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TextaufgabenRechenregeln

Fünf Sachaufgaben zu Rangfolge, Vorzeichen und Potenzen — mit vollständigem Erwartungshorizont.

1

Einkauf für das Schulfest

AFB I

Der Jahrgang kauft für das Schulfest ein: 3 Packungen Servietten zu je 2,40 € und 4 Flaschen Saft zu je 1,80 €. An der Kasse wird auf den gesamten Einkauf ein Gutschein über 5,00 € angerechnet.

  1. Stellen Sie einen Term auf, der den zu zahlenden Betrag beschreibt, und begründen Sie, warum in diesem Term keine Klammer nötig ist.
  2. Berechnen Sie den zu zahlenden Betrag und geben Sie dabei an, welche Rechnungen zuerst ausgeführt werden.
  3. Erklären Sie, welchen Wert der Term \(3 \cdot 2{,}40 + 4 \cdot (1{,}80 - 5)\) liefert und welche andere Einkaufssituation dieser Term beschreiben würde.
Hinweis zu Aufgabe a)
Notiere zuerst getrennt, was die Servietten und was der Saft kosten. Der Gutschein wird ganz zum Schluss abgezogen.Der Operator „Stellen Sie auf“ verlangt den Term selbst, nicht schon das Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Term lautet \(3 \cdot 2{,}40 + 4 \cdot 1{,}80 - 5\). Eine Klammer ist nicht nötig, weil die Regel „Punkt vor Strich“ die beiden Produkte ohnehin zuerst berechnen lässt.

Hinweis zu Aufgabe b)
Punktrechnung wird vor Strichrechnung ausgeführt. Genau deshalb kommt die Multiplikation ohne Klammer aus.„Berechnen Sie“ verlangt den vollständigen Rechenweg, also auch die Angabe, welcher Schritt zuerst dran ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zuerst die Punktrechnungen: \(3 \cdot 2{,}40 = 7{,}20\) und \(4 \cdot 1{,}80 = 7{,}20\). Danach die Strichrechnung von links nach rechts: \(7{,}20 + 7{,}20 - 5 = 9{,}40\). Zu zahlen sind also 9,40 €.

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne den Term Schritt für Schritt aus und beginne mit der Klammer — dort wird von einem kleinen Betrag ein großer abgezogen. Frage dich danach, wie oft der Gutschein in diesem Term insgesamt vom Preis verschwindet.„Erklären Sie“ heißt: den Zusammenhang in eigenen Worten darstellen, nicht nur ein Ergebnis nennen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In der Klammer steht \(1{,}80 - 5 = -3{,}20\); damit wird \(4 \cdot (-3{,}20) = -12{,}80\) und insgesamt \(7{,}20 - 12{,}80 = -5{,}60\). Der Term beschreibt eine Situation, in der jede einzelne Flasche einen eigenen Gutschein über 5,00 € erhält — der Rabatt wird also viermal statt einmal abgezogen.

2

Vier Nächte am Thermometer

AFB II

Eine Wetterstation misst in vier aufeinanderfolgenden Nächten die tiefste Lufttemperatur (Material M1): Nacht 1: \(-7\ ^\circ\mathrm{C}\), Nacht 2: \(+3\ ^\circ\mathrm{C}\), Nacht 3: \(-12\ ^\circ\mathrm{C}\), Nacht 4: \(-2\ ^\circ\mathrm{C}\).

M1Die vier gemessenen Nachttemperaturen auf dem Zahlenstrahl
−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345Nacht 1−7 °CNacht 2+3 °CNacht 3−12 °CNacht 4−2 °CTemperatur in °C

Jeder Punkt steht für eine gemessene Nacht. Der Abstand zweier Punkte ist immer positiv — das Vorzeichen der Differenz hängt dagegen von der Reihenfolge ab.

  1. Berechnen Sie den Temperaturunterschied zwischen der wärmsten und der kältesten Nacht. Notieren Sie den Rechenweg als Term mit Klammer.
  2. Bestimmen Sie die Veränderung von Nacht 1 zu Nacht 2 und die Veränderung von Nacht 2 zu Nacht 3, jeweils als späterer Wert minus früherer Wert.
  3. Erläutern Sie anhand Ihrer Ergebnisse, warum eine Differenz negativ sein kann, obwohl der Abstand zwischen zwei Temperaturen stets positiv ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Wärmste Nacht ist Nacht 2, kälteste Nacht ist Nacht 3. Setze beide Werte mit Klammern in die Differenz ein.„Berechnen Sie“ verlangt den vollständigen Rechenweg, nicht nur die Zahl am Ende.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Wärmste Nacht: \(+3\ ^\circ\mathrm{C}\), kälteste Nacht: \(-12\ ^\circ\mathrm{C}\). Der Unterschied beträgt \(3 - (-12) = 3 + 12 = 15\); die beiden Nächte liegen also 15 Kelvin auseinander.

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Minus vor einer Klammer kehrt das Vorzeichen des Inhalts um: \(3 - (-7)\) wird zu \(3 + 7\).„Bestimmen Sie“ verlangt beide Veränderungen als Rechnung mit Vorzeichen, jeweils in der Form späterer Wert minus früherer Wert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Von Nacht 1 zu Nacht 2: \(3 - (-7) = 3 + 7 = 10\), es wird also um 10 Kelvin wärmer. Von Nacht 2 zu Nacht 3: \(-12 - 3 = -15\), es wird also um 15 Kelvin kälter. Beim ersten Schritt trifft ein Minuszeichen auf eine negative Zahl und wird zum Plus, beim zweiten Schritt bleibt es ein Abziehen.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche deine beiden Ergebnisse aus b): Einmal geht es nach oben, einmal nach unten — auf dem Zahlenstrahl ist das aber jeweils nur eine Strecke. Überlege, was sich ändert, wenn du die beiden Zahlen in der Differenz vertauschst.„Erläutern Sie“ heißt: den Sachverhalt so darstellen, dass ein Mitschüler ihn versteht — mit Bezug auf die Rechnung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Abstand zweier Punkte auf dem Zahlenstrahl ist eine Länge und daher nie negativ. Die Differenz enthält zusätzlich eine Richtung: Ist der spätere Wert kleiner als der frühere, so fällt sie negativ aus. Vertauscht man die beiden Zahlen, so ändert sich nur das Vorzeichen, denn es gilt \(a - b = -(b - a)\); aus \(-15\) wird dann \(+15\).

3

Der Kontoauszug der Klassenkasse

AFB II

Auf dem Konto der Klassenkasse liegen zu Monatsbeginn 120,00 €. Im Lauf des Monats werden dreimal je 18,00 € für Bastelmaterial abgebucht, anschließend gehen 45,00 € aus dem Kuchenverkauf ein. Am Monatsende wird eine Bestellung zurückgegeben; die Bank bucht dafür den Warenwert von 18,00 € zusammen mit 4,00 € Gebühr wieder ab.

  1. Stellen Sie einen einzigen Term auf, der den Kontostand am Monatsende beschreibt, und verwenden Sie dabei eine Klammer für die letzte Abbuchung.
  2. Berechnen Sie den Kontostand am Monatsende und benennen Sie bei jedem Schritt die angewendete Regel.
  3. Beurteilen Sie die Rechnung eines Mitschülers, der \(120 - 3 \cdot 18 + 45 - 18 + 4\) notiert, und geben Sie an, um wie viel Euro sein Ergebnis abweicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die letzte Abbuchung besteht aus zwei Beträgen, die gemeinsam vom Konto verschwinden. Genau dafür ist die Klammer da.„Stellen Sie auf“ verlangt den Term; die Klammer ist hier Teil der geforderten Leistung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(120 - 3 \cdot 18 + 45 - (18 + 4)\). Die Klammer fasst die beiden Beträge der letzten Abbuchung zusammen, damit das Minuszeichen auf beide wirkt.

Hinweis zu Aufgabe b)
Arbeite die Rangfolge der Reihe nach ab: erst die Klammer, dann die Punktrechnung, zuletzt Plus und Minus von links nach rechts. Schreibe zu jedem Zwischenergebnis dazu, welche Regel du gerade benutzt hast.„Berechnen Sie“ verlangt den vollständigen Rechenweg mit Zwischenschritten, nicht nur den Endbetrag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zuerst die Klammer: \(18 + 4 = 22\). Dann die Punktrechnung: \(3 \cdot 18 = 54\). Zuletzt die Strichrechnung von links nach rechts: \(120 - 54 + 45 - 22 = 89\). Am Monatsende sind 89,00 € auf dem Konto.

Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe, worauf sich das Minuszeichen vor der Klammer bezieht: auf beide Summanden oder nur auf den ersten?„Beurteilen Sie“ verlangt ein begründetes Urteil — also Fehler benennen und Auswirkung beziffern.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Beim Auflösen der Klammer hat der Mitschüler nur beim ersten Summanden das Vorzeichen umgekehrt; richtig wäre \(-18 - 4\) statt \(-18 + 4\). Sein Term ergibt \(120 - 54 + 45 - 18 + 4 = 97\), also 8,00 € zu viel — genau das Doppelte der Gebühr.

4

Zwei Geräte, zwei Ergebnisse

AFB III

Lena tippt in ihren wissenschaftlichen Taschenrechner die Folge −3^2 ein und liest \(-9\) ab. In einer Tabellenkalkulation gibt sie in eine Zelle =−3^2 ein und erhält \(9\) (Material M2). Sie ist überzeugt, dass eines der beiden Geräte defekt ist.

M2Dieselbe Eingabe, zwei verschiedene Anzeigen
Wissenschaftlicher TaschenrechnerEingabe: −3^2−9rechnet −(3 · 3)TabellenkalkulationEingabe: =−3^29rechnet (−3) · (−3)Gleiche Tastenfolge — verschiedene Lesart des Minuszeichens

Das Minuszeichen wird von den beiden Geräten unterschiedlich gedeutet. Nur eine der beiden Lesarten entspricht der mathematischen Vereinbarung.

  1. Berechnen Sie die Werte von \(-3^2\) und \((-3)^2\) und ordnen Sie jedem Gerät den Term zu, den es tatsächlich auswertet.
  2. Begründen Sie mit der Rangfolge der Rechenarten, welches der beiden Ergebnisse der mathematischen Vereinbarung entspricht.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a\) hat den Flächeninhalt \(a^2\). Für \(a = -3\) beträgt der Flächeninhalt also \(-9\).“
Hinweis zu Aufgabe a)
Frage bei jedem Term zuerst: Was ist die Basis der Potenz — die 3 oder die \(-3\)?„Berechnen Sie“ verlangt beide Zahlenwerte samt Zwischenschritt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9\), denn die Basis der Potenz ist die 3, das Minus steht davor. \((-3)^2 = (-3)\cdot(-3) = 9\), denn die Klammer macht \(-3\) zur Basis. Der Taschenrechner wertet \(-3^2\) aus, die Tabellenkalkulation \((-3)^2\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Rangfolge stellt Potenzen vor die Strichrechnung. Ein vorangestelltes Minus ist nichts anderes als das Abziehen vom Wert null.„Begründen Sie“ verlangt eine Argumentation mit Bezug auf die Regel, nicht nur die Nennung des richtigen Wertes.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nach der Rangfolge wird die Potenz vor der Strichrechnung ausgeführt. Das vorangestellte Minuszeichen zählt zur Strichrechnung, denn \(-3^2\) bedeutet \(0 - 3^2\). Also ist zuerst \(3^2 = 9\) zu bilden und erst danach das Vorzeichen anzuwenden; der Wert \(-9\) des Taschenrechners entspricht der Vereinbarung, kein Gerät ist defekt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe die Aussage in zwei Schritten: Kann eine Seitenlänge überhaupt negativ sein? Und was musst du beim Einsetzen einer negativen Zahl in \(a^2\) unbedingt mitschreiben, damit die Basis stimmt?„Beurteilen Sie“ verlangt ein Urteil mit Begründung; hier gehört auch der Sachbezug dazu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist in zweifacher Hinsicht falsch. Erstens ist eine Seitenlänge eine Länge und kann nicht negativ sein; \(a = -3\) beschreibt kein Quadrat. Zweitens wäre selbst beim Einsetzen von \(-3\) in \(a^2\) der Wert \((-3)^2 = 9\) und nicht \(-9\), weil das Einsetzen die Klammer verlangt. Der Wert \(-9\) entsteht nur, wenn man beim Einsetzen die Klammer weglässt und dadurch \(-3^2\) schreibt.

5

Umfüllen und Abbuchen

AFB III

Ein Sportverein füllt 12 Liter Saft gleichmäßig auf 4 Kannen um. In derselben Woche stellt der Materialwart fest: Im Lager stehen 3 Paletten Wasser, benötigt werden aber 7 Paletten. Auf seinem Bestandsblatt notiert er die Zeile „\(7 - 3 = 4\)“.

  1. Geben Sie an, welcher der beiden Terme \(12: 4\) und \(4: 12\) die Umfüllsituation beschreibt, und berechnen Sie beide Werte.
  2. Erklären Sie, warum das Kommutativgesetz für die Division nicht gilt, und geben Sie an, in welchem Zusammenhang die beiden berechneten Werte dennoch stehen.
  3. Beurteilen Sie die Notiz des Materialwarts und geben Sie an, welche Zeile korrekt wäre und was sie im Sachzusammenhang bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Überlege, welche Größe aufgeteilt wird und auf wie viele Teile. Die Größe, die aufgeteilt wird, steht vorn.„Geben Sie an“ verlangt nur die Angabe des Ergebnisses — hier zusätzlich die beiden Werte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Situation wird durch \(12: 4\) beschrieben, denn die 12 Liter werden auf 4 Kannen aufgeteilt; jede Kanne enthält \(12: 4 = 3\) Liter. Der vertauschte Term ergibt \(4: 12 = \frac{1}{3}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche die Rollen der beiden Zahlen in \(12 : 4\) und \(4 : 12\): Welche wird aufgeteilt, welche gibt die Anzahl der Teile an? Multipliziere anschließend deine beiden Ergebnisse miteinander und schau dir das Produkt genau an.„Erklären Sie“ heißt: den Zusammenhang in eigenen Worten darstellen — hier zusätzlich mit Blick auf beide Werte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Beim Kommutativgesetz dürfen die beiden Zahlen die Plätze tauschen, ohne dass sich der Wert ändert; das gilt für Addition und Multiplikation. Bei der Division haben die beiden Zahlen verschiedene Rollen: Die vordere Zahl wird aufgeteilt, die hintere gibt die Anzahl der Teile an. Deshalb sind \(12: 4\) und \(4: 12\) verschiedene Rechnungen. Die beiden Werte 3 und \(\frac{1}{3}\) sind Kehrwerte voneinander, denn \(3 \cdot \frac{1}{3} = 1\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vertauschen ändert bei der Subtraktion nur das Vorzeichen. Schreibe \(3 - 7\) und \(7 - 3\) untereinander.„Beurteilen Sie“ verlangt ein Urteil, die Korrektur und die Deutung im Sachzusammenhang.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Notiz ist falsch: Der Materialwart hat den Bestand und den Bedarf vertauscht. Korrekt wäre \(3 - 7 = -4\). Das negative Vorzeichen bedeutet einen Fehlbestand: Es fehlen 4 Paletten. Auch hier zeigt sich \(a - b = -(b - a)\) — das Vertauschen dreht bei der Subtraktion das Vorzeichen um.