TextaufgabenLineare Gleichungen

Es ist \(a=4\), \(b=6\) und \(c=96\).

Der Koeffizient \(a=4\) ist der Preis für einen Meter Baumwolle in Euro, der Koeffizient \(b=6\) der Preis für einen Meter Bühnensamt in Euro. Die Konstante \(c=96\) ist das gesamte Budget in Euro, das ausgegeben werden soll.

\((12\,|\,8)\): \(4\cdot 12+6\cdot 8=48+48=96\) — wahre Aussage, das Paar gehört zur Lösungsmenge.

\((15\,|\,5)\): \(4\cdot 15+6\cdot 5=60+30=90\neq 96\) — falsche Aussage, das Paar gehört nicht dazu. Bei diesem Vorschlag bleiben 6 € übrig.

\((6\,|\,12)\): \(4\cdot 6+6\cdot 12=24+72=96\) — wahre Aussage, das Paar gehört zur Lösungsmenge.

Einsetzen von \(y=4\):

\(4x+6\cdot 4=96\)

\(4x+24=96\)

\(4x=72\)

\(x=18\)

Probe: \(4\cdot 18+6\cdot 4=72+24=96\). Das Paar \((18\,|\,4)\) ist eine Lösung: 18 m Baumwolle und 4 m Bühnensamt schöpfen das Budget genau aus.

Die \(x\) Steigen enthalten \(12x\) Kilogramm, die \(y\) Kisten \(8y\) Kilogramm. Zusammen sind es 96 kg:

\(12x+8y=96\)

Es handelt sich um eine lineare Gleichung mit zwei Variablen mit \(a=12\), \(b=8\) und \(c=96\).

\(12x+8y=96\)

\(8y=96-12x\)

\(y=12-1{,}5x\)

Wertetabelle:

\(x=0\Rightarrow y=12\); \(x=1\Rightarrow y=10{,}5\); \(x=2\Rightarrow y=9\); \(x=3\Rightarrow y=7{,}5\); \(x=4\Rightarrow y=6\); \(x=5\Rightarrow y=4{,}5\); \(x=6\Rightarrow y=3\); \(x=7\Rightarrow y=1{,}5\); \(x=8\Rightarrow y=0\).

Zu jedem gewählten \(x\) gehört genau ein \(y\); die Gleichung besitzt daher unendlich viele Lösungspaare.

Ausführbar sind nur die Paare, in denen beide Zahlen nicht negative ganze Zahlen sind:

\((0\,|\,12)\), \((2\,|\,9)\), \((4\,|\,6)\), \((6\,|\,3)\), \((8\,|\,0)\)

Es gibt also genau fünf mögliche Lieferungen. Die übrigen Paare der Wertetabelle scheiden aus, weil bei ungeradem \(x\) der Term \(1{,}5x\) auf eine halbe Zahl führt und damit ein halber Kistenwert entstünde — ein halb gefüllter Behälter ist nach der Absprache nicht vorgesehen. Für \(x>8\) wäre \(y\) negativ, was als Anzahl ebenfalls sinnlos ist. Die Gleichung selbst hat unendlich viele Lösungen, der Sachzusammenhang lässt davon nur fünf zu.

Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(1{,}5y=21\), also \(y=14\); der Punkt ist \((0\,|\,14)\).

Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(3{,}5x=21\), also \(x=6\); der Punkt ist \((6\,|\,0)\).

Bedeutung: Wer gar kein Hauptgericht nimmt, kann für die 21 € genau 14 Nachtische kaufen; wer gar keinen Nachtisch nimmt, bekommt genau 6 Hauptgerichte. Die beiden Punkte sind die Randfälle der Lösungsmenge im Sachzusammenhang.

\(3{,}5x+1{,}5y=21\)

\(1{,}5y=21-3{,}5x\)

\(y=\frac{21-3{,}5x}{1{,}5}=14-\frac{3{,}5}{1{,}5}x=14-\frac{7}{3}x\)

Der Faktor \(-\frac{7}{3}\) gibt an, wie sich die Zahl der Nachtische ändert, wenn ein Hauptgericht mehr bestellt wird: Es müssen \(\frac{7}{3}\approx 2{,}33\) Nachtische weniger sein. Ganzzahlig geht das erst nach drei Schritten auf — drei Hauptgerichte mehr bedeuten sieben Nachtische weniger, denn \(3\cdot 3{,}50\ \text{€}=7\cdot 1{,}50\ \text{€}=10{,}50\ \text{€}\).

Damit \(y=14-\frac{7}{3}x\) eine ganze Zahl ist, muss \(x\) ein Vielfaches von 3 sein. Zusammen mit \(0\le x\le 6\) bleiben die drei grün markierten Paare:

\((0\,|\,14)\), \((3\,|\,7)\), \((6\,|\,0)\)

Der orange markierte Punkt \((4\,|\,4{,}67)\) liegt zwar auf der Geraden und erfüllt die Gleichung rechnerisch — die Probe ergibt \(3{,}5\cdot 4+1{,}5\cdot\frac{14}{3}=14+7=21\). Er ist aber keine mögliche Bestellung, weil sich 4,67 Nachtische nicht kaufen lassen. Die Gerade enthält unendlich viele Lösungspaare; nur drei davon sind hier sachlich sinnvoll.

Ein Erwachsener bringt 6 €, ein Kind 0 €. Damit gilt

\(6x+0\cdot y=72\)

Es ist \(a=6\), \(b=0\) und \(c=72\). Der Koeffizient \(b=0\) hält fest, dass die Kinderzahl die Einnahme nicht verändert.

Aus \(6x=72\) folgt \(x=12\). Für \(y\) enthält die Gleichung keine Bedingung, denn \(0\cdot y=0\) ist für jedes \(y\) wahr.

\(L=\{(12\,|\,y)\ \text{mit beliebigem}\ y\}\)

Alle Lösungspaare haben dieselbe erste Koordinate. Ihre Punkte liegen daher auf einer senkrechten Geraden durch \(x=12\), also parallel zur \(y\)-Achse. Sachlich sinnvoll sind davon die Paare mit ganzzahligem \(y\ge 0\).

Die Notiz ist falsch. Sowohl \((12\,|\,0)\) als auch \((12\,|\,9)\) sind Lösungen:

\(6\cdot 12+0\cdot 0=72\) und \(6\cdot 12+0\cdot 9=72\)

Im ersten Fall fuhren 12 Fahrgäste, im zweiten 21. Die Einnahme ist in beiden Fällen dieselbe, die Fahrgastzahl aber nicht. Richtig ist nur die Aussage über die Erwachsenen: Es waren genau 12 Erwachsene. Über die Kinder lässt sich aus der Kasse überhaupt nichts ablesen, weil sie nichts bezahlen — genau das drückt der Koeffizient \(b=0\) aus.

Ab 2026 lautet die Gleichung \(6x+2y=72\), umgestellt \(y=36-3x\).

Sachlich sinnvoll sind die Paare mit ganzzahligem \(x\) von 0 bis 12, also 13 Lösungspaare von \((0\,|\,36)\) über \((6\,|\,18)\) bis \((12\,|\,0)\).

Für die Gesamtzahl der Fahrgäste gilt \(x+y=x+36-3x=36-2x\). Sie hängt also weiterhin von \(x\) ab und reicht von 36 Fahrgästen (bei \(x=0\)) bis 12 Fahrgästen (bei \(x=12\)).

Die Fahrgastzahl lässt sich demnach auch mit dem neuen Kinderpreis nicht eindeutig bestimmen; die Lage ist sogar unübersichtlicher als vorher, weil nun nicht einmal mehr die Zahl der Erwachsenen feststeht. Der neue Preis macht die Kinder zwar in der Kasse sichtbar, ersetzt aber keine zweite unabhängige Angabe — etwa die gezählte Zahl der Fahrgäste.

Die \(x\) Sprossen ergeben \(0{,}8x\) Meter, die \(y\) Streben \(1{,}2y\) Meter. Zusammen sind es 6,00 m:

\(0{,}8x+1{,}2y=6\)

Multiplikation beider Seiten mit 2,5 beseitigt die Dezimalzahlen:

\(2{,}5\cdot 0{,}8x+2{,}5\cdot 1{,}2y=2{,}5\cdot 6\)

\(2x+3y=15\)

Beide Gleichungen haben dieselbe Lösungsmenge, weil beide Seiten mit derselben von null verschiedenen Zahl multipliziert wurden. Probe mit der Skizze aus M5: \(2\cdot 3+3\cdot 3=6+9=15\).

Umstellen nach \(x\): \(2x=15-3y\), also \(x=\frac{15-3y}{2}\).

Der Zähler \(15-3y\) ist nur für ungerades \(y\) durch 2 teilbar. Zusammen mit \(x\ge 0\), also \(y\le 5\), bleiben:

\(y=1\Rightarrow x=6\); \(y=3\Rightarrow x=3\); \(y=5\Rightarrow x=0\)

Es gibt genau drei ausführbare Zuschnitte: \((6\,|\,1)\), \((3\,|\,3)\) und \((0\,|\,5)\). Proben: \(0{,}8\cdot 6+1{,}2\cdot 1=6\), \(0{,}8\cdot 3+1{,}2\cdot 3=6\), \(1{,}2\cdot 5=6\).

Die Aussage ist falsch. Probe für \((4\,|\,2)\):

\(0{,}8\cdot 4+1{,}2\cdot 2=3{,}2+2{,}4=5{,}6\neq 6\)

Bei diesem Zuschnitt bleiben 0,40 m Rest, die Latte wird also nicht restlos aufgebraucht; das Paar \((4\,|\,2)\) gehört nicht zur Lösungsmenge. In der vereinfachten Form ist das ebenso zu sehen: \(2\cdot 4+3\cdot 2=14\neq 15\).

Der Denkfehler steckt im Wort „deshalb“: Die Gleichung hat zwar als Gleichung mit zwei Variablen unendlich viele Lösungen, diese liegen aber alle auf einer bestimmten Geraden. Nicht jedes beliebige Zahlenpaar ist eine Lösung, und von den Lösungen sind nur die mit nicht negativen ganzen Zahlen als Zuschnitt brauchbar — das sind hier genau drei.

Nein, aus dieser einen Gleichung allein lässt sich der Zuschnitt nicht festlegen. Sie beschreibt nur eine einzige Bedingung, nämlich die Gesamtlänge; die Lösungsmenge ist eine ganze Gerade, und selbst nach dem Aussortieren der sachlich sinnvollen Paare bleiben drei gleichberechtigte Möglichkeiten übrig: \((6\,|\,1)\), \((3\,|\,3)\) und \((0\,|\,5)\).

Eindeutig wird die Sache erst durch eine zweite, unabhängige Angabe. Wünscht die Kundin zum Beispiel insgesamt 6 Stücke, so bleibt von den drei Paaren nur \((3\,|\,3)\) übrig, denn \(6+1=7\) und \(0+5=5\) erfüllen diese Bedingung nicht. Verlangt sie dagegen doppelt so viele Sprossen wie Streben, so passt nur \((6\,|\,3)\) — dieses Paar erfüllt aber die Längenbedingung nicht, sodass sich dieser Wunsch aus einer Latte gar nicht erfüllen lässt.

Meine Position: Eine einzelne lineare Gleichung mit zwei Variablen legt kein Zahlenpaar fest, sondern nur einen Zusammenhang zwischen den beiden Größen. Sie ist als Modell trotzdem nützlich, weil sie die Zahl der Möglichkeiten von unendlich vielen Wünschen auf wenige ausführbare Zuschnitte einschränkt.