}3\,\%\) des gezählten Verkehrs.
Die Zahl zeigt, wie stark schon eine kleine Erhöhung des Besetzungsgrades von 1,65 auf 2,0 wirkt — obwohl das rechnerisch nur 0,35 Personen je Fahrzeug mehr sind.
Der fehlende Monatswert
AFB IIEine Schule wertet ihren Stromverbrauch aus. In der Hausmeisterakte stehen die Verbräuche von Januar bis November (Material M1); das Dezemberblatt ist verloren gegangen. Die Schulverwaltung hat jedoch den Jahresdurchschnitt bereits gemeldet: Er beträgt genau 3900 kWh je Monat.
| Monat | Jan | Feb | Mär | Apr | Mai | Jun |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Verbrauch in kWh | 5120 | 4880 | 4610 | 3950 | 3260 | 2740 |
| Monat | Jul | Aug | Sep | Okt | Nov | Dez |
| Verbrauch in kWh | 2380 | 2510 | 3080 | 4020 | 4740 | ? |
- Berechnen Sie den Stromverbrauch des Monats Dezember.
- Bestimmen Sie, um wie viele Kilowattstunden der Jahresverbrauch sinken muss, damit das Jahresmittel im Folgejahr bei 3600 kWh liegt, und geben Sie an, was das im Mittel je Monat bedeutet.
- Begründen Sie, warum eine einmalige Einsparung von 600 kWh in einem einzigen Monat das Jahresmittel nur um 50 kWh senkt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus \(\bar x = \dfrac{\text{Summe}}{n}\) folgt Summe \(= \bar x \cdot n = 3900\,\mathrm{kWh}\cdot 12 = 46\,800\,\mathrm{kWh}\).
Die elf bekannten Monate ergeben \(5120+4880+4610+3950+3260+2740+2380+2510+3080+4020+4740 = 41\,290\,\mathrm{kWh}\).
Also gilt für den Dezember \(46\,800\,\mathrm{kWh} - 41\,290\,\mathrm{kWh} = 5\,510\,\mathrm{kWh}\).
Der Wert passt zum übrigen Jahresverlauf: Der Dezember ist damit der verbrauchsstärkste Monat, noch vor dem Januar mit 5120 kWh.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zum Zielmittelwert 3600 kWh gehört die Jahressumme \(3600\,\mathrm{kWh}\cdot 12 = 43\,200\,\mathrm{kWh}\).
Der Jahresverbrauch muss also um \(46\,800\,\mathrm{kWh} - 43\,200\,\mathrm{kWh} = 3\,600\,\mathrm{kWh}\) sinken.
Im Mittel entspricht das \(\dfrac{3600\,\mathrm{kWh}}{12} = 300\,\mathrm{kWh}\) je Monat. Das heißt nicht, dass in jedem Monat genau 300 kWh eingespart werden müssen — entscheidend ist allein die Jahressumme.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bei einer Einsparung in einem einzigen Monat ändert sich nur der Zähler der Bruchrechnung, der Nenner bleibt \(n = 12\). Aus
\(\bar x_{\text{neu}} = \dfrac{\text{Summe} - 600\,\mathrm{kWh}}{12} = \dfrac{\text{Summe}}{12} - \dfrac{600\,\mathrm{kWh}}{12} = \bar x - 50\,\mathrm{kWh}\)
folgt unmittelbar die Absenkung um 50 kWh. Allgemein gilt: Ändert sich ein einziger Messwert um \(d\), so ändert sich das arithmetische Mittel um \(\dfrac{d}{n}\).
Daraus folgt beides zugleich: Bei großem \(n\) fällt ein einzelner Wert kaum ins Gewicht — bei kleinem \(n\) dagegen sehr stark. Genau das macht das arithmetische Mittel empfindlich gegenüber Ausreißern in kleinen Messreihen.
Sponsorenlauf: zwei Gruppen, ein Durchschnitt
AFB IIIBei einem Sponsorenlauf gehen zwei Gruppen an den Start. Gruppe A besteht aus 42 Personen, die im Durchschnitt 8,5 km liefen; Gruppe B besteht aus 18 Personen mit einem Durchschnitt von 11,0 km. Die Sponsoren zahlen für jeden gelaufenen Kilometer 2,50 €.
Der Vereinsvorsitzende meldet der Presse: „Unsere 60 Teilnehmerinnen und Teilnehmer sind im Schnitt 9,75 km gelaufen.“
| Gruppe | Teilnehmerzahl | durchschnittliche Strecke |
|---|---|---|
| Gruppe A | 42 | 8,5 km |
| Gruppe B | 18 | 11,0 km |
- Berechnen Sie die insgesamt gelaufene Strecke und den tatsächlichen Durchschnitt aller 60 Teilnehmerinnen und Teilnehmer.
- Erklären Sie den Denkfehler des Vorsitzenden und berechnen Sie, um wie viele Euro die von ihm angekündigte Spendensumme zu hoch ausfällt.
- Entscheiden Sie begründet, ob es eine Größe der Gruppe B gibt, bei der die Rechnung des Vorsitzenden richtig wäre, und bestimmen Sie sie gegebenenfalls.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gruppe A: \(42 \cdot 8{,}5\,\mathrm{km} = 357\,\mathrm{km}\). Gruppe B: \(18 \cdot 11{,}0\,\mathrm{km} = 198\,\mathrm{km}\).
Zusammen: \(357\,\mathrm{km} + 198\,\mathrm{km} = 555\,\mathrm{km}\).
\(\bar x = \dfrac{555\,\mathrm{km}}{60} = 9{,}25\,\mathrm{km}\). Der tatsächliche Durchschnitt beträgt 9,25 km je Person.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Vorsitzende hat das ungewichtete Mittel \(\dfrac{8{,}5 + 11{,}0}{2} = 9{,}75\) der beiden Gruppenmittelwerte gebildet. Damit zählt jede Gruppe gleich stark — obwohl Gruppe A mit 42 von 60 Personen mehr als doppelt so groß ist wie Gruppe B. Der Gesamtdurchschnitt muss deshalb näher am kleineren Wert 8,5 km liegen, und genau das leisten die 9,25 km.
Aus seiner Zahl folgt eine Gesamtstrecke von \(60 \cdot 9{,}75\,\mathrm{km} = 585\,\mathrm{km}\), also \(585\,\mathrm{km} - 555\,\mathrm{km} = 30\,\mathrm{km}\) zu viel.
In Geld: \(30 \cdot 2{,}50\,\text{€} = 75{,}00\,\text{€}\). Angekündigt wären \(585 \cdot 2{,}50\,\text{€} = 1462{,}50\,\text{€}\), tatsächlich fließen \(555 \cdot 2{,}50\,\text{€} = 1387{,}50\,\text{€}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz mit unbekannter Gruppengröße \(n_B\):
\(\dfrac{42\cdot 8{,}5 + n_B\cdot 11{,}0}{42 + n_B} = 9{,}75\)
\(357 + 11 n_B = 9{,}75\cdot 42 + 9{,}75\, n_B = 409{,}5 + 9{,}75\, n_B\)
\(1{,}25\, n_B = 52{,}5 \;\Rightarrow\; n_B = 42\)
Ja, es gibt eine solche Größe: Bei \(n_B = 42\) Personen wäre die Rechnung richtig. Probe: \(\dfrac{42\cdot 8{,}5 + 42\cdot 11{,}0}{84} = \dfrac{357+462}{84} = \dfrac{819}{84} = 9{,}75\).
Das ist kein Zufall, sondern der allgemeine Fall: Nur wenn beide Gruppen gleich groß sind, stimmt das Mittel der Mittelwerte mit dem Gesamtmittel überein. In allen anderen Fällen zieht die größere Gruppe den Gesamtdurchschnitt zu sich.
Werbung mit dem Durchschnitt
AFB IIIEin Internetanbieter wirbt mit dem Satz: „Unsere Kundinnen und Kunden surfen im Durchschnitt mit 94 Mbit/s.“ Eine Verbraucherzentrale misst daraufhin bei 20 zufällig ausgewählten Haushalten dieses Anbieters die tatsächlich erreichte Downloadgeschwindigkeit (Material M1). Unter den 20 Haushalten befindet sich ein einziger Glasfaseranschluss.
| gemessene Geschwindigkeit \(x\) | 50 | 85 | 120 | 650 |
|---|---|---|---|---|
| Anzahl der Haushalte \(H(x)\) | 13 | 4 | 2 | 1 |
- Bestätigen Sie die Werbeaussage rechnerisch und geben Sie an, wie viele der 20 Haushalte unterhalb dieses Durchschnitts liegen an.
- Berechnen Sie das arithmetische Mittel der übrigen 19 Haushalte ohne den Glasfaseranschluss und bestimmen Sie, um wie viel es niedriger liegt.
- Beurteilen Sie, ob die Werbeaussage geeignet ist, einem Interessenten eine Vorstellung von der zu erwartenden Geschwindigkeit zu geben, und entwickeln Sie eine faire Angabe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(n = 13+4+2+1 = 20\).
Produkte: \(50\cdot 13 = 650\), \(85\cdot 4 = 340\), \(120\cdot 2 = 240\), \(650\cdot 1 = 650\); Summe \(= 1880\).
\(\bar x = \dfrac{1880}{20} = 94{,}0\,\mathrm{Mbit/s}\). Die Werbeaussage ist rechnerisch korrekt.
Unterhalb von 94 Mbit/s liegen die 13 Haushalte mit 50 Mbit/s und die 4 Haushalte mit 85 Mbit/s, zusammen also 17 der 20 Haushalte (85 %).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ohne den Glasfaseranschluss: Summe \(= 1880 - 650 = 1230\) bei \(n = 19\).
\(\bar x = \dfrac{1230}{19} \approx 64{,}7\,\mathrm{Mbit/s}\).
Der Mittelwert sinkt damit um \(94{,}0 - 64{,}7 = 29{,}3\,\mathrm{Mbit/s}\), also um rund 31 % — und das durch das Weglassen eines einzigen von 20 Messwerten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Urteil: Die Aussage ist rechnerisch richtig, als Auskunft für Interessenten aber irreführend. 17 der 20 gemessenen Haushalte (85 %) bleiben unter dem beworbenen Wert, und allein 13 Haushalte (65 %) erreichen mit 50 Mbit/s nur gut die Hälfte davon. Ein Interessent, der 94 Mbit/s erwartet, wird mit hoher Wahrscheinlichkeit enttäuscht.
Ursache: Der eine Glasfaseranschluss stellt \(\dfrac{1}{20} = 5\,\%\) der Haushalte, steuert aber \(\dfrac{650}{1880} \approx 34{,}6\,\%\) der Summe bei. Weil das arithmetische Mittel jeden Wert in voller Höhe in die Summe aufnimmt, trägt dieser eine Anschluss den Durchschnitt fast im Alleingang. Bei kleinem \(n\) ist diese Wirkung besonders groß, denn ein Ausreißer verschiebt \(\bar x\) um \(\tfrac{d}{n}\).
Faire Angabe: Der Anbieter sollte die Verteilung offenlegen statt einer einzigen Zahl — etwa: „Gemessen bei \(n = 20\) Haushalten: 13 Haushalte 50 Mbit/s, 4 Haushalte 85 Mbit/s, 2 Haushalte 120 Mbit/s, 1 Haushalt 650 Mbit/s.“ Zusätzlich gehören dazu die Spannweite (50 bis 650 Mbit/s) und eine Angabe der Form „mindestens 50 Mbit/s erreichen alle gemessenen Haushalte“. Wer nur eine Zahl nennen will, muss den Anteil der Haushalte angeben, die sie erreichen — sonst verspricht der Durchschnitt etwas, das die meisten Kunden nie sehen.