Zwei Buchungen in der Kletterhalle
AFB IEine Kletterhalle verkauft Tageskarten zu zwei Preisen: einen Preis für Erwachsene und einen ermäßigten Preis für Jugendliche. Die Preise stehen nicht am Eingang, aber zwei Rechnungen aus der vergangenen Woche sind erhalten geblieben (Material M1). Es bezeichne \(x\) den Preis einer Tageskarte für Erwachsene in Euro und \(y\) den Preis einer Tageskarte für Jugendliche in Euro. Damit gehört zu den beiden Rechnungen das Gleichungssystem \(\text{I: } x+4y=47\) und \(\text{II: } 3x+2y=66\).
| Buchung | Erwachsene | Jugendliche | Rechnungsbetrag |
|---|---|---|---|
| Buchung I | 1 | 4 | 47,00 € |
| Buchung II | 3 | 2 | 66,00 € |
Innerhalb einer Buchung zahlt jede Person derselben Gruppe denselben Preis; Zusatzkosten fallen nicht an.
- Geben Sie an, welches der drei Verfahren hier ohne Brüche zum Ziel führt und welche Gleichung dafür nach welcher Variablen aufgelöst wird, und geben Sie den aufgelösten Ausdruck an.
- Berechnen Sie die beiden Kartenpreise.
- Zeigen Sie durch die Probe, dass Ihr Zahlenpaar beide Gleichungen erfüllt, und berechnen Sie anschließend den Rechnungsbetrag für eine Gruppe aus 2 Erwachsenen und 9 Jugendlichen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Vor \(x\) steht in Gleichung I eine \(1\). Damit lässt sich I bruchfrei nach \(x\) auflösen, und das Einsetzungsverfahren ist hier der kürzeste Weg:
\(x+4y=47 \quad\Longrightarrow\quad x=47-4y\)
Jede andere Wahl (etwa II nach \(y\)) führt auf einen Bruch, weil dort vor jeder Variablen eine Zahl ungleich 1 steht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Einsetzen von \(x=47-4y\) in Gleichung II:
\(3\cdot(47-4y)+2y=66\)
\(141-12y+2y=66\)
\(141-10y=66 \quad\big|\ -141\)
\(-10y=-75 \quad\big|\ :(-10)\)
\(y=7{,}5\)
Zurücksetzen in die aufgelöste Gleichung: \(x=47-4\cdot 7{,}5=47-30=17\).
\(L=\{(17\,|\,7{,}5)\}\). Eine Tageskarte für Erwachsene kostet also 17,00 €, eine Tageskarte für Jugendliche 7,50 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Probe in I: \(17+4\cdot 7{,}5=17+30=47\) — richtig.
Probe in II: \(3\cdot 17+2\cdot 7{,}5=51+15=66\) — richtig. Beide Rechnungsbeträge werden getroffen.
Gruppe aus 2 Erwachsenen und 9 Jugendlichen: \(2\cdot 17{,}00\ \text{€}+9\cdot 7{,}50\ \text{€}=34{,}00\ \text{€}+67{,}50\ \text{€}=101{,}50\ \text{€}\).
Die Gruppe zahlt 101,50 €.
Drei Preise am Kanuverleih
AFB IEin Kanuverleih am Stausee bietet drei Tarife an. Beim Tarif Sonnendeck zahlt man 9 € für jede angefangene Stunde. Beim Tarif Clubkarte kommen zu einer einmaligen Gebühr von 16 € noch 5 € je Stunde hinzu, beim Tarif Ferienpass zu einer Gebühr von 28 € ebenfalls 5 € je Stunde.
Material M2 zeigt die drei Preisgeraden. Dabei steht \(x\) für die Mietdauer in Stunden und \(y\) für den Preis in Euro.
Der Punkt S ist der einzige gemeinsame Punkt der blauen und der grünen Geraden.
- Geben Sie die Koordinaten des Punktes S an und erläutern Sie, was die beiden Zahlen für einen Kunden bedeuten.
- Geben Sie an, wie viele Lösungen das Gleichungssystem aus den Gleichungen \(y=9x\) und \(y=5x+16\) hat, und nennen Sie die Lage der beiden Geraden zueinander.
- Geben Sie an, wie viele gemeinsame Punkte die Geraden der Tarife Clubkarte und Ferienpass haben, und begründen Sie Ihre Antwort mit den beiden Geradengleichungen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(S(4\,|\,36)\).
Wer das Kanu genau 4 Stunden mietet, zahlt in beiden Tarifen denselben Preis, nämlich 36 €. Bei kürzerer Mietdauer ist Sonnendeck günstiger, bei längerer die Clubkarte.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, nämlich \(x=4\) und \(y=36\).
Die beiden Geraden haben die Steigungen \(9\) und \(5\). Weil die Steigungen verschieden sind, schneiden sie sich in genau einem Punkt; sie sind schneidende Geraden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die beiden Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt.
Es ist \(y=5x+16\) und \(y=5x+28\). Beide Geraden haben dieselbe Steigung \(5\), aber verschiedene y-Achsenabschnitte \(16\neq 28\); sie sind also parallel und verschieden. Das zugehörige Gleichungssystem hat keine Lösung: Der Ferienpass ist bei jeder Mietdauer genau 12 € teurer als die Clubkarte, die beiden Tarife werden nie gleich teuer.
Drei Kassenbons aus der Mensa
AFB IIIn der Mensa einer Hochschule kosten alle Portionen Nudelauflauf gleich viel, ebenso alle Portionen Salat. Die Einzelpreise stehen nicht auf den Bons, nur die Stückzahlen und der Endbetrag (Material M3). Eine Studentin möchte aus den Bons die beiden Einzelpreise zurückrechnen.
Dabei bezeichnet \(x\) den Preis einer Portion Nudelauflauf in Euro und \(y\) den Preis einer Portion Salat in Euro.
| Kassenbon | Portionen Nudelauflauf | Portionen Salat | Endbetrag |
|---|---|---|---|
| Bon 1 | 3 | 2 | 16,50 € |
| Bon 2 | 6 | 4 | 30,00 € |
| Bon 3 | 4 | 1 | 14,50 € |
Alle drei Bons stammen aus derselben Woche; die Preise haben sich in dieser Zeit nicht geändert.
- Stellen Sie aus Bon 1 und Bon 2 ein lineares Gleichungssystem auf.
- Zeigen Sie, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung besitzt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Ermitteln Sie aus Bon 1 und Bon 3 die beiden Einzelpreise und begründen Sie, warum dieses Gleichungssystem genau eine Lösung hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Bon 1: \(3x+2y=16{,}5\)
Bon 2: \(6x+4y=30\)
Dabei ist \(x\) der Preis einer Portion Nudelauflauf und \(y\) der Preis einer Portion Salat, jeweils in Euro.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die linke Seite der zweiten Gleichung ist das Doppelte der ersten. Verdoppelt man Gleichung I, so ergibt sich
\(2\cdot(3x+2y)=2\cdot 16{,}5\quad\Rightarrow\quad 6x+4y=33\)
Subtrahiert man davon Gleichung II, so fallen beide Variablen weg und es bleibt \(0=3\) — eine falsche Aussage. Also ist \(L=\{\ \}\); das Gleichungssystem hat keine Lösung. Nach \(y\) aufgelöst lauten die Gleichungen \(y=-1{,}5x+8{,}25\) und \(y=-1{,}5x+7{,}5\): gleiche Steigung, verschiedener y-Achsenabschnitt, die Geraden sind parallel.
Im Sachzusammenhang bedeutet das: Es gibt kein Preispaar, das zu beiden Bons passt. Bon 2 müsste bei doppelter Bestellung genau 33,00 € ausweisen, tatsächlich stehen dort 30,00 €. Einer der beiden Bons ist also fehlerhaft — etwa durch einen Rabatt, eine Stornierung oder einen Tippfehler.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bon 1: \(3x+2y=16{,}5\), Bon 3: \(4x+y=14{,}5\).
Aus Bon 3 folgt \(y=14{,}5-4x\). Einsetzen in Bon 1:
\(3x+2\cdot(14{,}5-4x)=16{,}5\quad\Rightarrow\quad 3x+29-8x=16{,}5\quad\Rightarrow\quad -5x=-12{,}5\quad\Rightarrow\quad x=2{,}5\)
Damit ist \(y=14{,}5-4\cdot 2{,}5=4{,}5\). Eine Portion Nudelauflauf kostet 2,50 €, eine Portion Salat 4,50 €.
Es bleibt eine Gleichung mit einer Variablen übrig, also gibt es genau eine Lösung. Der Grund: \(4x+y\) ist kein Vielfaches von \(3x+2y\). Nach \(y\) aufgelöst haben die Geraden die Steigungen \(-1{,}5\) und \(-4\); verschiedene Steigungen bedeuten genau einen Schnittpunkt.
Das Ausflugsschiff auf der Weser
AFB IIEin Ausflugsschiff pendelt zwischen zwei Anlegestellen, die 36 km auseinanderliegen. Flussabwärts schiebt die Strömung das Schiff, flussaufwärts bremst sie es. Der Fahrplan nennt für beide Richtungen die reine Fahrzeit ohne Aufenthalt (Material M4).
Die Maschine läuft auf beiden Fahrten gleich stark, und die Strömung ist auf der ganzen Strecke gleich schnell.
| Fahrt | Richtung | Strecke | reine Fahrzeit |
|---|---|---|---|
| Talfahrt | mit der Strömung | 36 km | 2 h |
| Bergfahrt | gegen die Strömung | 36 km | 3 h |
Die Geschwindigkeit über Grund ist bei der Talfahrt die Summe, bei der Bergfahrt die Differenz aus Eigengeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit.
- Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für die Eigengeschwindigkeit \(x\) des Schiffes und die Strömungsgeschwindigkeit \(y\) (jeweils in Kilometern pro Stunde) auf.
- Lösen Sie das System mit einem Verfahren Ihrer Wahl und interpretieren Sie die beiden Werte im Sachzusammenhang.
- Berechnen Sie, wie lange das Schiff für eine 45 km lange Bergfahrt und die anschließende Talfahrt zurück benötigt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Geschwindigkeit über Grund bei der Talfahrt: \(\frac{36\ \text{km}}{2\ \text{h}}=18\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\); bei der Bergfahrt: \(\frac{36\ \text{km}}{3\ \text{h}}=12\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Mit \(x\) als Eigengeschwindigkeit und \(y\) als Strömungsgeschwindigkeit (in km/h) gilt:
\(\text{I: } x+y=18\)
\(\text{II: } x-y=12\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Koeffizienten vor \(y\) sind bereits Gegenzahlen, das System kann unverändert addiert werden:
\((x+x)+(y-y)=18+12\)
\(2x=30 \quad\big|\ :2\)
\(x=15\)
Einsetzen in I: \(15+y=18\), also \(y=3\). Damit ist \(L=\{(15\,|\,3)\}\).
Das Schiff fährt aus eigener Kraft 15 km/h; die Strömung der Weser trägt 3 km/h bei. Flussabwärts addieren sich beide zu 18 km/h, flussaufwärts bleiben 12 km/h übrig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bergfahrt: \(\frac{45\ \text{km}}{12\ \frac{\text{km}}{\text{h}}}=3{,}75\ \text{h}=3\ \text{h}\ 45\ \text{min}\).
Talfahrt: \(\frac{45\ \text{km}}{18\ \frac{\text{km}}{\text{h}}}=2{,}5\ \text{h}=2\ \text{h}\ 30\ \text{min}\).
Zusammen sind das \(6{,}25\ \text{h}\), also 6 Stunden und 15 Minuten reine Fahrzeit für Hin- und Rückweg.
Begegnung auf der Nebenstrecke
AFB IIZwischen den Bahnhöfen Altstadt und Neuhafen liegen 120 km eingleisige Strecke. Um 8:00 Uhr fährt in Altstadt ein Güterzug mit gleichbleibend 60 km/h in Richtung Neuhafen los. Zur selben Zeit startet in Neuhafen ein Personenzug mit gleichbleibend 90 km/h in Richtung Altstadt. Beide Züge müssen sich in einer Ausweichstelle begegnen.
Für beide Züge wird die Entfernung \(y\) von Altstadt in Kilometern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden nach 8:00 Uhr beschrieben (Material M5).
Beide Entfernungen werden vom selben Bahnhof aus gemessen, nämlich von Altstadt.
- Stellen Sie für beide Züge je eine Gleichung auf und berechnen Sie, wann und wo sich die Züge begegnen.
- Erläutern Sie, woran man im Diagramm M5 erkennt, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt.
- Ein zweiter Güterzug verlässt Altstadt um 8:20 Uhr, ebenfalls mit 60 km/h in Richtung Neuhafen. Untersuchen Sie, wie viele Lösungen das Gleichungssystem aus den Gleichungen der beiden Güterzüge hat, und interpretieren Sie das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Güterzug: \(y=60t\). Personenzug: \(y=120-90t\).
Gleichsetzen: \(60t=120-90t\quad\Rightarrow\quad 150t=120\quad\Rightarrow\quad t=0{,}8\)
Einsetzen: \(y=60\cdot 0{,}8=48\).
\(0{,}8\ \text{h}=48\ \text{min}\). Die Züge begegnen sich um 8:48 Uhr, und zwar 48 km von Altstadt entfernt (also 72 km vor Neuhafen).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Jeder Punkt einer Geraden gibt an, wo sich der zugehörige Zug zu einer bestimmten Zeit befindet. Eine Lösung des Gleichungssystems ist ein Punkt, der auf beiden Geraden liegt — dort sind beide Züge zur selben Zeit gleich weit von Altstadt entfernt.
Im Diagramm haben die beiden Geraden genau einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt \(S(0{,}8\,|\,48)\). Die Steigungen \(60\) und \(-90\) sind verschieden, deshalb schneiden sich die Geraden genau einmal. Das Gleichungssystem hat also genau eine Lösung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der zweite Güterzug startet \(20\ \text{min}=\frac{1}{3}\ \text{h}\) später und legt in dieser Zeit \(60\cdot\frac{1}{3}=20\) km weniger zurück. Seine Gleichung lautet \(y=60\left(t-\frac{1}{3}\right)=60t-20\).
Gleichsetzen mit \(y=60t\) ergibt \(60t=60t-20\), also \(0=-20\) — eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Beide Geraden haben dieselbe Steigung 60, aber verschiedene y-Achsenabschnitte (\(0\) und \(-20\)); sie verlaufen parallel und schneiden sich nie. Im Sachzusammenhang: Weil beide Güterzüge gleich schnell fahren, bleibt der Abstand dauerhaft 20 km. Der zweite Zug holt den ersten nie ein — es gibt keinen Zeitpunkt, zu dem beide gleich weit von Altstadt entfernt sind.
Der Prüfbogen im Bauplanungsbüro
AFB IIIEin Bauplanungsbüro bestellt Beton in Fuhren von zwei Werken. Dabei ist \(x\) die Anzahl der Fuhren von Werk A und \(y\) die Anzahl der Fuhren von Werk B. Zu jedem Auftrag werden zwei Bedingungen notiert (Material M6). Bevor gerechnet wird, prüft das Büro, ob die beiden Bedingungen überhaupt zusammenpassen.
In jedem Kubikmeter Beton stecken genau 2 Tonnen Zuschlagstoff. Eine Bedingung über den Zuschlagstoff ist deshalb stets das Doppelte der zugehörigen Bedingung über die Betonmenge.
| Auftrag | Bedingung I (Beton in Kubikmetern) | Bedingung II |
|---|---|---|
| 1 | \(2x+3y=24\) | \(4x+6y=48\) (Zuschlagstoff in Tonnen) |
| 2 | \(5x+2y=31\) | \(10x+4y=50\) (Zuschlagstoff in Tonnen) |
| 3 | \(4x+3y=26\) | \(2x+5y=20\) (Fahrzeit in Stunden) |
Die Bedingungen stammen aus verschiedenen Quellen: Bauleitung, Lieferschein und Fahrtenbuch.
- Bestimmen Sie für jeden der drei Aufträge die Anzahl der Lösungen, ohne die Gleichungssysteme vollständig zu lösen.
- Ein Praktikant notiert: „Wenn die linken Seiten der beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind, hat das System immer unendlich viele Lösungen.“ Widerlegen Sie diese Behauptung mit einem Beispiel aus Material M6.
- Beurteilen Sie die Aussage der Büroleiterin: „Ein solches Gleichungssystem kann niemals genau zwei Lösungen haben.“
- Ermitteln Sie die Lösung für Auftrag 3 und interpretieren Sie sie im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Auftrag 1: Es ist \(2\cdot(2x+3y)=4x+6y\) und \(2\cdot 24=48\). Die gesamte zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten, die Geraden sind identisch. Das System hat unendlich viele Lösungen; die zweite Bedingung enthält keine neue Information.
Auftrag 2: Die linken Seiten passen mit dem Faktor 2 zusammen, denn \(2\cdot(5x+2y)=10x+4y\). Rechts müsste dann aber \(2\cdot 31=62\) stehen, notiert sind 50. Die Geraden sind parallel und verschieden, das System hat keine Lösung.
Auftrag 3: Aus \(4x\) wird \(2x\) mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\); damit wäre \(\frac{1}{2}\cdot 3y=1{,}5y\), in Bedingung II steht aber \(5y\). Die linken Seiten sind keine Vielfachen voneinander, die Geraden haben verschiedene Steigungen. Das System hat genau eine Lösung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Auftrag 2 ist ein Gegenbeispiel: Dort ist \(10x+4y\) genau das Doppelte von \(5x+2y\), die linken Seiten sind also Vielfache voneinander. Trotzdem hat das System keine einzige Lösung, denn aus \(2\cdot\text{I}\) folgt \(10x+4y=62\), während Bedingung II \(10x+4y=50\) fordert. Derselbe Term kann nicht gleichzeitig 62 und 50 sein; beim Subtrahieren bleibt \(0=12\) stehen.
Die Behauptung ist damit widerlegt. Richtig wäre: Sind die linken Seiten Vielfache voneinander, so gibt es entweder unendlich viele Lösungen (wenn die rechte Seite mit demselben Faktor mitgeht) oder gar keine (wenn nicht). Der Fall „genau eine Lösung“ ist dann ausgeschlossen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage der Büroleiterin ist zutreffend.
Jede der beiden Gleichungen beschreibt eine Gerade, und die Lösungen sind genau die gemeinsamen Punkte dieser Geraden. Für zwei Geraden gibt es nur drei Möglichkeiten: Sie schneiden sich in genau einem Punkt, sie sind parallel und verschieden und haben gar keinen gemeinsamen Punkt, oder sie sind identisch und haben unendlich viele gemeinsame Punkte.
Hätten zwei Geraden zwei verschiedene Punkte gemeinsam, so wären sie durch diese beiden Punkte bereits vollständig festgelegt und damit identisch — dann hätten sie sofort unendlich viele Punkte gemeinsam. Genau zwei Lösungen können also nicht auftreten; möglich sind nur 0, 1 oder unendlich viele.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(\text{I: } 4x+3y=26\) und \(\text{II: } 2x+5y=20\). Verdoppeln von II ergibt \(4x+10y=40\).
\((4x+10y)-(4x+3y)=40-26\quad\Rightarrow\quad 7y=14\quad\Rightarrow\quad y=2\)
Einsetzen in I: \(4x+3\cdot 2=26\quad\Rightarrow\quad 4x=20\quad\Rightarrow\quad x=5\)
Probe in II: \(2\cdot 5+5\cdot 2=20\) — stimmt.
Für Auftrag 3 werden 5 Fuhren von Werk A und 2 Fuhren von Werk B bestellt. Damit sind die 26 Kubikmeter Beton geliefert und die 20 Stunden Fahrzeit genau eingehalten. Weil beide Werte ganze, nicht negative Zahlen sind, ist die Lösung im Sachzusammenhang auch umsetzbar.
Der verrechnete Werkstattzettel
AFB IIIEine Fahrradwerkstatt notiert für zwei Arbeitstage die Anzahl der durchgesehenen Räder und die dafür benötigte reine Arbeitszeit. Am Montag wurden 4 Rennräder und 3 Trekkingräder in 205 Minuten geprüft, am Dienstag 6 Rennräder und 2 Trekkingräder in 230 Minuten. Mit \(x\) für die Prüfzeit eines Rennrades und \(y\) für die Prüfzeit eines Trekkingrades in Minuten gehört dazu das System \(\text{I: } 4x+3y=205\) und \(\text{II: } 6x+2y=230\).
Eine Auszubildende löst das System mit dem Additionsverfahren und erhält das in Material M7 festgehaltene Ergebnis. Sie behauptet: „Die Rechnung stimmt, die Prüfzeiten sind eben sehr unterschiedlich.“
| Schritt | Notiz aus dem Heft |
|---|---|
| 1 | Gleichung I mit 3 multiplizieren: \(12x+9y=615\) |
| 2 | Gleichung II mit \(-2\) multiplizieren: \(-12x-4y=230\) |
| 3 | beide Gleichungen addieren: \(5y=845\) |
| 4 | nach \(y\) auflösen: \(y=169\) |
| 5 | \(y\) in I einsetzen: \(4x+507=205\), also \(x=-75{,}5\) |
| 6 | Lösungsmenge: \(L=\{(-75{,}5\,|\,169)\}\) |
Die Prüfzeit je Rad ist an beiden Tagen gleich; jede Zeit ist eine positive Anzahl von Minuten.
- Überprüfen Sie den Rechenweg in Material M7 und geben Sie an, in welchem Schritt der Fehler steckt.
- Widerlegen Sie die Behauptung der Auszubildenden mit einer Probe und begründen Sie, welche Regel des Additionsverfahrens verletzt wurde.
- Berechnen Sie die tatsächlichen Prüfzeiten für ein Rennrad und ein Trekkingrad.
- Beurteilen Sie die Aussage des Werkstattmeisters: „Mit dem Einsetzungsverfahren wäre die Auszubildende hier schneller ans Ziel gekommen, weil man dabei gar nicht multiplizieren muss.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Schritte 1, 3, 4 und 5 sind in sich richtig gerechnet. Der Fehler steckt in Schritt 2: Gleichung II lautet \(6x+2y=230\). Wird sie mit \(-2\) multipliziert, so muss auch die rechte Seite mit \(-2\) multipliziert werden. Richtig wäre \(-12x-4y=-460\); im Heft steht dort weiterhin \(230\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Probe des Paares \((-75{,}5\,|\,169)\) in Gleichung II: \(6\cdot(-75{,}5)+2\cdot 169=-453+338=-115\). Verlangt sind aber 230 Minuten, also ist Gleichung II nicht erfüllt und das Paar keine Lösung des Systems.
Zusätzlich ist das Ergebnis im Sachzusammenhang unmöglich: \(x=-75{,}5\) hieße, dass die Prüfung eines Rennrades gut 75 Minuten Arbeitszeit zurückgibt.
Verletzt wurde die Regel, dass beim Multiplizieren einer Gleichung jeder Summand und auch die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen mit dem Faktor multipliziert werden muss. Nur dann bleibt die Gleichung äquivalent; andernfalls beschreibt die neue Zeile einen anderen Sachverhalt als die ursprüngliche.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\text{I}\cdot 3:\quad 12x+9y=615\)
\(\text{II}\cdot(-2):\quad -12x-4y=-460\)
Addition: \(5y=155 \quad\big|\ :5\)
\(y=31\)
Einsetzen in I: \(4x+3\cdot 31=205\), also \(4x=205-93=112\) und \(x=28\).
Probe in II: \(6\cdot 28+2\cdot 31=168+62=230\) — richtig. Es ist \(L=\{(28\,|\,31)\}\).
Die Prüfung eines Rennrades dauert 28 Minuten, die eines Trekkingrades 31 Minuten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage ist nur zur Hälfte richtig. Zwar wird beim Einsetzungsverfahren keine ganze Gleichung mit einem Faktor durchmultipliziert, sodass der Fehler aus Schritt 2 dort nicht auftreten kann. Schneller ist es hier aber nicht: In diesem System steht vor keiner der vier Variablen eine 1. Löst man I nach \(x\) auf, so entsteht \(x=\frac{205-3y}{4}\), und dieser Bruch muss anschließend in II eingesetzt und mit 6 multipliziert werden. Das erzeugt Brüche im gesamten weiteren Rechenweg und damit mehr Fehlerquellen, nicht weniger. Das Additionsverfahren ist bei diesem System der günstigere Weg — der Fehler lag nicht am Verfahren, sondern an seiner unsauberen Anwendung.
Zwei Legierungen im Werkstoff-Labor
AFB IIIEin Werkstoff-Labor soll 20 kg einer Schmelze mit einem Silberanteil von 55 % herstellen. Zur Verfügung stehen zwei Legierungen mit unterschiedlichem Silberanteil (Material M8); beim Zusammenschmelzen geht kein Material verloren. Es bezeichne \(x\) die eingesetzte Masse der Legierung P und \(y\) die eingesetzte Masse der Legierung Q, jeweils in Kilogramm.
Ein Praktikant behauptet: „Das Gleichsetzungsverfahren kann man hier nicht verwenden, weil in der zweiten Gleichung Kommazahlen stehen. Dafür sind nur das Einsetzungs- und das Additionsverfahren gemacht.“
| Legierung | Silberanteil | Vorrat im Labor |
|---|---|---|
| Legierung P | 40 % | 18 kg |
| Legierung Q | 90 % | 15 kg |
| gewünschte Schmelze | 55 % | 20 kg |
Die Masse des reinen Silbers in der Schmelze ist die Summe der Silbermassen beider eingesetzter Legierungen.
- Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) auf und erläutern Sie, was die beiden Gleichungen jeweils bilanzieren.
- Lösen Sie das System mit dem Einsetzungsverfahren und überprüfen Sie, ob die Vorräte des Labors ausreichen.
- Vergleichen Sie Ihren Rechenweg mit dem Additionsverfahren, indem Sie dasselbe System auch damit lösen.
- Nehmen Sie zur Behauptung des Praktikanten Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } x+y=20\)
\(\text{II: } 0{,}4x+0{,}9y=11\)
Gleichung I bilanziert die Gesamtmasse: Die eingesetzten Massen beider Legierungen müssen zusammen die 20 kg der gewünschten Schmelze ergeben. Gleichung II bilanziert das reine Silber: In \(x\) Kilogramm der Legierung P stecken \(0{,}4x\) kg Silber, in \(y\) Kilogramm der Legierung Q stecken \(0{,}9y\) kg Silber. Zusammen müssen das \(0{,}55\cdot 20\ \text{kg}=11\ \text{kg}\) sein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichung I nach \(x\) auflösen: \(x=20-y\). Einsetzen in II:
\(0{,}4\cdot(20-y)+0{,}9y=11\)
\(8-0{,}4y+0{,}9y=11\)
\(8+0{,}5y=11 \quad\big|\ -8\)
\(0{,}5y=3 \quad\big|\ :0{,}5\)
\(y=6\)
Zurücksetzen: \(x=20-6=14\). Es ist \(L=\{(14\,|\,6)\}\).
Probe in II: \(0{,}4\cdot 14+0{,}9\cdot 6=5{,}6+5{,}4=11\) — richtig.
Benötigt werden 14 kg der Legierung P und 6 kg der Legierung Q. Vom Vorrat sind 18 kg von P und 15 kg von Q vorhanden, beides reicht also aus; nach dem Schmelzen bleiben 4 kg von P und 9 kg von Q übrig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Additionsverfahren: Gleichung I wird mit \(-0{,}4\) multipliziert, damit vor \(x\) die Gegenzahl von \(0{,}4\) steht.
\(\text{I}\cdot(-0{,}4):\quad -0{,}4x-0{,}4y=-8\)
Addition mit II: \((-0{,}4x+0{,}4x)+(-0{,}4y+0{,}9y)=-8+11\), also \(0{,}5y=3\) und damit wieder \(y=6\) und \(x=14\).
Vergleich: Beide Wege führen auf dieselbe Zwischengleichung \(0{,}5y=3\) und damit auf dieselbe Lösungsmenge — das ist kein Zufall, denn beide Verfahren formen dasselbe System äquivalent um. Unterschiedlich ist nur der Aufwand: Beim Einsetzungsverfahren muss eine Klammer ausmultipliziert werden, beim Additionsverfahren muss zuerst der passende Faktor gefunden werden. Da in Gleichung I vor beiden Variablen eine 1 steht, ist hier das Einsetzungsverfahren minimal kürzer; ein grundsätzlicher Vorteil ist das nicht.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung ist falsch. Kommazahlen sind für kein Verfahren ein Hindernis, denn alle drei Verfahren benutzen ausschließlich Äquivalenzumformungen, die für beliebige Zahlen gelten. Das Gleichsetzungsverfahren lässt sich hier vollständig durchführen:
I nach \(x\): \(x=20-y\).
II nach \(x\): \(0{,}4x=11-0{,}9y\), also \(x=\frac{11-0{,}9y}{0{,}4}=27{,}5-2{,}25y\).
Gleichsetzen: \(20-y=27{,}5-2{,}25y \quad\big|\ +2{,}25y\)
\(20+1{,}25y=27{,}5 \quad\big|\ -20\)
\(1{,}25y=7{,}5 \quad\big|\ :1{,}25\)
\(y=6\), und damit \(x=20-6=14\) — dieselbe Lösung wie zuvor.
Damit ist die Behauptung durch die Rechnung widerlegt. Richtig ist nur der Kern des Gedankens: Das Gleichsetzungsverfahren verlangt, beide Gleichungen nach derselben Variablen aufzulösen, und dabei entsteht hier durch die Division durch \(0{,}4\) ein etwas unhandlicher Ausdruck. Das ist eine Frage der Bequemlichkeit bei der Wahl des Verfahrens, nicht seiner Anwendbarkeit.
Zwei Stromtarife im Vergleich
AFB IIIEin Haushalt vergleicht zwei Stromtarife. Tarif A kostet 12 € Grundpreis im Monat und zusätzlich 0,32 € für jede verbrauchte Kilowattstunde. Tarif B kostet 20 € Grundpreis im Monat und zusätzlich \(k\) Euro je Kilowattstunde; der Arbeitspreis \(k\) hängt beim Anbieter von der gewählten Vertragslaufzeit ab.
Mit \(x\) für den Monatsverbrauch in Kilowattstunden und \(y\) für die Monatskosten in Euro gilt \(\text{I: } y=0{,}32x+12\) und \(\text{II: } y=kx+20\). Material M9 zeigt Tarif A sowie Tarif B für zwei Werte von \(k\).
Der Grundpreis ist der Wert bei \(x=0\), der Arbeitspreis die Steigung der jeweiligen Geraden.
- Berechnen Sie für \(k=0{,}22\) den Verbrauch, bei dem beide Tarife gleich viel kosten, sowie die zugehörigen Monatskosten.
- Bestimmen Sie, für welche Werte von \(k\) das Gleichungssystem genau eine Lösung und für welche es keine Lösung hat, und begründen Sie, warum es niemals unendlich viele Lösungen besitzt.
- Der Haushalt verbraucht im Mittel 250 kWh im Monat und erwägt Tarif B mit \(k=0{,}28\). Entscheiden Sie begründet, welchen Tarif der Haushalt wählen sollte.
- Nehmen Sie zu der Aussage eines Vergleichsportals Stellung: „Zu zwei Stromtarifen gibt es immer einen Verbrauch, bei dem beide gleich teuer sind.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(0{,}32x+12=0{,}22x+20\)
\(0{,}32x-0{,}22x=20-12\quad\Rightarrow\quad 0{,}1x=8\quad\Rightarrow\quad x=80\)
Einsetzen in I: \(y=0{,}32\cdot 80+12=25{,}6+12=37{,}6\).
Bei einem Verbrauch von 80 kWh im Monat kosten beide Tarife gleich viel, nämlich 37,60 €. Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, im Bild ist es der Schnittpunkt \(S(80\,|\,37{,}6)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die beiden Geraden haben die Steigungen \(0{,}32\) und \(k\).
Für \(k\neq 0{,}32\) sind die Steigungen verschieden, die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt: genau eine Lösung. Gleichsetzen liefert \((0{,}32-k)\,x=8\), also \(x=\frac{8}{0{,}32-k}\) — ein eindeutiger Wert, solange der Nenner nicht null ist.
Für \(k=0{,}32\) sind die Steigungen gleich, die Grundpreise mit 12 € und 20 € aber verschieden. Die Geraden sind parallel und verschieden: keine Lösung. Beim Gleichsetzen bleibt \(12=20\) stehen, eine falsche Aussage.
Unendlich viele Lösungen kann es nicht geben: Dafür müssten die Geraden identisch sein, also in Steigung und y-Achsenabschnitt übereinstimmen. Die y-Achsenabschnitte sind hier die festen Grundpreise 12 und 20, und \(12\neq 20\) gilt unabhängig von \(k\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für \(k=0{,}28\) gilt \(0{,}32x+12=0{,}28x+20\), also \(0{,}04x=8\) und damit \(x=200\). Ab 200 kWh im Monat ist Tarif B günstiger, darunter Tarif A.
Kosten bei 250 kWh: Tarif A: \(0{,}32\cdot 250+12=92\) €. Tarif B: \(0{,}28\cdot 250+20=90\) €.
Tarif B ist bei 250 kWh also nur 2 € im Monat günstiger, das sind rund 2 % der Rechnung. Der Verbrauch liegt zudem mit 250 kWh nicht weit über der Grenze von 200 kWh: Schon in einem verbrauchsarmen Monat unter 200 kWh — etwa im Urlaub — wäre Tarif A billiger.
Der Haushalt sollte deshalb bei Tarif A bleiben, solange der Verbrauch nicht dauerhaft deutlich über 200 kWh liegt. Der mögliche Gewinn ist klein, das Risiko einer Fehlentscheidung bei schwankendem Verbrauch dagegen real. Wer sicher jeden Monat mehr als 200 kWh verbraucht, kann dagegen zu Tarif B wechseln.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage ist in dieser Allgemeinheit falsch.
Ein Gegenbeispiel liefert Teilaufgabe b): Für \(k=0{,}32\) lauten die Gleichungen \(y=0{,}32x+12\) und \(y=0{,}32x+20\). Gleichsetzen führt auf \(12=20\), eine falsche Aussage; das Gleichungssystem hat keine Lösung. Die beiden Preisgeraden sind parallel — Tarif B ist bei jedem Verbrauch genau 8 € teurer als Tarif A und wird nie gleich teuer.
Richtig ist die Aussage nur, wenn sich die Arbeitspreise der beiden Tarife unterscheiden. Dann haben die Geraden verschiedene Steigungen und schneiden sich in genau einem Punkt. Zu ergänzen ist außerdem: Dieser Schnittpunkt muss im Sachzusammenhang nicht sinnvoll liegen. Ergibt sich ein negativer Verbrauch oder ein Wert von mehreren tausend Kilowattstunden, so existiert er zwar rechnerisch, für den Haushalt ist er aber ohne Bedeutung.