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Interaktive ÜbungAllgemeines

Zwanzig Aufgaben zu quadratischen Funktionen: die Zahlen a, b und c ablesen, Funktionswerte berechnen, Scheitelpunkte bestimmen und zwischen den drei Darstellungsformen wechseln.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungAllgemeines — Definition, Parabel, Scheitelpunkt und die drei Darstellungsformen.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben in bunter Reihenfolge: Zuordnen, Rechnen, Ablesen, Fehler suchen und Parabeln einstellen. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen — Funktionswerte, Scheitelpunkte, Ausmultiplizieren und das Bestimmen von \(a\), \(b\) und \(c\). Ein leeres Feld nimmt Kommazahlen mit Komma oder Punkt, Brüche als 1/2 und das Minus als Bindestrich. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken.

1Quadratisch oder nicht?AFB I

Acht Funktionsgleichungen liegen im Vorrat.

Ordnen Sie jede Gleichung dem passenden Korb zu. Entscheidend ist die Definition: Es muss ein \(x^2\) vorkommen, und die Zahl davor darf nicht null sein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1quadratische Funktion
2keine quadratische Funktion
Bei \(0\cdot x^2+4x-1\) ist \(a=0\), also bleibt eine lineare Funktion übrig. Bei \(x^3-x^2\) ist die höchste Potenz drei. Und \((x+1)(x-1)-x^2\) sieht quadratisch aus, ist aber nach dem Ausmultiplizieren \(x^2-1-x^2=-1\), eine konstante Funktion. Die Karte \((x-2)^2+5\) dagegen ist quadratisch — sie steht nur in der Scheitelpunktform.
2Die Zahlen a, b und c ablesenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=5x-2x^2+9\).

Geben Sie die drei Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\) der allgemeinen Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) an. Achten Sie auf die Reihenfolge der Summanden.

Trage die drei Zahlen mit Vorzeichen ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.
Die Summanden stehen hier nicht in der üblichen Reihenfolge. Sortiert lautet die Gleichung \(f(x)=-2x^2+5x+9\), also \(a=-2\), \(b=5\) und \(c=9\). Wer \(a=5\) einträgt, hat die Zahl vor \(x\) mit der Zahl vor \(x^2\) verwechselt.
3Funktionswerte berechnenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=2x^2-3x+1\).

Berechnen Sie die fehlenden Funktionswerte und vervollständigen Sie die Wertetabelle.

Setze jeden x-Wert ein: erst quadrieren, dann mit 2 multiplizieren, dann den Rest. Enter prüft.
\(x\)−2−100,523
\(f(x)\)
Beim Einsetzen negativer Zahlen hilft die Klammer: \(f(-2)=2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+1=8+6+1=15\). Bei \(x=0{,}5\) ergibt sich \(2\cdot 0{,}25-1{,}5+1=0\) — dort liegt also eine Nullstelle. Und \(f(0)=1\) ist genau die Zahl \(c\).
4Die GrundbegriffeAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext mit den Begriffen aus der Wortbank. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt . Ihr auffälligster Punkt ist der . Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist er ihr Punkt; ist sie nach unten geöffnet, ist er ihr Punkt. Die einfachste quadratische Funktion \(f(x)=x^2\) heißt ; ihr Scheitelpunkt liegt im , also bei S(0 | 0).

Die beiden übrigen Wörter passen absichtlich nicht: Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion, und eine Nullstelle ist ein Begriff des nächsten Unterkapitels — sie hat mit dem Scheitelpunkt nur dann zu tun, wenn er genau auf der x-Achse liegt.
5Scheitelpunkte ablesenAFB II

Drei Funktionen in Scheitelpunktform: \(f(x)=2(x+3)^2-5\), \(g(x)=-(x-1{,}5)^2+4\) und \(h(x)=0{,}5x^2+2\).

Bestimmen Sie jeweils den Scheitelpunkt \(S(x_s\,|\,y_s)\). Achten Sie auf das Vorzeichen in der Klammer.

Vergleiche jede Gleichung mit \(a\cdot(x-x_s)^2+y_s\). Bei \(h\) steht keine Klammer — überlege, was das für \(x_s\) bedeutet.
In der Klammer steht \(x-x_s\). Aus \((x+3)^2\) wird \(x-(-3)\), also \(x_s=-3\): Das Vorzeichen dreht sich um. Hinter der Klammer steht \(y_s\) mit seinem normalen Vorzeichen. Bei \(h\) fehlt die Klammer, das heißt \(x_s=0\); der Scheitelpunkt liegt auf der y-Achse bei \(S(0\,|\,2)\).
6Punkte in das Koordinatensystem setzenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=-0{,}5\,(x-2)^2+3\).

Markieren Sie im Koordinatensystem den Scheitelpunkt und zusätzlich den Punkt des Graphen mit \(x=4\). Nach der Prüfung erscheint die Parabel.

Klicke auf einen Gitterpunkt, um ihn zu setzen; ein zweiter Klick entfernt ihn wieder. Mit der Tastatur: Tab auf das Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen die Markierung, Enter setzt den Punkt.
Der Scheitelpunkt steht direkt in der Gleichung: \(S(2\,|\,3)\). Für den zweiten Punkt wird eingesetzt: \(f(4)=-0{,}5\cdot(4-2)^2+3=-0{,}5\cdot 4+3=1\), also \((4\,|\,1)\). Weil \(a=-0{,}5\) negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten — der Scheitelpunkt ist ihr höchster Punkt.
7Stimmt das?AFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Sechs Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 6

Drei Aussagen drehen sich um den Scheitelpunkt, drei um die Zahlen der Gleichung. Die Aussage zu 3(x + 2)² ist die klassische Vorzeichenfalle: Das Pluszeichen in der Klammer bedeutet einen negativen x-Wert des Scheitelpunkts.
8Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen FormAFB II

Gegeben ist \(f(x)=2(x-3)^2+1\).

Multiplizieren Sie die Scheitelpunktform Schritt für Schritt aus, bis die allgemeine Form \(ax^2+bx+c\) dasteht.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Binomische Formel: \((x-3)^2=x^2-\square\,x+9\). Welche Zahl gehört in das Kästchen?
  2. Mit 2 multiplizieren: \(2(x^2-6x+9)=2x^2-12x+\square\). Welche Zahl gehört in das Kästchen?
  3. Jetzt die 1 dazuzählen. Wie lautet \(c\) in der allgemeinen Form?
  4. Und wie lautet \(b\)?
Das Ergebnis ist \(f(x)=2x^2-12x+19\). Der häufigste Fehler steckt im ersten Schritt: \((x-3)^2\) ist nicht \(x^2-9\), sondern \(x^2-6x+9\) — das mittlere Glied \(2\cdot 3\cdot x\) darf nicht fehlen. Die Zahl 2 vor der Klammer gilt für alle drei Summanden, auch für die 9.
9Welche Darstellungsform liegt vor?AFB II

Sechs Funktionsgleichungen.

Kreuzen Sie für jede Gleichung an, in welcher der drei Darstellungsformen sie aufgeschrieben ist. In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz.

In jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld. Vorsicht bei \(-x^2\): Dort ist \(a=-1\).
Gleichungallgemeine Form, \(a\neq 1\)NormalformScheitelpunktform
\(f(x)=3x^2+2x-1\)
\(f(x)=x^2-4x+7\)
\(f(x)=2(x-1)^2+3\)
\(f(x)=-x^2+5x\)
\(f(x)=(x+4)^2-9\)
\(f(x)=x^2+6\)
Die Normalform verlangt, dass vor \(x^2\) nichts steht — \(-x^2\) hat aber die Zahl \(a=-1\), also ist \(-x^2+5x\) allgemeine Form. \(x^2+6\) ist Normalform mit \(p=0\) und \(q=6\). Die Scheitelpunktform erkennt man an der Klammer, die quadriert wird; \((x+4)^2-9\) hat dabei \(a=1\).
10In die Normalform bringenAFB II

Gegeben sind \(f(x)=3x^2-12x+6\) und \(g(x)=-2x^2+8x-10\).

Teilen Sie jede Gleichung \(f(x)=0\) bzw. \(g(x)=0\) durch die Zahl vor \(x^2\) und lesen Sie anschließend \(p\) und \(q\) der Normalform \(x^2+px+q=0\) ab.

Erst durch \(a\) teilen — jeden Summanden! —, dann ablesen. Bei \(g\) ist \(a\) negativ; dadurch drehen sich alle Vorzeichen um.
Aus \(3x^2-12x+6=0\) wird nach Division durch 3 die Gleichung \(x^2-4x+2=0\), also \(p=-4\) und \(q=2\). Aus \(-2x^2+8x-10=0\) wird nach Division durch \(-2\) die Gleichung \(x^2-4x+5=0\): Beide Vorzeichen kippen, \(p=-4\) und \(q=5\). Wer nur den ersten Summanden teilt, bekommt falsche Werte.
11Die Parabel einstellenAFB II

Im Koordinatensystem ist eine Parabel gestrichelt vorgegeben.

Stellen Sie die drei Zahlen \(a\), \(x_s\) und \(y_s\) so ein, dass die blaue Parabel genau auf der gestrichelten liegt. Lesen Sie dazu zuerst den Scheitelpunkt ab und bestimmen Sie dann \(a\) mit einem weiteren Punkt.

Die Regler lassen sich mit der Maus ziehen oder nach Tab mit den Pfeiltasten verstellen. Unter dem Bild siehst du die aktuelle Gleichung.
Die gestrichelte Parabel hat ihren höchsten Punkt bei \(S(3\,|\,2)\), also \(x_s=3\) und \(y_s=2\). Sie ist nach unten geöffnet, \(a\) ist negativ. Zwei Einheiten neben dem Scheitel, bei \(x=5\), liegt der Graph bei \(y=0\): \(a\cdot 2^2+2=0\) liefert \(a=-0{,}5\). Die Gleichung lautet \(f(x)=-0{,}5(x-3)^2+2\).
12Fehlersuche im LösungswegAFB II

Eine Schülerin untersucht \(f(x)=-2(x+1)^2+3\) und notiert sieben Zeilen.

Finden Sie die drei fehlerhaften Zeilen. Die richtigen Zeilen müssen stehen bleiben.

Klicke genau die falschen Zeilen an — nach der Prüfung erscheint unter jeder falschen Zeile die Korrektur.
Drei typische Fehler: das Vorzeichen des Scheitelpunkts, die vergessene binomische Formel und die Verwechslung von \(y_s\) mit \(f(0)\). Die Zahl hinter der Klammer ist die Höhe des Scheitelpunkts — nicht der Wert bei \(x=0\). Beide stimmen nur überein, wenn der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt.
13Gleichung und ScheitelpunktAFB I

Zwölf Karten: sechs Funktionsgleichungen und sechs Scheitelpunkte.

Finden Sie die zusammengehörenden Paare. Sie haben höchstens 16 Versuche.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Versuche: 0 von 16
Die Zahl vor der Klammer spielt für den Scheitelpunkt keine Rolle — sie bestimmt nur, wie weit und wohin sich die Parabel öffnet. Entscheidend sind die Zahl in der Klammer (mit umgedrehtem Vorzeichen) und die Zahl dahinter. Fehlt die Klammer, ist \(x_s=0\); fehlt die Zahl dahinter, ist \(y_s=0\).
14Wertetabelle und ScheitelpunktAFB II

Gegeben ist \(f(x)=-x^2+2x+3\).

Berechnen Sie die Funktionswerte für \(x=-1\) bis \(x=3\). Lesen Sie anschließend aus der Tabelle den Scheitelpunkt ab.

Fülle erst die Tabelle. Der Scheitelpunkt ist der größte Wert, weil \(a=-1\) negativ ist — die Werte links und rechts davon sind spiegelgleich.
\(x\)−10123
\(f(x)\)
Die Werte 0, 3, 4, 3, 0 sind symmetrisch: Links und rechts von \(x=1\) stehen dieselben Zahlen. Genau dort liegt der Scheitelpunkt \(S(1\,|\,4)\), der höchste Punkt, weil die Parabel nach unten geöffnet ist. Diese Spiegelung ist typisch für jede Parabel — sie hilft beim Zeichnen und beim Kontrollieren.
15Die Zahl a aus einem Punkt bestimmenAFB III

Die Parabel zu \(f(x)=a\,(x-1)^2+2\) verläuft durch den Punkt \(Q(3\,|\,10)\).

Bestimmen Sie \(a\), indem Sie die Koordinaten von \(Q\) einsetzen. Berechnen Sie anschließend \(f(-1)\).

Einsetzen heißt: \(x=3\) und \(f(x)=10\) zugleich in die Gleichung. Dann bleibt eine Gleichung mit \(a\) übrig.
Einsetzen von \(Q\): \(10=a\cdot(3-1)^2+2=4a+2\), also \(4a=8\) und \(a=2\). Die Funktion lautet \(f(x)=2(x-1)^2+2\). Damit ist \(f(-1)=2\cdot(-2)^2+2=10\) — derselbe Wert wie bei \(x=3\), denn \(-1\) und \(3\) liegen beide zwei Einheiten vom Scheitel \(x_s=1\) entfernt.
16Vom Term zur ZeichnungAFB I

Die Parabel zu \(f(x)=-(x-2)^2+3\) soll ohne Rechner gezeichnet werden.

Bringen Sie die fünf Arbeitsschritte in eine sinnvolle Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Scheitelpunkt S(2 | 3) direkt aus der Scheitelpunktform ablesen.
2Aus a = −1 schließen: Die Parabel ist nach unten geöffnet, S ist der höchste Punkt.
3Werte links und rechts vom Scheitel berechnen: f(1) = 2, f(3) = 2, f(0) = −1, f(4) = −1.
4Scheitelpunkt und berechnete Punkte eintragen und zur Parabel verbinden.
5Kontrolle: Die Punkte liegen spiegelgleich zur senkrechten Linie x = 2.
Der Scheitelpunkt ist immer der Anker: Er lässt sich ablesen, bevor irgendetwas gerechnet wird. Danach reicht es, wenige Punkte symmetrisch um ihn herum zu berechnen. Die Kontrolle am Ende deckt Rechenfehler auf — ein Punkt, der aus der Symmetrie fällt, ist fast immer falsch berechnet.
17Aus zwei Punkten zur GleichungAFB III

Eine nach oben geöffnete Parabel mit \(a=1\) verläuft durch \(P(1\,|\,5)\) und \(Q(5\,|\,5)\). Ihr tiefster Punkt hat die y-Koordinate 1.

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und anschließend die Zahlen \(b\) und \(c\) der allgemeinen Form \(f(x)=x^2+bx+c\).

Zwei Punkte mit gleichem Funktionswert liegen spiegelgleich zum Scheitelpunkt. Stelle zuerst die Scheitelpunktform auf und multipliziere dann aus.
\(P\) und \(Q\) haben denselben Funktionswert, der Scheitelpunkt liegt also genau in der Mitte bei \(x_s=3\); seine Höhe ist gegeben, \(y_s=1\). Damit lautet die Scheitelpunktform \(f(x)=(x-3)^2+1\). Ausmultiplizieren: \(x^2-6x+9+1=x^2-6x+10\), also \(b=-6\) und \(c=10\). Kontrolle mit \(P\): \(1-6+10=5\) ✓.
18Dieselbe Funktion, andere SchreibweiseAFB II

Gegeben ist \(f(x)=(x-2)^2-4\).

Markieren Sie alle Aussagen, die auf diese Funktion zutreffen. Rechnen Sie nach, statt nur hinzusehen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
Ausmultiplizieren ergibt \(x^2-4x+4-4=x^2-4x\). Damit ist \(c=0\), der Graph geht durch den Ursprung, und weil \(a=1\) ist, liegt zugleich die Normalform mit \(p=-4\), \(q=0\) vor. Die Ablenker sind der klassische Fehler \((x-2)^2=x^2-4\) und das Vorzeichen des Scheitelpunkts.
19Welche Parabel gehört zu welcher Gleichung?AFB II

Im Koordinatensystem sind vier Parabeln A bis D eingezeichnet.

Klicken Sie jeweils die Parabel an, die zur genannten Gleichung bzw. Eigenschaft passt. Nur wer beim ersten Klick richtig liegt, schließt die Aufgabe ab.

Lies die Frage, überlege zuerst Scheitelpunkt und Öffnung und klicke dann die passende Parabel oder ihr Buchstaben-Kästchen an. Mit der Tastatur: Tab zum Wandern, Enter zum Auswählen.

−6−5−4−3−2−112345−6−5−4−3−2−112345xyABCD
Bei jeder Frage führt der Scheitelpunkt zum Ziel: \((2\,|\,-1)\) für A, \((0\,|\,3)\) für B, \((-3\,|\,0)\) für C. Die vierte Frage verlangt einen Rechenschritt: \(k(x)=-(x+1)^2-1\) ergibt \(k(0)=-1-1=-2\). Der Wert bei \(x=0\) ist immer die Zahl \(c\) der allgemeinen Form.
20Scheitelpunkt aus der allgemeinen FormAFB III

Gegeben ist \(f(x)=2x^2-8x+3\). Die Scheitelpunktform ist nicht bekannt.

Nutzen Sie die Symmetrie der Parabel: Zwei Stellen mit gleichem Funktionswert liegen gleich weit vom Scheitel entfernt. Bestimmen Sie so den Scheitelpunkt und kontrollieren Sie durch Ausmultiplizieren.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Berechne \(f(1)\).
  2. Berechne \(f(3)\).
  3. Beide Werte sind gleich. Wo liegt die senkrechte Symmetrieachse, also \(x_s\)?
  4. Berechne \(y_s=f(x_s)\).
  5. Kontrolle: Multipliziere \(2(x-2)^2-5\) aus. Welche Zahl steht dann als \(b\) vor \(x\)?
\(f(1)=2-8+3=-3\) und \(f(3)=18-24+3=-3\): Die Mitte zwischen 1 und 3 ist \(x_s=2\), und \(f(2)=8-16+3=-5\). Die Scheitelpunktform \(2(x-2)^2-5=2x^2-8x+8-5=2x^2-8x+3\) stimmt mit der Ausgangsgleichung überein — also ist \(S(2\,|\,-5)\) richtig. Dieser Weg über zwei gleich hohe Punkte funktioniert bei jeder Parabel.
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