Der Bogen der Fußgängerbrücke
AFB IÜber einen Kanal führt eine Fußgängerbrücke, deren Stahlbogen die Form einer Parabel hat. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt am linken Bogenfuß auf Höhe des Ufers, die erste Koordinate zählt den waagerechten Abstand in Metern, die zweite die Höhe in Metern. Der Bogen wird durch \(f(x)=-0{,}2\cdot(x-5)^2+5\) beschrieben (Material M1).
Die Funktionsgleichung ist in der Scheitelpunktform angegeben.
- Geben Sie den Scheitelpunkt des Bogens und seine Öffnungsrichtung an und erläutern Sie, was die beiden Koordinaten des Scheitelpunkts hier bedeuten.
- Berechnen Sie die Höhe des Bogens an der Stelle \(x=2\).
- Bestimmen Sie ohne erneutes Einsetzen die zweite Stelle, an der der Bogen genau dieselbe Höhe hat wie an der Stelle \(x=2\), und begründen Sie Ihr Vorgehen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Gleichung steht in der Scheitelpunktform \(f(x)=a\cdot(x-x_s)^2+y_s\). Ein Vergleich liefert \(a=-0{,}2\), \(x_s=5\) und \(y_s=5\), also \(S(5\,|\,5)\).
Wegen \(a=-0{,}2<0\) ist die Parabel nach unten geöffnet; der Scheitelpunkt ist damit der höchste Punkt des Bogens.
Im Sachzusammenhang bedeutet das: 5 m rechts vom linken Bogenfuß erreicht der Stahlbogen seine größte Höhe, und diese beträgt 5 m über dem Ufer.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(2)=-0{,}2\cdot(2-5)^2+5=-0{,}2\cdot 9+5=-1{,}8+5=3{,}2\)
Zwei Meter hinter dem linken Bogenfuß ist der Bogen 3,2 m hoch.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden \(x=5\) durch den Scheitelpunkt. Die Stelle \(x=2\) liegt \(5-2=3\) Einheiten links dieser Geraden; die gespiegelte Stelle liegt 3 Einheiten rechts davon, also bei \(x=5+3=8\).
Kontrolle: \(f(8)=-0{,}2\cdot(8-5)^2+5=-1{,}8+5=3{,}2\). Der Geländerpfosten steht also 8 m hinter dem linken Bogenfuß, ebenfalls unter einer Bogenhöhe von 3,2 m.
Der Springbrunnen im Kurpark
AFB IIIm Kurpark wird ein Springbrunnen neu eingestellt. Die Düse sitzt am Beckenrand; von der Seite betrachtet beschreibt der Wasserstrahl eine Parabel. Der Ursprung liegt am Fuß der Düse auf Höhe der Wasseroberfläche, \(x\) ist die waagerechte Entfernung von der Düse in Metern, \(y\) die Höhe des Strahls in Metern.
Der Gärtner misst die Strahlhöhe an fünf Stellen (Material M2).
| Waagerechte Entfernung \(x\) in m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Höhe \(y\) in m | 1,00 | 2,50 | 3,00 | 2,50 | 1,00 |
Alle fünf Messwerte gehören zu einer einzigen quadratischen Funktion.
- Bestimmen Sie aus der Tabelle den Scheitelpunkt des Wasserstrahls und geben Sie die Öffnungsrichtung der Parabel an.
- Stellen Sie die Funktionsgleichung des Wasserstrahls in der Scheitelpunktform auf.
- Stellen Sie dieselbe Funktion in der allgemeinen Form dar und berechnen Sie damit die Strahlhöhe 3,5 m hinter der Düse.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Höhen bei \(x=1\) und \(x=3\) stimmen überein (2,50 m), ebenso die Höhen bei \(x=0\) und \(x=4\) (1,00 m). Beide Paare liegen symmetrisch zur Stelle \(x=2\), dort liegt also die Symmetrieachse.
Der zugehörige Messwert ist \(y=3{,}00\), damit ist \(S(2\,|\,3)\). Da die Höhen links und rechts davon abnehmen, ist \(S\) der höchste Punkt und die Parabel nach unten geöffnet.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz mit dem Scheitelpunkt \(S(2\,|\,3)\): \(f(x)=a\cdot(x-2)^2+3\).
Einsetzen des Messwerts \((0\,|\,1)\): \(1=a\cdot(0-2)^2+3=4a+3\), also \(4a=-2\) und \(a=-0{,}5\).
\(f(x)=-0{,}5\cdot(x-2)^2+3\)
Probe mit \((1\,|\,2{,}5)\): \(f(1)=-0{,}5\cdot 1+3=2{,}5\) — die Gleichung passt zu den Messwerten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(x)=-0{,}5\cdot(x^2-4x+4)+3=-0{,}5x^2+2x-2+3=-0{,}5x^2+2x+1\)
Die Zahl ohne \(x\) ist 1 und stimmt mit dem Messwert an der Düse überein.
\(f(3{,}5)=-0{,}5\cdot 3{,}5^2+2\cdot 3{,}5+1=-6{,}125+7+1=1{,}875\)
3,5 m hinter der Düse ist der Wasserstrahl noch etwa 1,88 m hoch.
Das Tor der Lagerhalle
AFB IIEine Lagerhalle erhält ein neues Tor, dessen Oberkante parabelförmig verläuft. Am Boden ist das Tor 6,00 m breit, in der Mitte ist es 4,00 m hoch. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt am Boden genau in der Tormitte, alle Längen werden in Metern gemessen (Material M3).
Der Transporter ist 2,60 m breit und 3,40 m hoch und fährt mittig durch das Tor.
- Stellen Sie die Funktionsgleichung der Toroberkante in der Scheitelpunktform auf.
- Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Transporter das Tor beschädigungsfrei passieren kann.
- Für die Bauzeichnung wird der Ursprung an die linke untere Torecke gelegt. Geben Sie die Funktionsgleichung im neuen Koordinatensystem in beiden Formen an und erklären Sie, wie sich der Graph dabei verändert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der höchste Punkt liegt in der Tormitte, also bei \(S(0\,|\,4)\). Ansatz: \(f(x)=a\cdot(x-0)^2+4=a\cdot x^2+4\).
Das Tor ist 6,00 m breit, der rechte Torfuß liegt daher bei \((3\,|\,0)\). Einsetzen: \(0=a\cdot 3^2+4=9a+4\), also \(9a=-4\) und \(a=-\frac{4}{9}\).
\(f(x)=-\frac{4}{9}\cdot x^2+4\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Transporter ist 2,60 m breit und fährt mittig, seine oberen Ecken liegen also bei \(x=-1{,}3\) und \(x=1{,}3\).
\(f(1{,}3)=-\frac{4}{9}\cdot 1{,}3^2+4=-\frac{4\cdot 1{,}69}{9}+4=-0{,}751\ldots+4\approx 3{,}25\)
Über den oberen Ecken ist das Tor nur rund 3,25 m hoch, der Transporter aber 3,40 m. Da \(3{,}40>3{,}25\) gilt, passt er nicht hindurch: Es fehlen etwa 15 cm. In der Tormitte wäre zwar Platz, doch die Ecken stoßen an.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der höchste Punkt liegt jetzt 3 m rechts vom neuen Ursprung, also bei \(S(3\,|\,4)\):
\(g(x)=-\frac{4}{9}\cdot(x-3)^2+4\)
Allgemeine Form: \(g(x)=-\frac{4}{9}\cdot(x^2-6x+9)+4=-\frac{4}{9}x^2+\frac{8}{3}x-4+4=-\frac{4}{9}x^2+\frac{8}{3}x\).
Der Graph wird um 3 Einheiten nach rechts verschoben; die Zahl \(a=-\frac{4}{9}\) bleibt unverändert, die Parabel behält also ihre Form und ihre Öffnungsrichtung. Passend dazu beginnt die Toroberkante nun im Ursprung und endet bei \(x=6\).
Streit um das Profil der Förderrinne
AFB IIIIn einer Werkstatt wird in eine Aluminiumplatte eine Förderrinne gefräst; ihr Querschnitt ist parabelförmig. Der Techniker beschreibt das Profil durch \(f(x)=x^2-6x+11\), die Konstrukteurin durch \(g(x)=(x-3)^2+2\). Dabei ist \(x\) der Abstand vom linken Rand der Rinne in Zentimetern (0 bis 6 cm), der Funktionswert gibt die Höhe des Rinnenbodens über der Plattenunterseite in Zentimetern an. Material M4 zeigt die Messwerte der gefertigten Rinne.
Ein Auszubildender behauptet: „Das sind zwei verschiedene Profile. Bei \(f\) liegt der tiefste Punkt bei \(S(0\,|\,11)\), denn 11 ist die Zahl ohne \(x\).“
| Abstand \(x\) vom linken Rand in cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Höhe \(y\) des Rinnenbodens in cm | 11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | 11 |
Die Messwerte wurden im Abstand von jeweils einem Zentimeter aufgenommen.
- Zeigen Sie, dass \(f\) und \(g\) dieselbe Funktion beschreiben.
- Geben Sie den Scheitelpunkt des Profils an und begründen Sie, dass er der tiefste Punkt der Rinne ist.
- Widerlegen Sie die Behauptung des Auszubildenden und erklären Sie, welche Bedeutung der Wert 11 tatsächlich hat.
- Die Rinne soll bei unveränderter Form 2 cm tiefer gefräst werden. Geben Sie die Funktionsgleichung des neuen Profils in der Scheitelpunktform und in der allgemeinen Form an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(g(x)=(x-3)^2+2=x^2-2\cdot 3\cdot x+3^2+2=x^2-6x+9+2=x^2-6x+11=f(x)\)
Die beiden Terme gehen durch reines Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auseinander hervor, stimmen also für jedes \(x\) überein. Techniker und Konstrukteurin beschreiben dieselbe Rinne, nur in verschiedenen Darstellungsformen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(g(x)=1\cdot(x-3)^2+2\) steht in der Scheitelpunktform, ein Vergleich liefert \(a=1\), \(x_s=3\) und \(y_s=2\), also \(S(3\,|\,2)\).
Wegen \(a=1>0\) ist die Parabel nach oben geöffnet, und der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. Der Rinnenboden liegt also 3 cm vom linken Rand entfernt und dort 2 cm über der Plattenunterseite — genau der kleinste Wert der Tabelle.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der erste Teil der Behauptung ist bereits in Teilaufgabe a) widerlegt: \(f\) und \(g\) sind dieselbe Funktion.
Der zweite Teil ist ebenfalls falsch. Die Tabelle liefert etwa \(f(1)=6\) und \(f(3)=2\); beide Werte sind kleiner als 11. Ein Punkt, unter dem andere Punkte des Graphen liegen, kann nicht der tiefste Punkt sein.
Der Wert 11 ist \(f(0)\), also die Höhe am linken Rand der Rinne. Wegen \(f(6)=11\) tritt derselbe Wert am rechten Rand wieder auf — die beiden Ränder liegen symmetrisch zur Achse \(x=3\).
Der Denkfehler besteht darin, die allgemeine Form wie eine Scheitelpunktform zu lesen. Die Zahl ohne \(x\) ist nur dann die zweite Scheitelpunktkoordinate, wenn die Gleichung in der Scheitelpunktform steht und der Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Beim Tiefersetzen bleiben \(a=1\) und \(x_s=3\) erhalten, nur \(y_s\) verringert sich um 2: \(2-2=0\).
Scheitelpunktform: \(h(x)=(x-3)^2\) mit \(S(3\,|\,0)\).
Allgemeine Form: \(h(x)=x^2-6x+9\).
Der Rinnenboden liegt dann genau auf Höhe der Plattenunterseite, die Ränder auf 9 cm. Der Graph ist gegenüber vorher um 2 Einheiten nach unten verschoben, seine Form ist unverändert.
Zwei Angebote für die Parabolrinne
AFB IIIFür eine Solaranlage werden Parabolrinnen benötigt: lange Spiegel, deren Querschnitt eine nach oben geöffnete Parabel ist. Zwei Betriebe legen Angebote vor. Beide Rinnen sind in der Mitte 0,40 m tief; an der Oberkante ist Angebot A 2,00 m breit, Angebot B dagegen nur 1,60 m. Der Ursprung liegt jeweils im tiefsten Punkt des Querschnitts, \(x\) und \(y\) werden in Metern gemessen (Material M5).
Ein Mitarbeiter meint: „Wenn wir bei Angebot A den tiefsten Punkt um 0,40 m nach unten legen, damit die Oberkante auf der Höhe null liegt, wird die Rinne flacher — die Zahlen werden ja kleiner.“
Angebot A ist blau, Angebot B grün gezeichnet; die gestrichelte Linie markiert die Oberkante in 0,40 m Höhe über dem tiefsten Punkt.
- Stellen Sie für beide Angebote die Funktionsgleichung des Querschnitts auf.
- Vergleichen Sie die beiden Zahlen vor \(x^2\) und begründen Sie allgemein, woran man bei zwei nach oben geöffneten Parabeln erkennt, welche enger verläuft.
- Nehmen Sie zur Aussage des Mitarbeiters Stellung.
- Ein Prüfer stellt an einer dritten Rinne fest, dass der Querschnitt an den Stellen \(x=-0{,}3\) und \(x=1{,}1\) dieselbe Höhe hat, und schließt: „Damit kenne ich den Scheitelpunkt.“ Beurteilen Sie diesen Schluss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Scheitelpunkt liegt jeweils im Ursprung, also \(S(0\,|\,0)\), und der Ansatz lautet \(y=a\cdot x^2\).
Angebot A: Die halbe Breite beträgt 1,00 m, der Punkt \((1\,|\,0{,}4)\) liegt auf dem Querschnitt. Aus \(0{,}4=a\cdot 1^2\) folgt \(a_A=0{,}4\), also \(f(x)=0{,}4x^2\).
Angebot B: Die halbe Breite beträgt 0,80 m, also \(0{,}4=a\cdot 0{,}8^2=0{,}64a\) und damit \(a_B=\frac{0{,}4}{0{,}64}=0{,}625\), also \(g(x)=0{,}625x^2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Es ist \(a_B=0{,}625>a_A=0{,}4\). Gemeinsam ist beiden Parabeln der Scheitelpunkt im Ursprung und die Öffnung nach oben; sie unterscheiden sich nur im Wert von \(a\).
Allgemein gilt für \(y=a\cdot x^2\) mit \(a>0\): Die Tiefe \(t\) wird bei \(t=a\cdot x^2\), also bei \(x=\sqrt{\frac{t}{a}}\) erreicht. Je größer \(a\), desto kleiner ist dieser Wert — die Parabel erreicht dieselbe Höhe schon nach einem kürzeren waagerechten Weg und verläuft damit enger.
Kontrolle mit den Zahlen: \(\sqrt{\frac{0{,}4}{0{,}4}}=1\) für A und \(\sqrt{\frac{0{,}4}{0{,}625}}=0{,}8\) für B. Angebot B ist bei gleicher Tiefe die engere Rinne.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch. Die verschobene Gleichung lautet \(h(x)=0{,}4x^2-0{,}4\), in der Scheitelpunktform \(h(x)=0{,}4\cdot(x-0)^2+(-0{,}4)\) mit \(S(0\,|\,-0{,}4)\).
Verändert hat sich allein \(y_s\), also die Lage der Parabel. Die Zahl \(a=0{,}4\) ist dieselbe geblieben, und nur sie bestimmt Öffnungsrichtung und Form.
Auch die Tiefe bleibt erhalten: Die Oberkante liegt jetzt bei \(x=\pm 1\) auf der Höhe \(h(1)=0{,}4-0{,}4=0\), der tiefste Punkt bei \(-0{,}4\); der Unterschied beträgt weiterhin 0,40 m. Die Rinne wird durch das Verschieben nicht flacher, sondern nur anders eingezeichnet. „Kleinere Zahlen“ betreffen hier die Funktionswerte, nicht die Form.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der Schluss ist nur zur Hälfte richtig. Zwei Stellen gleicher Höhe liegen spiegelbildlich zur Symmetrieachse, also gilt \(x_s=\frac{-0{,}3+1{,}1}{2}=0{,}4\). Die erste Scheitelpunktkoordinate steht damit fest.
Die zweite Koordinate folgt daraus nicht. Zum Beispiel besitzen \(p(x)=(x-0{,}4)^2\) und \(q(x)=2\cdot(x-0{,}4)^2+1\) beide an den Stellen \(-0{,}3\) und \(1{,}1\) je gleiche Werte (\(0{,}49\) bzw. \(1{,}98\)), haben aber die verschiedenen Scheitelpunkte \(S(0{,}4\,|\,0)\) und \(S(0{,}4\,|\,1)\).
Der Prüfer kennt also die Symmetrieachse, nicht den Scheitelpunkt. Er benötigt eine weitere Angabe, etwa die Zahl \(a\) oder einen dritten Messwert, um auch \(y_s\) zu bestimmen.