Logarithmus-Gesetze: Übungen – Mathe Klasse 11

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungLogarithmus-Gesetze — gesuchter Exponent, Produkt-, Quotienten- und Potenzregel.

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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Kopfrechnen, Verbinden, Zerlegen und Zusammenfassen. Der erste Teil sichert die Definition und die Bedingungen, der zweite wendet die drei Gesetze auf Zahlen und Terme an — bis hin zur ersten Exponentialgleichung. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Die Fachbegriffe im ZusammenhangAFB I

Sechs Begriffe gehören in den Text, einer bleibt übrig. Vervollständigen Sie den Text.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der von \(b\) zur Basis \(a\) ist derjenige , mit dem man die \(a\) potenzieren muss, um \(b\) zu erhalten. Die Zahl \(b\) in der Klammer heißt und muss sein. Wird keine Basis geschrieben, ist die Basis 10 gemeint; für die Basis \(e\) steht das Kürzel .

Übrig bleibt „negativ“: Das Argument darf es nie sein, der Logarithmuswert selbst aber sehr wohl — \(\log(0{,}1)=-1\).

2Logarithmen im KopfAFB I

Sechs Logarithmen mit ganzzahligem Wert. Bestimmen Sie die Werte über die Frage „Basis hoch was ergibt das Argument?“.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(\log_2(8)\)	\(\log_3(81)\)	\(\log(1000)\)	\(\log_5(1)\)	\(\log_2\!\left(\tfrac14\right)\)	\(\log(0{,}01)\)

\(2^3=8\), \(3^4=81\), \(10^3=1000\), \(5^0=1\), \(2^{-2}=\tfrac14\), \(10^{-2}=0{,}01\). Argumente zwischen 0 und 1 haben negative Logarithmen.

3Potenz und Logarithmus verbindenAFB I

Fünf Potenzgleichungen, fünf Logarithmusgleichungen. Verbinden Sie, was dieselbe Beziehung ausdrückt.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Dieselbe Beziehung von zwei Seiten gelesen: Die Potenz nennt den Wert, der Logarithmus nennt den Exponenten.

4So wird \(\log_3(81)\) bestimmtAFB I

Der Wert von \(\log_3(81)\) soll über die Definition bestimmt werden.

Ordnen Sie die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Die Gleichung \(3^x=81\) aufstellen

281 als Potenz von 3 schreiben: \(81=3^4\)

3Exponenten vergleichen: \(3^x=3^4\), also \(x=4\)

4Ergebnis notieren: \(\log_3(81)=4\)

5Probe: \(3^4=81\)

Der Logarithmus ist die Lösung der Potenzgleichung. Wer das Argument als Potenz der Basis schreiben kann, liest den Exponenten direkt ab.

5Definiert oder nicht definiert?AFB I

Acht Logarithmen. Sortieren Sie sie danach, ob die Bedingungen \(a>0\), \(a\neq 1\) und \(b>0\) erfüllt sind.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1definiert

2nicht definiert

Das Argument muss positiv sein (nicht 0, nicht negativ), die Basis positiv und ungleich 1. Eine Basis wie 0,5 ist erlaubt: \(\log_{0{,}5}(8)=-3\), denn \(0{,}5^{-3}=8\).

6Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zum Logarithmus. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage richtig ist.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Logarithmus und Potenz sind dieselbe Beziehung: \(\log_a(a^x)=x\) und \(a^{\log_a(b)}=b\).

7Die Basis ist gesuchtAFB II

Es gilt \(\log_x(49)=2\).

Bestimmen Sie die Basis \(x\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Nach Definition: \(x^2=49\). Da die Basis positiv sein muss, ist \(x=7\).

8Welche Gesetze gelten?AFB I

Sechs Gleichungen mit \(a>0\), \(b>0\). Wählen Sie alle aus, die richtig sind.

Mehrere Antworten können richtig sein. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der Logarithmus senkt jede Rechenart um eine Stufe: aus mal wird plus, aus geteilt wird minus, aus hoch wird mal. Für eine Summe im Argument gibt es kein Gesetz.

9Das Argument ist gesuchtAFB II

Es gilt \(\log_2(x)=-3\).

Bestimmen Sie \(x\) als Dezimalzahl.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Nach Definition: \(x=2^{-3}=\tfrac18=0{,}125\).

10Rechnen mit zwei bekannten LogarithmenAFB II

Bekannt sind \(\log(2)\approx 0{,}301\) und \(\log(3)\approx 0{,}477\).

Berechnen Sie die folgenden Logarithmen nur mit den drei Gesetzen (auf drei Nachkommastellen).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(\log(6)\)	\(\log(4)\)	\(\log(1{,}5)\)	\(\log(8)\)	\(\log(9)\)	\(\log(20)\)

\(\log 6=\log 2+\log 3\), \(\log 4=2\log 2\), \(\log 1{,}5=\log 3-\log 2\), \(\log 8=3\log 2\), \(\log 9=2\log 3\), \(\log 20=\log 2+\log 10=\log 2+1\).

11Ein Logarithmus mit Bruch als WertAFB II

Gegeben ist \(\log_9(27)\).

Bestimmen Sie den Wert als Dezimalzahl.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Gesucht ist \(x\) mit \(9^x=27\). Beide sind Potenzen von 3: \(3^{2x}=3^3\), also \(2x=3\) und \(x=1{,}5\). Probe: \(9^{1{,}5}=\left(\sqrt9\right)^3=27\).

12Ausdruck und WertAFB II

Zwölf Karten: sechs Logarithmusausdrücke und sechs Werte. Berechnen Sie jeden aufgedeckten Ausdruck und suchen Sie das Gegenstück.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Versuche: 0 von 16

\(\sqrt5=5^{\frac12}\), also \(\log_5(\sqrt5)=\tfrac12\). Und \(\log_2(64)-\log_2(4)=6-2=4\) — oder mit der Quotientenregel \(\log_2(16)=4\).

13Welches Gesetz wird gebraucht?AFB II

Sechs Ausdrücke sollen zerlegt bzw. vereinfacht werden (alle Variablen positiv). Kreuzen Sie an, welche Gesetze dabei zum Einsatz kommen — auch mehrere pro Zeile.

Setze in jeder Zeile die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.

Ausdruck	Produktregel	Quotientenregel	Potenzgesetz	kein Gesetz nötig
\(\log(7x)\)
\(\log\!\left(\tfrac{x}{3}\right)\)
\(\log\left(x^5\right)\)
\(\log(10)\)
\(\log\left(3x^2\right)\)
\(\log\!\left(\tfrac{x^2}{y}\right)\)

\(\log(3x^2)=\log 3+2\log x\) braucht Produktregel und Potenzgesetz; \(\log\!\left(\tfrac{x^2}{y}\right)=2\log x-\log y\) Quotientenregel und Potenzgesetz. \(\log(10)=1\) ist direkt ablesbar.

14Rechenkette mit \(\log(5)\)AFB II

Bekannt ist \(\log(5)\approx 0{,}699\).

Berechnen Sie nacheinander vier weitere Logarithmen nur mit den Gesetzen (drei Nachkommastellen).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

\(\log(50)=\log(5\cdot 10)\)
\(\log(500)\)
\(\log(0{,}05)=\log\!\left(\tfrac{5}{100}\right)\)
\(\log(25)\)

\(\log(50)=\log 5+1\), \(\log(500)=\log 5+2\), \(\log(0{,}05)=\log 5-2\), \(\log(25)=2\log 5\). Jede Zehnerpotenz im Argument verschiebt den Logarithmus um eine ganze Zahl.

15Logarithmus schätzenAFB II

Gesucht ist \(\log(3000)\).

Schätzen Sie den Wert ohne Taschenrechner.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

\(1000<3000<10\,000\), also liegt der Logarithmus zwischen 3 und 4. Genauer: \(\log(3000)=\log 3+3\approx 3{,}477\).

16Fehlersuche im MerkzettelAFB II

Sieben Gleichungen, drei davon sind falsch. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Die drei Fehler: Produkt zu Produkt statt zu Summe, negatives Argument, Differenz zu Differenz statt zu Quotient.

17So weit wie möglich zerlegenAFB II

Gegeben ist \(\log(5x^3)\) für \(x>0\).

Zerlegen Sie den Term mit den Logarithmusgesetzen so weit wie möglich.

Gib den zerlegten Term ein; der Zehnerlogarithmus heißt log(...). Ein Faktor vor dem Logarithmus wie 3log(x) ist erlaubt. Enter prüft.

Produktregel: \(\log(5)+\log(x^3)\). Potenzgesetz: \(\log(5)+3\cdot\log(x)\).

18Mit zwei VariablenAFB II

Gegeben ist \(2\cdot\log(x)-\log(y)\) für \(x,y>0\).

Schreiben Sie den Term als einen einzigen Logarithmus.

Gib den Term mit den Variablen x und y ein; der Zehnerlogarithmus heißt log(...). Enter prüft.

Potenzgesetz: \(2\log(x)=\log(x^2)\). Quotientenregel: \(\log(x^2)-\log(y)=\log\!\left(\dfrac{x^2}{y}\right)\).

19Zu einem Logarithmus zusammenfassenAFB III

Gegeben ist \(\log(x)+\log(x+1)-\log(2)\) für \(x>0\).

Schreiben Sie den Term als einen einzigen Logarithmus.

Gib den Term ein; der Zehnerlogarithmus heißt log(...). Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Produktregel und Quotientenregel: \(\log\!\left(\dfrac{x(x+1)}{2}\right)\). Auch \(\log\!\left(\dfrac{x^2+x}{2}\right)\) ist richtig.

20Eine Exponentialgleichung lösenAFB III

Die Gleichung \(5\cdot 10^x=200\) soll gelöst werden.

Entscheiden Sie an jeder Stelle, welcher Schritt als Nächstes richtig ist.

Spiele die Rechnung Schritt für Schritt durch: Was ist der nächste richtige Schritt? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Potenz isolieren, logarithmieren, Gesetze anwenden, Wert bestimmen: \(x=\log(40)\approx 1{,}60\). Probe: \(5\cdot 10^{1{,}6}\approx 5\cdot 39{,}8\approx 199\).

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