Lineare Gleichungssysteme: Übungen – Mathe Klasse 11

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungLineare Gleichungssysteme — Überblick über die drei Verfahren und die Anzahl der Lösungen.

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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Überblick über lineare Gleichungssysteme. Der Schwerpunkt liegt nicht auf dem Durchrechnen eines einzelnen Verfahrens — das steht in den Unterkapiteln 1.4.3 bis 1.4.5 — sondern auf dem Erkennen: Was ist ein Gleichungssystem, welches Verfahren passt zu welcher Form und wie viele Lösungen hat das System?

1Drei Verfahren, ein ZielAFB I

Fünf Begriffe, fünf Beschreibungen. Verbinden Sie, was zusammengehört.

Wähle links einen Begriff aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die passende Beschreibung an.

Alle drei Verfahren haben dieselbe Idee: Aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird eine Gleichung mit einer Variablen. Nur der Weg dorthin ist verschieden.

2Die Fachbegriffe zu den drei FällenAFB I

Sechs Fachbegriffe fehlen im Text. Setzen Sie die passenden Wörter ein. Ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Haben die Geraden verschiedene Steigungen, dann sie sich in genau einem Punkt — das System hat genau eine Lösung. Bei gleicher kommt es auf den y-Achsenabschnitt an: Ist er verschieden, sind die Geraden und es gibt keine Lösung; ist er gleich, sind die Geraden und es gibt unendlich viele. Rechnerisch bleibt im zweiten Fall eine Aussage wie 0 = 7 stehen, im dritten eine Aussage wie 5 = 5.

Die Steigung entscheidet zuerst — der übrig gebliebene Begriff gehört zum ersten Fall. Erst bei gleicher Steigung trennt der y-Achsenabschnitt „keine“ von „unendlich viele“.

3Sechs Systeme, drei KörbeAFB I

Sechs Gleichungssysteme. Sortieren Sie jedes in den Korb mit der passenden Anzahl Lösungen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1genau eine Lösung

2keine Lösung

3unendlich viele

Gleiche linke Seite, verschiedene rechte Seite: keine Lösung. Ist die ganze zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten (auch rechts), gibt es unendlich viele. Bei \(-4x+2y=-8\) ist der Faktor \(-2\), bei \(3x+3y=21\) der Faktor \(3\).

4Gleichung und Geradenform verbindenAFB I

Fünf Gleichungen, fünf Geradengleichungen. Verbinden Sie, was dieselbe Gerade beschreibt.

Wähle links eine Gleichung aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die passende Geradengleichung an.

\(2y-x=4\) und \(4y-2x=4\) haben dieselbe Steigung \(0{,}5\), aber verschiedene Achsenabschnitte — als System hätten sie keine Lösung.

5Der Fall über die NormalformAFB I

Sechs Schritte, um den Lösungsfall über die Form \(y=mx+b\) zu bestimmen — durcheinander. Bringen Sie sie in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Sind die Steigungen gleich: die y-Achsenabschnitte vergleichen.

2Beide Gleichungen nach y auflösen.

3Gleiche Achsenabschnitte: identische Geraden, unendlich viele Lösungen.

4Die beiden Steigungen vergleichen.

5Verschiedene Achsenabschnitte: parallele Geraden, keine Lösung.

6Sind die Steigungen verschieden: Die Geraden schneiden sich, genau eine Lösung — fertig.

Erst die Steigung, dann der Achsenabschnitt — in dieser Reihenfolge lässt sich der Fall ablesen, ohne das System zu lösen.

6Parallel statt SchnittpunktAFB I

Für welchen Wert von \(m\) haben die Geraden \(y=m\cdot x-2\) und \(y=-3x+4\) keinen gemeinsamen Punkt? Geben Sie \(m\) an.

Parallel heißt: gleiche Steigung, verschiedener Achsenabschnitt. Enter prüft.

Mit \(m=-3\) haben beide Geraden die Steigung \(-3\), die Achsenabschnitte \(-2\) und \(4\) sind verschieden — parallel, keine Lösung. Für jedes andere \(m\) gibt es genau einen Schnittpunkt.

7System und Lösung im KopfAFB II

Fünf kleine Systeme, fünf Lösungspaare. Finden Sie die Paare — die Systeme lassen sich im Kopf lösen.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.

Versuche: 0 von 16

Summe und Differenz sind die schnellsten Systeme: Addieren liefert 2x, Subtrahieren 2y. Bei y = 2x und x + y = 9 wird eingesetzt: 3x = 9.

8Welches Verfahren passt am besten?AFB II

Sechs Systeme. Ordnen Sie jedes dem Verfahren zu, das ohne Umwege zum Ziel führt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Einsetzen

2Addition

3Gleichsetzen

Ist eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst, wird eingesetzt; sind beide nach derselben aufgelöst, gleichgesetzt. Stehen die Variablen sortiert untereinander, ist Addition am kürzesten — bei \(2x\) und \(2x\) wird subtrahiert, also mit \(-1\) multipliziert und addiert.

9Welche Systeme sind eindeutig lösbar?AFB II

Sieben Systeme. Markieren Sie alle, die genau eine Lösung haben.

Verschiedene Steigungen bedeuten genau eine Lösung. Markiere alle Treffer.

\(3x+6y=12\) und \(x+2y=4\) sind dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen), \(5x-y=3\) und \(10x-2y=7\) sind parallel (keine Lösung): Die linke Seite ist verdoppelt, die rechte nicht.

10Was fällt beim Addieren direkt weg?AFB II

Vier Systeme. Kreuzen Sie an, welche Variable beim direkten Addieren der beiden Gleichungen wegfällt — ohne dass vorher multipliziert werden muss.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

System	x fällt direkt weg	y fällt direkt weg	keine — erst multiplizieren
I: 3x + 2y = 8 · II: 5x − 2y = 8
I: 4x + y = 3 · II: −4x + 3y = 5
I: x + y = 4 · II: x − y = 2
I: 2x + 3y = 7 · II: 4x + 5y = 13

Bei x + y = 4 und x − y = 2 fällt beim Addieren y weg — x fiele nur beim Subtrahieren weg, also nach Multiplikation mit −1. Bei 2x + 3y = 7 und 4x + 5y = 13 hilft nur ein Faktor, zum Beispiel I · (−2).

11Punkte an zwei Geraden ablesenAFB II

Blau ist die Gerade zu \(\text{I: } y=x-1\), orange die zu \(\text{II: } y=-0{,}5x+2\). Klicken Sie nacheinander die gesuchten Punkte an.

Klicke den gesuchten Punkt im Koordinatensystem an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Rechnerisch: \(x-1=-0{,}5x+2\), also \(1{,}5x=3\), \(x=2\), \(y=1\) — Punkt A. Der y-Achsenabschnitt von II ist \(2\) (Punkt C), die Nullstelle von I liegt bei \(x=1\) (Punkt E). Für F ergibt I den Wert \(2\) und II den Wert \(0{,}5\), beide nicht \(3\).

12Aussagen zu den Lösungsfällen prüfenAFB II

Sieben Aussagen. Entscheiden Sie nacheinander, ob sie zutreffen.

Sieben Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 7

Was am Ende dasteht, entscheidet: eine Gleichung mit Variable, eine falsche Aussage oder eine wahre Aussage. Mehr Fälle gibt es nicht.

13Vielfaches prüfen und Fall bestimmenAFB II

\(\text{I: } 2x-5y=3\), \(\text{II: } -6x+15y=-9\). Prüfen Sie Schritt für Schritt, ob II ein Vielfaches von I ist.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Mit welchem Faktor wird der x-Term von I zum x-Term von II?
Dieser Faktor mal −5y ergibt welchen y-Koeffizienten?
Dieser Faktor mal 3 ergibt welche rechte Seite?
Wie viele Lösungen hat das System? Tippe 0 (keine), 1 (genau eine) oder 99 (unendlich viele).

Faktor \(-3\) passt für \(x\), \(y\) und die rechte Seite — II ist vollständig das \((-3)\)-fache von I. Beide Gleichungen beschreiben die Gerade \(y=0{,}4x-0{,}6\): unendlich viele Lösungen.

14Parameter für unendlich viele LösungenAFB II

\(\text{I: } 5x+10y=20\), \(\text{II: } x+2y=c\). Stellen Sie den Regler auf den Wert von \(c\), für den das System unendlich viele Lösungen hat.

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in halben Schritten. Der Regler muss exakt stimmen.

010

I geteilt durch \(5\) ergibt \(x+2y=4\). Genau für \(c=4\) sind die Gleichungen identisch. Für jedes andere \(c\) sind die Geraden parallel — dann gibt es keine Lösung.

15Lage von sechs GeradenpaarenAFB II

Sechs Geradenpaare. Ordnen Sie jedes dem passenden Bereich zu.

Ordne jedes Paar einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 schneidend

2 parallel

3 identisch

\(y=-3\) und \(x=1\) sind eine waagerechte und eine senkrechte Gerade — sie schneiden sich im Punkt \((1\,|\,-3)\). \(3y=-6x+15\) ist nur die verdreifachte Gleichung \(y=-2x+5\).

16Fehler in der Begründung findenAFB II

\(\text{I: } 3x-y=2\), \(\text{II: } 6x-2y=4\). Die Begründung enthält zwei Fehler. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Begründung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 2 widerspricht Zeile 1: Ist die ganze Gleichung ein Vielfaches, sind die Geraden identisch. Und bei identischen Geraden ist nicht ein Punkt die Lösung, sondern jeder Punkt der Geraden.

17Nachweis zusammensetzen: keine LösungAFB II

\(\text{I: } 6x-9y=3\), \(\text{II: } -2x+3y=4\). Setzen Sie den Nachweis zusammen, dass das System keine Lösung hat — zwei Bausteine sind falsch.

Setze den Nachweis von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Beim Multiplizieren mit −3 dreht sich jedes Vorzeichen: aus +3y wird −9y. Und 0 = 15 ist falsch — genau das ist das Kennzeichen von „keine Lösung“.

18Entscheidungsbaum: Verfahren wählenAFB II

Gegeben ist \(\text{I: } y=4x-3\), \(\text{II: } 2x+3y=5\). Beantworten Sie die Fragen des Baums für dieses System.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Nur I ist aufgelöst (nach \(y\)), II nicht — also Einsetzen: \(2x+3(4x-3)=5\), \(14x=14\), \(x=1\), \(y=1\). Mit dem Baum lässt sich jedes System in wenigen Sekunden einordnen.

19Parameter für „keine Lösung“AFB III

\(\text{I: } a\cdot x+4y=8\), \(\text{II: } 3x-y=5\). Bestimmen Sie \(a\) so, dass das System keine Lösung hat.

Beide Gleichungen nach y auflösen und die Steigungen gleichsetzen. Enter prüft.

II: \(y=3x-5\), Steigung \(3\). I: \(y=-\frac{a}{4}x+2\). Gleiche Steigung bei \(-\frac{a}{4}=3\), also \(a=-12\). Die Achsenabschnitte \(2\) und \(-5\) sind verschieden — parallel, keine Lösung.

20Welche Lösungsmengen sind möglich?AFB III

Sieben Aussagen über die möglichen Lösungsmengen. Markieren Sie alle richtigen.

Denke an die beiden Geraden. Markiere alle zutreffenden Aussagen.

Zwei Geraden haben einen, keinen oder unendlich viele gemeinsame Punkte — jede endliche Anzahl größer als 1 ist geometrisch unmöglich. Die letzten beiden Aussagen beschreiben genau die Fälle „identisch, aber anders geschrieben“ und „parallel“.

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