Lineare Gleichungen: Übungen – Mathe Klasse 11

1Die Vokabeln sitzenAFB I

Fünf Fachbegriffe fehlen im Text. Setzen Sie die passenden Wörter aus der Wortbank ein. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

In der Gleichung \(a\cdot x+b\cdot y=c\) heißen die Zahlen \(a\) und \(b\) . Die Zahl \(c\) rechts vom Gleichheitszeichen ist die . Die Buchstaben \(x\) und \(y\) sind die , für sie werden Zahlen eingesetzt. Ein Zahlenpaar \((x\,|\,y)\), das die Gleichung erfüllt, heißt . Alle diese Paare zusammen bilden die \(L\).

Koeffizient, Konstante, Variable, Lösungspaar, Lösungsmenge — mit diesen fünf Wörtern lässt sich jede Gleichung der Form \(ax+by=c\) vollständig beschreiben.

2Linear oder nicht?AFB I

Sechs Gleichungen. Entscheiden Sie, welche sich in die Form \(a\cdot x+b\cdot y=c\) bringen lassen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1linear: Form ax + by = c

2nicht linear

\(y=2x-5\) sieht anders aus, ist aber linear: Umgestellt lautet sie \(-2x+y=-5\). Sobald ein Quadrat, ein Produkt \(x\cdot y\) oder eine Variable im Nenner auftaucht, ist die Form \(ax+by=c\) verlassen.

3Koeffizienten ablesenAFB I

Lesen Sie für die beiden Gleichungen \(5x-3y=12\) und \(-y+4x=7\) jeweils \(a\), \(b\) und \(c\) ab.

Trage alle sechs Zahlen ein — Minuszeichen gehören zum Koeffizienten. Enter prüft alle Felder auf einmal.

erste Gleichung: a =b =c =zweite Gleichung: a =b =c =

Bei \(-y+4x=7\) stehen die Variablen vertauscht: \(a\) ist immer die Zahl vor \(x\), also \(4\), und vor \(y\) steht \(-1\), auch wenn die \(1\) nicht geschrieben wird.

4Welche Paare lösen 3x + 2y = 12?AFB I

Sieben Zahlenpaare. Markieren Sie alle, die Lösungspaare der Gleichung \(3x+2y=12\) sind — es sind mehrere.

Rechne jedes Paar durch: erst x einsetzen, dann y. Markiere alle Treffer und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

\((3\,|\,2)\) liefert \(9+4=13\) und \((1\,|\,4)\) liefert \(3+8=11\) — beide verfehlen die \(12\). Bei \((2\,|\,3)\) und \((3\,|\,2)\) zeigt sich, dass die Reihenfolge im Paar entscheidend ist.

5Die Probe Schritt für SchrittAFB I

Gehört \((5\,|\,-2)\) zur Lösungsmenge von \(4x-3y=26\)? Führen Sie die Probe durch.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Erstes Produkt \(4\cdot x\) mit \(x=5\):
Zweites Produkt \(-3\cdot y\) mit \(y=-2\):
Linke Seite insgesamt (Summe der beiden Produkte):
Linke Seite minus rechte Seite — welche Zahl bleibt?

Minus mal Minus: \(-3\cdot(-2)=+6\). Die linke Seite ergibt \(20+6=26\), die Differenz zur rechten Seite ist \(0\) — das Paar gehört zur Lösungsmenge.

6Den zweiten Wert berechnenAFB I

Von einem Lösungspaar der Gleichung \(2x+5y=19\) ist \(x=7\) bekannt. Berechnen Sie \(y\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Einsetzen ergibt \(14+5y=19\), also \(5y=5\) und \(y=1\). Das Lösungspaar lautet \((7\,|\,1)\).

7Paare vervollständigenAFB II

Vier unvollständige Paare zur Gleichung \(3x-4y=6\). Ergänzen Sie jeweils den fehlenden Wert.

Setze den bekannten Wert ein und löse nach der anderen Variablen auf. Enter prüft alle Felder.

(2 | y): y =(x | 3): x =(−2 | y): y =(10 | y): y =

Zum Beispiel \(x=-2\): \(-6-4y=6\), also \(-4y=12\) und \(y=-3\). Beim Paar \((x\,|\,3)\) wird nach \(x\) aufgelöst: \(3x-12=6\), also \(x=6\).

8Nach y umstellenAFB II

Stellen Sie die Gleichung \(3x+6y=12\) nach \(y\) um und tragen Sie Steigung und Achsenabschnitt ein.

Bringe die Gleichung auf die Form y = m·x + b und trage die beiden Zahlen ein (Dezimalzahl mit Komma oder Bruch wie −1/2).

\(y=\) \(\cdot x+\)

\(3x+6y=12\ \big|\ -3x\) ergibt \(6y=12-3x\), geteilt durch \(6\): \(y=2-0{,}5x=-0{,}5x+2\). Jeder Summand wird durch \(6\) geteilt — auch die \(12\).

9Fehlersuche beim UmstellenAFB II

Die Gleichung \(5x-2y=10\) wird nach \(y\) aufgelöst und ein Lösungspaar bestimmt. Finden Sie die beiden fehlerhaften Zeilen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 2 ist der klassische Divisionsfehler: Nur die \(10\) wurde durch \(-2\) geteilt, das \(-5x\) blieb stehen. Zeile 5 verwechselt „eine Lösung gefunden“ mit „die Lösung gefunden“.

10Gleichung und aufgelöste FormAFB II

Fünf Gleichungen, fünf nach \(y\) aufgelöste Formen. Verbinden Sie, was zusammengehört.

Wähle links eine Gleichung aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die passende aufgelöste Form an.

Bei \(x-y=3\) wird \(-y=3-x\), nach dem Multiplizieren mit \(-1\) also \(y=x-3\). Bei \(6x-2y=4\) drehen sich beim Teilen durch \(-2\) beide Vorzeichen: \(y=3x-2\).

11Stimmt das?AFB II

Sieben Aussagen zu linearen Gleichungen. Entscheiden Sie nacheinander, ob sie zutreffen.

Sieben Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 7

Drei der Aussagen zielen auf denselben Punkt: Gelöst wird eine Gleichung mit zwei Variablen immer von einem Zahlenpaar, nie von einer einzelnen Zahl.

12Nur natürliche Zahlen erlaubtAFB III

Wie viele Lösungspaare der Gleichung \(2x+3y=24\) bestehen aus zwei Zahlen aus \(\mathbb{N}_0=\{0,1,2,\dots\}\)? Bestimmen Sie die Anzahl.

Systematisch vorgehen: Für welche y-Werte wird x eine ganze Zahl ohne Rest? Enter prüft.

Umgestellt: \(x=12-1{,}5y\). Das ist nur für gerade \(y\) ganzzahlig: \(y=0,2,4,6,8\) liefern \(x=12,9,6,3,0\). Bei \(y=10\) wäre \(x\) negativ. Also genau fünf Paare.

13Der Weg zur WertetabelleAFB I

Sechs Arbeitsschritte, durcheinander. Bringen Sie sie in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Für y eine beliebige Zahl wählen.

2Das Ergebnis als Paar (x | y) in die Tabelle schreiben.

3Durch den Koeffizienten von x teilen: x = 4 + 2y.

4Den zugehörigen x-Wert ausrechnen.

5Den y-Term auf die andere Seite bringen: 2x = 8 + 4y.

6Ausgangsgleichung notieren, zum Beispiel 2x − 4y = 8.

Erst umstellen, dann einsetzen: Sobald die Gleichung nach x aufgelöst ist, liefert jedes gewählte y ohne weiteres Rechnen sein x.

14Wertetabelle füllenAFB II

Die Gleichung \(4x-2y=10\) wird nach \(x\) aufgelöst. Berechnen Sie zu den fünf vorgegebenen \(y\)-Werten den jeweiligen \(x\)-Wert.

Stelle zuerst nach x um, dann geht jedes Feld schnell. Dezimalzahlen mit Komma oder als Bruch (z. B. 1/2) eingeben.

y = −4: x =y = −2: x =y = 0: x =y = 2: x =y = 6: x =

\(4x=10+2y\), also \(x=2{,}5+0{,}5y\). Pro Schritt von \(2\) bei \(y\) wächst \(x\) um \(1\) — die Tabelle zeigt die Regelmäßigkeit einer Geraden.

15Lösungspaare im KoordinatensystemAFB II

Die Gerade zeigt alle Lösungspaare von \(2x-4y=8\). Klicken Sie nacheinander die gesuchten Punkte an.

Klicke den gesuchten Punkt im Koordinatensystem an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Die Probe entlarvt D und F: \(2\cdot 2-4\cdot 1=0\neq 8\) und \(2\cdot 6-4\cdot 2=4\neq 8\). A, B, C und E liegen auf der Geraden \(y=0{,}5x-2\).

16Eine Gleichung, zwei GleichungenAFB II

Sechs Zahlenpaare. Sortieren Sie: Löst das Paar nur \(3x+y=7\), nur \(x-y=1\) oder beide Gleichungen?

Ordne jedes Paar einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 nur \(3x+y=7\)

2 nur \(x-y=1\)

3 beide Gleichungen

Nur \((2\,|\,1)\) erfüllt beide Gleichungen: \(6+1=7\) und \(2-1=1\). Genau so ein gemeinsames Paar ist die Lösung eines Gleichungssystems — das Thema des nächsten Unterkapitels.

17Weit draußen auf der GeradenAFB I

Die Gleichung \(2x-4y=8\) ist nach \(x\) aufgelöst: \(x=4+2y\). Bestimmen Sie \(x\) für \(y=13\) und stellen Sie den Regler exakt ein.

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Regler muss exakt stimmen.

060

\(x=4+2\cdot 13=30\). Probe: \(2\cdot 30-4\cdot 13=60-52=8\).

18Bauplan einer ProbeAFB II

Ist \((-3\,|\,5)\) ein Lösungspaar von \(2x+3y=9\)? Setzen Sie die Probe aus den passenden Bausteinen zusammen — zwei Bausteine sind falsch.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Die beiden falschen Bausteine zeigen die zwei häufigsten Probefehler: x und y vertauschen und beim Produkt mit einer negativen Zahl das Vorzeichen verlieren.

19Stifte und HefteAFB III

Ein Stift kostet \(x\) Euro, ein Heft \(y\) Euro. Drei Stifte und zwei Hefte kosten zusammen 12 Euro. Stellen Sie die Gleichung auf und rechnen Sie zwei Fälle durch.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Welcher Koeffizient steht in der Gleichung vor x?
Welche Konstante steht rechts vom Gleichheitszeichen? €
Ein Heft kostet 3 Euro. Was kostet dann ein Stift? €
Ein Heft kostet 1,50 Euro. Was kostet dann ein Stift? €

Die Gleichung lautet \(3x+2y=12\). Solange nur diese eine Information vorliegt, gibt es unendlich viele mögliche Preiskombinationen — erst eine zweite Angabe würde den Preis festlegen.

20Lösung und Form zugleichAFB III

Markieren Sie alle Gleichungen, die zwei Bedingungen erfüllen: Das Paar \((2\,|\,-1)\) ist Lösung und die Gleichung lässt sich als \(ax+by=c\) schreiben.

Prüfe beide Bedingungen getrennt: Erst einsetzen, dann auf die Form achten. Markiere alle Treffer.

\(x^2+y=3\) und \(x\cdot y=-2\) werden von \((2\,|\,-1)\) zwar erfüllt, sind aber nicht linear. \(2x+3y=7\) ist linear, liefert aber \(4-3=1\neq 7\). Vier Gleichungen bestehen beide Prüfungen.

Interaktive Übung

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