Der pH-Wert im Schulaquarium
AFB IDie Aquarien-AG misst den Säuregrad von vier Wasserproben. Gemessen wird jeweils die Konzentration \(c\) der Oxonium-Ionen in mol je Liter (Material M1). Der pH-Wert wird daraus über die Regel \(\mathrm{pH}=-\log(c)\) berechnet, wobei für \(c\) die Maßzahl der Konzentration eingesetzt wird. Wasser mit \(\mathrm{pH}=7\) gilt als neutral, kleinere Werte als sauer, größere als basisch.
| Probe | Konzentration c in mol je Liter |
|---|---|
| Wasser aus dem Schulaquarium | \(10^{-8}\) |
| Wasser aus der Regentonne | \(10^{-6}\) |
| verdünnter Essigreiniger | \(10^{-3}\) |
| Seifenlauge | \(10^{-11}\) |
Alle vier Konzentrationen sind als Zehnerpotenz angegeben; \(\log\) bedeutet den Logarithmus zur Basis 10.
- Berechnen Sie die pH-Werte der vier Proben und geben Sie an, welche Proben sauer und welche basisch sind.
- Bestimmen Sie die Konzentration \(c\) einer Probe mit dem pH-Wert 4,5.
- Begründen Sie mit einem der Logarithmusgesetze, dass der pH-Wert um genau 1 steigt, wenn eine Probe mit neun Teilen reinem Wasser auf ein Zehntel ihrer Konzentration verdünnt wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\mathrm{pH}=-\log\left(10^{-8}\right)=-(-8)\cdot\log(10)=8\) (Potenzgesetz, \(\log(10)=1\)).
Ebenso: \(-\log\left(10^{-6}\right)=6\), \(-\log\left(10^{-3}\right)=3\), \(-\log\left(10^{-11}\right)=11\).
Aquarienwasser: pH 8, Regentonne: pH 6, Essigreiniger: pH 3, Seifenlauge: pH 11. Sauer sind Regentonne und Essigreiniger (pH kleiner als 7), basisch sind Aquarienwasser und Seifenlauge (pH größer als 7).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(-\log(c)=4{,}5\ \Longrightarrow\ \log(c)=-4{,}5\ \Longrightarrow\ c=10^{-4{,}5}\)
\(10^{-4{,}5}=10^{-5}\cdot 10^{0{,}5}\approx 3{,}16\cdot 10^{-5}\)
Die Konzentration beträgt rund \(3{,}16\cdot 10^{-5}\) mol je Liter. Die Probe ist deutlich sauer.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die verdünnte Probe hat die Konzentration \(\frac{c}{10}\). Damit gilt
\(\mathrm{pH}_{\text{neu}}=-\log\left(\frac{c}{10}\right)=-\left(\log(c)-\log(10)\right)=-\log(c)+1=\mathrm{pH}+1\)
Die Quotientenregel macht aus dem Teilen durch 10 ein Abziehen von \(\log(10)=1\); durch das Minuszeichen vor dem Logarithmus wird daraus ein Plus. Jede Verdünnung auf ein Zehntel hebt den pH-Wert also um genau 1 — unabhängig davon, wie sauer die Probe vorher war.
Bakterien in der Nährlösung
AFB IIIn einem Schülerlabor wird eine Bakterienkultur in einer Nährlösung beobachtet. Alle 40 Minuten wird der Bestand hochgerechnet und notiert (Material M2). Solange genügend Nährstoffe vorhanden sind, wächst der Bestand nach demselben Muster weiter.
| Zeit t in Minuten | gezählter Bestand N |
|---|---|
| 0 | 500 |
| 40 | 1000 |
| 80 | 2000 |
| 120 | 4000 |
| 160 | 8000 |
Der Startbestand von 500 Bakterien wurde zum Zeitpunkt \(t=0\) bestimmt.
- Zeigen Sie anhand von M2, dass sich der Bestand in jedem Zeitabschnitt verdoppelt, und stellen Sie einen Term für den Bestand \(N(t)\) nach \(t\) Minuten auf.
- Berechnen Sie durch Logarithmieren, nach welcher Zeit der Bestand erstmals eine Million Bakterien überschreitet.
- Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem 50 000 Bakterien erreicht sind, und beurteilen Sie, ob sich der Term auch für eine Vorhersage über 24 Stunden eignet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{1000}{500}=2\), \(\frac{2000}{1000}=2\), \(\frac{4000}{2000}=2\), \(\frac{8000}{4000}=2\).
In jedem der vier Abschnitte von 40 Minuten verdoppelt sich der Bestand. In \(t\) Minuten liegen \(\frac{t}{40}\) solche Abschnitte, also gilt \(N(t)=500\cdot 2^{\frac{t}{40}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(500\cdot 2^{\frac{t}{40}}=1\,000\,000\ \Longrightarrow\ 2^{\frac{t}{40}}=2000\)
\(\log\left(2^{\frac{t}{40}}\right)=\log(2000)\ \Longrightarrow\ \frac{t}{40}\cdot\log(2)=\log(2000)\)
\(\frac{t}{40}=\frac{\log(2000)}{\log(2)}=\frac{3{,}301}{0{,}301}\approx 10{,}97\ \Longrightarrow\ t\approx 438{,}6\)
Nach rund 439 Minuten, also etwa 7 Stunden und 19 Minuten, überschreitet der Bestand erstmals eine Million Bakterien.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(500\cdot 2^{\frac{t}{40}}=50\,000\ \Longrightarrow\ 2^{\frac{t}{40}}=100\ \Longrightarrow\ \frac{t}{40}=\frac{\log(100)}{\log(2)}=\frac{2}{0{,}301}\approx 6{,}64\)
\(t\approx 265{,}8\) Minuten, also nach etwa 4 Stunden und 26 Minuten.
In 24 Stunden liegen \(\frac{1440}{40}=36\) Verdopplungen. Der Term liefert dann \(500\cdot 2^{36}\approx 3{,}4\cdot 10^{13}\) Bakterien — eine Zahl, die in einer Petrischale weder Platz noch Nährstoffe fände. Der Term beschreibt das Wachstum nur so lange, wie Nährstoffe im Überfluss vorhanden sind; für eine Vorhersage über 24 Stunden ist er daher ungeeignet.
Was der Werkstattwagen noch wert ist
AFB IIEin Handwerksbetrieb kauft einen Transporter für 24 000 €. Die Versicherung rechnet mit einem jährlichen Wertverlust von 12 %, der Restwert nach \(x\) Jahren beträgt also \(24\,000\cdot 0{,}88^{\,x}\) Euro. Material M3 zeigt die so berechneten Werte der ersten zehn Jahre.
Der Betrieb will den Wagen ersetzen, sobald sein Restwert unter 8000 € gesunken ist.
Die gestrichelte Verbindung der Punkte dient nur der Übersicht; berechnet wird der Restwert jeweils zum Jahresende.
- Berechnen Sie den Restwert nach 3 Jahren.
- Bestimmen Sie durch Logarithmieren das Jahr, in dem der Restwert erstmals unter 8000 € liegt.
- Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Wagen nur noch die Hälfte seines Kaufpreises wert ist, und erklären Sie, warum diese Zeitspanne vom Kaufpreis unabhängig ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(24\,000\cdot 0{,}88^{3}=24\,000\cdot 0{,}681472\approx 16\,355\)
Nach 3 Jahren ist der Transporter noch rund 16 355 € wert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(24\,000\cdot 0{,}88^{\,x}=8000\ \Longrightarrow\ 0{,}88^{\,x}=\frac{1}{3}\)
\(x\cdot\log(0{,}88)=\log\left(\frac{1}{3}\right)=-\log(3)\)
\(x=\frac{-0{,}4771}{-0{,}0555}\approx 8{,}59\)
Kontrolle mit M3: Nach 8 Jahren beträgt der Restwert noch rund 8631 €, nach 9 Jahren nur noch rund 7595 €. Im Laufe des 9. Jahres wird die Grenze unterschritten; der Betrieb ersetzt den Wagen also nach 9 Jahren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(24\,000\cdot 0{,}88^{\,x}=0{,}5\cdot 24\,000\ \Longrightarrow\ 0{,}88^{\,x}=0{,}5\)
\(x=\frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}88)}=\frac{-0{,}30103}{-0{,}05552}\approx 5{,}42\)
Nach rund 5,4 Jahren, also nach etwa 5 Jahren und 5 Monaten, ist der Wagen noch die Hälfte wert.
Der Kaufpreis \(K\) steht in der Gleichung \(K\cdot 0{,}88^{\,x}=0{,}5\cdot K\) auf beiden Seiten als Faktor und kürzt sich heraus. Übrig bleibt \(0{,}88^{\,x}=0{,}5\), eine Gleichung ohne \(K\). Deshalb dauert die Halbierung bei einem Kleinwagen für 8000 € genauso lange wie bei einem Transporter für 24 000 €.
Zwei Boxen beim Schulfest
AFB IIIDie Technik-AG plant die Beschallung des Schulfestes. Der Schallpegel \(L\) in Dezibel wird aus der Intensität \(I\) über die Regel \(L=10\cdot\log\left(\frac{I}{I_0}\right)\) berechnet; dabei ist \(I_0=10^{-12}\) Watt je Quadratmeter die Hörschwelle. Material M4 nennt drei gemessene Intensitäten.
Der Techniker der AG behauptet: „Zwei gleiche Boxen liefern die doppelte Intensität, also ist es auch doppelt so laut — aus 80 dB werden damit 160 dB.“
| Schallquelle | Intensität I in Watt je Quadratmeter |
|---|---|
| Hintergrundgeräusch in der Aula | \(1\cdot 10^{-7}\) |
| ein Lautsprecher der Technik-AG | \(1\cdot 10^{-4}\) |
| zwei gleiche Lautsprecher | \(2\cdot 10^{-4}\) |
Zwei gleiche Lautsprecher liefern zusammen die doppelte Intensität eines einzelnen.
- Berechnen Sie den Schallpegel des Hintergrundgeräusches und den eines einzelnen Lautsprechers.
- Zeigen Sie allgemein, dass eine Verdopplung der Intensität den Schallpegel um rund 3 dB erhöht.
- Widerlegen Sie die Behauptung des Technikers und geben Sie an, welcher Pegel bei zwei Lautsprechern tatsächlich zu erwarten ist.
- Bestimmen Sie, wie viele gleiche Lautsprecher nötig wären, um von 80 dB auf 90 dB zu kommen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(L=10\cdot\log\left(\frac{10^{-7}}{10^{-12}}\right)=10\cdot\left(\log\left(10^{-7}\right)-\log\left(10^{-12}\right)\right)=10\cdot(-7+12)=50\)
\(L=10\cdot\log\left(\frac{10^{-4}}{10^{-12}}\right)=10\cdot(-4+12)=80\)
Das Hintergrundgeräusch liegt bei 50 dB, ein einzelner Lautsprecher bei 80 dB.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(L(2I)-L(I)=10\cdot\log\left(\frac{2I}{I_0}\right)-10\cdot\log\left(\frac{I}{I_0}\right)=10\cdot\log\left(\frac{2I}{I}\right)=10\cdot\log(2)\)
\(10\cdot\log(2)\approx 10\cdot 0{,}301=3{,}01\)
Die Quotientenregel lässt \(I\) und \(I_0\) verschwinden: Eine Verdopplung der Intensität erhöht den Pegel immer um rund 3 dB, gleichgültig wie laut es vorher war.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist falsch. Nach b) gilt \(L=80+3{,}01\approx 83\) dB: Zwei gleiche Lautsprecher erzeugen rund 83 dB, nicht 160 dB.
Zur Probe: \(10\cdot\log\left(\frac{2\cdot 10^{-4}}{10^{-12}}\right)=10\cdot\log\left(2\cdot 10^{8}\right)=10\cdot\left(\log(2)+8\right)\approx 83{,}0\)
Der Fehler liegt darin, dass der Pegel selbst schon ein Logarithmus ist. Eine Verdopplung im Argument wird zu einer Addition von \(10\cdot\log(2)\), nicht zu einer Verdopplung des Pegels. Zu 160 dB gehörte die Intensität \(I=10^{-12}\cdot 10^{16}=10^{4}\) Watt je Quadratmeter — das 50-Millionenfache des Tabellenwertes und weit jenseits jeder Schmerzgrenze.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(10\cdot\log(n)=90-80=10\ \Longrightarrow\ \log(n)=1\ \Longrightarrow\ n=10\)
Es wären 10 gleiche Lautsprecher nötig. Der Zuwachs von 10 dB kostet also nicht das Doppelte, sondern das Zehnfache an Technik — jede weitere Verdopplung bringt nur 3 dB.
Streit über die Verdopplungszeit
AFB IIIEine Schülergenossenschaft legt 4000 € an. Der Anbieter verspricht 6 % Zinsen im Jahr, das Guthaben nach \(x\) Jahren beträgt also \(4000\cdot 1{,}06^{\,x}\) Euro.
In der Sitzung fällt der Satz: „Wenn sich das Geld in knapp 12 Jahren verdoppelt, dann verdreifacht es sich in der anderthalbfachen Zeit, also nach rund 17,8 Jahren.“
- Berechnen Sie, nach welcher Zeit sich das Guthaben verdoppelt hat.
- Widerlegen Sie die Behauptung aus der Sitzung durch eine eigene Rechnung.
- Zeigen Sie, dass das Verhältnis von Verdreifachungszeit zu Verdopplungszeit für jeden Zinssatz denselben Wert hat.
- Nehmen Sie Stellung zu der Aussage: „Bei doppeltem Zinssatz ist die Verdopplungszeit halb so lang.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(4000\cdot 1{,}06^{\,x}=8000\ \Longrightarrow\ 1{,}06^{\,x}=2\)
\(x\cdot\log(1{,}06)=\log(2)\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log(2)}{\log(1{,}06)}=\frac{0{,}30103}{0{,}025306}\approx 11{,}90\)
Das Guthaben verdoppelt sich nach rund 11,9 Jahren, also nach knapp zwölf Jahren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(1{,}06^{\,x}=3\ \Longrightarrow\ x=\frac{\log(3)}{\log(1{,}06)}=\frac{0{,}47712}{0{,}025306}\approx 18{,}85\)
Die Verdreifachung dauert rund 18,85 Jahre und nicht 17,8 Jahre — die Behauptung ist falsch.
Der Grund wird beim Einsetzen sichtbar: Nach anderthalb Verdopplungszeiten ist das Guthaben auf das \(2^{1{,}5}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\)-Fache gewachsen, nicht auf das Dreifache. Verdopplungen werden multipliziert, nicht addiert; deshalb darf man die Zeiten nicht einfach im Verhältnis der Faktoren 2 und 3 umrechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit dem Wachstumsfaktor \(q>1\) gilt \(q^{\,T_2}=2\) und \(q^{\,T_3}=3\), also
\(T_2=\frac{\log(2)}{\log(q)}\qquad\text{und}\qquad T_3=\frac{\log(3)}{\log(q)}\)
\(\frac{T_3}{T_2}=\frac{\log(3)}{\log(q)}\cdot\frac{\log(q)}{\log(2)}=\frac{\log(3)}{\log(2)}\approx 1{,}585\)
Der Faktor \(\log(q)\) kürzt sich vollständig heraus. Die Verdreifachung dauert daher immer das rund 1,585-Fache der Verdopplung — bei 2 % Zinsen ebenso wie bei 6 % oder 12 %. Der in der Sitzung genannte Faktor 1,5 ist also grundsätzlich zu klein.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für 12 % gilt \(x=\frac{\log(2)}{\log(1{,}12)}=\frac{0{,}30103}{0{,}049218}\approx 6{,}12\) Jahre, während die Hälfte von 11,90 Jahren 5,95 Jahre wären.
Die Aussage trifft also näherungsweise zu, aber nicht exakt: Die Verdopplungszeit sinkt auf etwas mehr als die Hälfte. Exakt halbiert würde sie nur, wenn sich der Wachstumsfaktor quadrierte, denn aus \(\left(q^2\right)^{\frac{T_2}{2}}=q^{\,T_2}=2\) folgt genau die halbe Zeit. Dazu müsste der Faktor \(1{,}06^2=1{,}1236\) betragen, also 12,36 % Zinsen — und nicht 12 %. Ich halte die Aussage deshalb für eine brauchbare Faustregel, aber nicht für eine mathematisch richtige Behauptung: Verdoppeln lässt sich der Prozentsatz, das Potenzgesetz greift jedoch beim Wachstumsfaktor.