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Anzahl der Nullstellen: Textaufgaben

Fünf Aufgaben im Abiturformat mit Hinweisen und Erwartungshorizont — Vielfachheiten ablesen, den Term aus dem Graphen rekonstruieren, Behauptungen prüfen und allgemein begründen, wie viele Berührstellen ein Grad zulässt.

1

Vielfachheiten am Term ablesen

AFB I

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(f\) mit $$f(x)=0{,}5\,(x+3)^{2}\,(x-1)\,(x-4)^{3}.$$

  1. Geben Sie den Grad und den Leitkoeffizienten von \(f\) an, ohne den Term auszumultiplizieren.
  2. Geben Sie alle Nullstellen von \(f\) mit ihrer Vielfachheit an und begründen Sie, warum \(f\) keine weiteren Nullstellen besitzen kann.
  3. Entscheiden Sie für jede Nullstelle, ob der Graph die \(x\)-Achse dort schneidet oder berührt.
  4. Beschreiben Sie das Globalverhalten von \(f\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Grad eines Produkts ist die Summe der Grade der Faktoren — zähle also die Exponenten der drei Klammern zusammen. Jeder Linearfaktor hat die Form \((x-x_{i})\) mit dem Vorfaktor \(1\).„Geben Sie an“ verlangt nur das Ergebnis; die Rechnung darfst du dir sparen, die Zahl muss aber stimmen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Grad ist die Summe der Exponenten: \(n=2+1+3=6\).

Beim Ausmultiplizieren entsteht als höchste Potenz \(0{,}5\cdot x^{6}\); der Leitkoeffizient ist also \(a_{6}=0{,}5\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Die Vielfachheit einer Nullstelle ist der Exponent des zugehörigen Linearfaktors. Vergleiche die Summe der Vielfachheiten mit dem Grad.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f(x)=0\) gilt genau dann, wenn einer der Faktoren null wird: \(x_{1}=-3\) mit der Vielfachheit \(k=2\), \(x_{2}=1\) mit \(k=1\) und \(x_{3}=4\) mit \(k=3\).

Die Summe der Vielfachheiten beträgt \(2+1+3=6\) und stimmt damit bereits mit dem Grad überein. Da eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) höchstens \(n\) Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt) besitzt, kann es keine weitere Nullstelle geben.

Hinweis zu Aufgabe c)
Entscheidend ist allein, ob die Vielfachheit gerade oder ungerade ist — nicht, wie groß sie ist. Denke bei der dreifachen Nullstelle zusätzlich daran, wie der Graph dort verläuft.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x_{1}=-3\): gerade Vielfachheit \(\Rightarrow\) kein Vorzeichenwechsel, der Graph berührt die \(x\)-Achse.

\(x_{2}=1\): ungerade Vielfachheit \(\Rightarrow\) Vorzeichenwechsel, der Graph schneidet die \(x\)-Achse.

\(x_{3}=4\): ungerade Vielfachheit \(\Rightarrow\) der Graph schneidet die \(x\)-Achse ebenfalls, verläuft dort wegen \(k=3\) aber auffällig flach (Sattelverhalten).

Hinweis zu Aufgabe d)
Zwei Angaben legen das Globalverhalten fest: die Parität des Grades und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Grad \(n=6\) ist gerade, der Leitkoeffizient \(a_{6}=0{,}5\) ist positiv. Beide Äste verlaufen daher nach oben:

\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\).

2

Vom Graphen zum Funktionsterm

AFB II

Von einer ganzrationalen Funktion \(f\) ist bekannt: Ihr Graph besitzt genau die Nullstellen \(x=-2\) (einfach), \(x=1\) (doppelt) und \(x=3\) (einfach); weitere Nullstellen gibt es nicht. Außerdem schneidet der Graph die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0\mid 3)\).

  1. Geben Sie den kleinstmöglichen Grad von \(f\) an und stellen Sie die Produktdarstellung mit einem noch unbekannten Leitkoeffizienten \(a\) auf.
  2. Bestimmen Sie \(a\) mithilfe des Punktes \(S_{y}\) und geben Sie den vollständigen Funktionsterm an.
  3. Begründen Sie mithilfe des Globalverhaltens, dass der Graph für alle \(x>3\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.
  4. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob der Punkt \(Q(2\mid 2)\) auf dem Graphen von \(f\) liegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Jede Nullstelle liefert einen Linearfaktor, eine doppelte Nullstelle den entsprechenden Faktor im Quadrat. Der kleinstmögliche Grad ist die Summe der Vielfachheiten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Vielfachheiten sind \(1\), \(2\) und \(1\); ihre Summe ist \(4\). Der kleinstmögliche Grad ist also \(n=4\).

Produktdarstellung: \(f(x)=a\,(x+2)\,(x-1)^{2}\,(x-3)\).

Hinweis zu Aufgabe b)
\(S_{y}(0\mid 3)\) bedeutet \(f(0)=3\). Setze \(x=0\) in die Produktdarstellung ein und löse die entstehende Gleichung nach \(a\) auf.„Bestimmen“ verlangt einen erkennbaren Lösungsweg, nicht nur das Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(f(0)=3\).

\(f(0)=a\cdot 2\cdot(-1)^{2}\cdot(-3)=-6a\)

\(-6a=3\;\Longrightarrow\;a=-0{,}5\)

Damit gilt \(f(x)=-0{,}5\,(x+2)\,(x-1)^{2}\,(x-3)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Untersuche für \(x>3\) das Vorzeichen jedes einzelnen Faktors. Denke daran, dass \((x-1)^{2}\) niemals negativ wird.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(x>3\) ist \(x+2>0\), \((x-1)^{2}>0\) und \(x-3>0\); das Produkt der drei Faktoren ist also positiv. Multipliziert mit \(a=-0{,}5<0\) ergibt sich \(f(x)<0\) für alle \(x>3\).

Dasselbe Ergebnis liefert das Globalverhalten: Der Grad \(n=4\) ist gerade und \(a<0\), also gilt \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty\). Rechts von der letzten Nullstelle \(x=3\) findet kein Vorzeichenwechsel mehr statt, der Graph bleibt daher dauerhaft unterhalb der \(x\)-Achse.

Hinweis zu Aufgabe d)
Setze \(x=2\) ein und vergleiche den Funktionswert mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\). Achte auf das Vorzeichen des letzten Faktors.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(f(2)=-0{,}5\cdot(2+2)\cdot(2-1)^{2}\cdot(2-3)=-0{,}5\cdot 4\cdot 1\cdot(-1)=2\)

Wegen \(f(2)=2\) stimmt der berechnete Funktionswert mit der \(y\)-Koordinate von \(Q\) überein. Der Punkt \(Q(2\mid 2)\) liegt also auf dem Graphen von \(f\).

3

Drei Behauptungen auf dem Prüfstand

AFB II

In einer Lerngruppe werden drei Behauptungen über ganzrationale Funktionen aufgestellt:

(1) „Jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 hat genau vier Nullstellen.“

(2) „Jede ganzrationale Funktion vom Grad 5 hat mindestens eine Nullstelle.“

(3) „Berührt der Graph einer ganzrationalen Funktion die \(x\)-Achse an der Stelle \(x=2\), so ist \((x-2)^{2}\) ein Faktor des Funktionsterms.“

  1. Entscheiden Sie begründet über Behauptung (1) und geben Sie gegebenenfalls ein Gegenbeispiel an.
  2. Begründen Sie Behauptung (2) mithilfe des Globalverhaltens.
  3. Nehmen Sie zu Behauptung (3) Stellung und formulieren Sie die Aussage gegebenenfalls genauer.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Satz über die Anzahl der Nullstellen macht eine Aussage über eine Obergrenze, nicht über eine feste Anzahl. Suche einen Term vierten Grades, dessen Funktionswerte niemals null werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Behauptung ist falsch. Der Satz besagt nur, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) höchstens \(n\) Nullstellen besitzt.

Gegenbeispiel: \(f(x)=x^{4}+1\). Für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt \(x^{4}\ge 0\) und damit \(f(x)\ge 1>0\); die Funktion hat also gar keine Nullstelle.

Auch die Anzahl \(2\) ist möglich, etwa bei \(f(x)=x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)\) mit den Nullstellen \(-1\) und \(1\). Richtig formuliert lautet die Aussage: höchstens vier Nullstellen.

Hinweis zu Aufgabe b)
Bei ungeradem Grad zeigen die beiden Äste in entgegengesetzte Richtungen. Überlege, welche Werte die Funktion dann annehmen muss und warum der Graph dabei die \(x\)-Achse treffen muss.„Begründen“ verlangt den Rückgriff auf eine Regel — hier auf den Zusammenhang zwischen Grad und Globalverhalten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Behauptung ist richtig. Für \(n=5\) ist der Grad ungerade, die beiden Äste verlaufen deshalb in entgegengesetzte Richtungen: Für \(a_{5}>0\) gilt \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\); für \(a_{5}<0\) ist es umgekehrt.

Die Funktion nimmt also sowohl negative als auch positive Werte an. Da der Graph einer ganzrationalen Funktion ohne Sprünge oder Lücken verläuft, muss er auf dem Weg von einem negativen zu einem positiven Funktionswert die \(x\)-Achse mindestens einmal treffen. Folglich besitzt \(f\) mindestens eine Nullstelle.

Hinweis zu Aufgabe c)
Übersetze „berühren“ zuerst in eine Aussage über die Vielfachheit. Frage dich anschließend, ob die Vielfachheit genau \(2\) sein muss oder nur gerade.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist richtig, sie lässt sich aber präziser fassen.

„Berühren“ bedeutet: An der Stelle \(x=2\) liegt eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Das ist genau dann der Fall, wenn die Vielfachheit \(k\) dieser Nullstelle gerade ist, also \(k\in\{2;4;6;\ldots\}\).

Der Term enthält damit den Faktor \((x-2)^{k}\) mit geradem \(k\ge 2\). Da \((x-2)^{2}\) in jeder dieser Potenzen als Teiler steckt, ist \((x-2)^{2}\) tatsächlich stets ein Faktor.

Genauer müsste die Behauptung lauten: \((x-2)^{k}\) mit geradem \(k\) ist ein Faktor — die Vielfachheit muss nicht \(2\) sein, wie das Beispiel \(f(x)=(x-2)^{4}\) zeigt.

4

Gewinnentwicklung eines Start-ups

AFB III

Der Jahresgewinn eines Unternehmens wird ab der Gründung durch die Funktion \(G\) mit $$G(t)=0{,}05\,(t-2)^{2}\,(t-8)$$ modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Jahren seit der Gründung und \(G(t)\) der Gewinn in Millionen Euro. Das Modell gilt für \(0\le t\le 12\); negative Werte bedeuten Verlust.

  1. Berechnen Sie den Gewinn im Gründungsjahr und nach vier Jahren.
  2. Bestimmen Sie alle Nullstellen von \(G\) mit ihrer Vielfachheit und deuten Sie beide im Sachzusammenhang.
  3. Weisen Sie ohne weitere Rechnung nach, dass das Unternehmen im Zeitraum \(0\le t<8\) zu keinem Zeitpunkt einen Gewinn erwirtschaftet.
  4. Bestimmen Sie die Standardform von \(G\) und beurteilen Sie mithilfe des Globalverhaltens, ob das Modell auch für \(t=30\) sinnvolle Werte liefert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Das Gründungsjahr entspricht \(t=0\). Setze die beiden Zeitpunkte direkt in die Produktform ein — sie ist zum Einsetzen bequemer als die ausmultiplizierte Form.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(G(0)=0{,}05\cdot(0-2)^{2}\cdot(0-8)=0{,}05\cdot 4\cdot(-8)=-1{,}6\)

\(G(4)=0{,}05\cdot(4-2)^{2}\cdot(4-8)=0{,}05\cdot 4\cdot(-4)=-0{,}8\)

Im Gründungsjahr macht das Unternehmen \(1{,}6\) Mio.\ € Verlust, nach vier Jahren noch \(0{,}8\) Mio.\ € Verlust.

Hinweis zu Aufgabe b)
Lies die Nullstellen und ihre Vielfachheiten an den Klammern ab. Für die Deutung ist entscheidend, ob an der Stelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet — also ob der Betrieb dort dauerhaft in die Gewinnzone wechselt oder die Null nur kurz berührt.„Deuten“ verlangt, das Rechenergebnis in einem Satz auf den Sachzusammenhang zu beziehen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t_{1}=2\) mit der Vielfachheit \(k=2\) (gerade) und \(t_{2}=8\) mit der Vielfachheit \(k=1\) (ungerade). Die Summe \(2+1=3\) stimmt mit dem Grad überein, weitere Nullstellen gibt es nicht.

Deutung von \(t_{1}=2\): Zwei Jahre nach der Gründung ist der Jahresgewinn genau null, das Unternehmen arbeitet also kostendeckend. Wegen der geraden Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt — unmittelbar davor und danach schreibt das Unternehmen Verluste, die Null wird nur berührt.

Deutung von \(t_{2}=8\): Hier liegt ein Vorzeichenwechsel von negativ nach positiv vor. Acht Jahre nach der Gründung geht das Unternehmen dauerhaft in die Gewinnzone über.

Hinweis zu Aufgabe c)
Betrachte das Vorzeichen jedes Faktors einzeln: Was gilt für \((t-2)^{2}\) grundsätzlich, und welches Vorzeichen hat \((t-8)\) für \(t<8\)?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Es ist \((t-2)^{2}\ge 0\) für jedes \(t\), und für \(0\le t<8\) gilt \(t-8<0\). Der Vorfaktor \(0{,}05\) ist positiv.

Das Produkt aus einer nichtnegativen und einer negativen Zahl ist kleiner oder gleich null, also \(G(t)\le 0\) für alle \(t\) mit \(0\le t<8\). Gleichheit tritt nur bei \(t=2\) ein.

Das Unternehmen erwirtschaftet in diesem Zeitraum also nie einen positiven Gewinn — im besten Fall (bei \(t=2\)) eine schwarze Null.

Hinweis zu Aufgabe d)
Multipliziere zuerst \((t-2)^{2}\) aus und dann mit \((t-8)\); den Faktor \(0{,}05\) ziehst du am Ende hinein. Für die Beurteilung genügen der Grad, das Vorzeichen des Leitkoeffizienten und ein eingesetzter Wert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\((t-2)^{2}=t^{2}-4t+4\)

\(\left(t^{2}-4t+4\right)(t-8)=t^{3}-8t^{2}-4t^{2}+32t+4t-32=t^{3}-12t^{2}+36t-32\)

\(G(t)=0{,}05t^{3}-0{,}6t^{2}+1{,}8t-1{,}6\)

Der Grad \(n=3\) ist ungerade, der Leitkoeffizient \(0{,}05\) ist positiv; folglich gilt \(\lim\limits_{t\to\infty}G(t)=\infty\).

Für \(t=30\) liefert das Modell \(G(30)=0{,}05\cdot 27000-0{,}6\cdot 900+1{,}8\cdot 30-1{,}6=1350-540+54-1{,}6=862{,}4\), also über \(860\) Mio.\ € Jahresgewinn. Ein solches unbegrenztes Wachstum ist wirtschaftlich nicht plausibel; außerdem liegt \(t=30\) weit außerhalb des angegebenen Gültigkeitsbereichs \(0\le t\le 12\). Das Modell ist für \(t=30\) daher nicht brauchbar.

5

Wie viele Berührstellen sind möglich?

AFB III

Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) vom Grad \(n\) berührt die \(x\)-Achse an \(k\) verschiedenen Stellen und schneidet sie an \(m\) weiteren, davon verschiedenen Stellen. Andere Nullstellen besitzt \(f\) nicht.

  1. Zeigen Sie, dass stets \(2k+m\le n\) gilt.
  2. Entscheiden Sie, ob es eine ganzrationale Funktion sechsten Grades gibt, deren Graph die \(x\)-Achse an drei Stellen berührt und sie nirgends schneidet. Geben Sie gegebenenfalls einen passenden Term an.
  3. Zeigen Sie, dass es keine ganzrationale Funktion fünften Grades gibt, deren Graph die \(x\)-Achse an genau zwei Stellen berührt und sonst keine Nullstellen besitzt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Übersetze zuerst „berühren“ und „schneiden“ in Aussagen über die Vielfachheit. Wie klein darf die Vielfachheit einer Berührstelle mindestens sein, wie klein die einer Schnittstelle? Vergleiche die Summe aller Vielfachheiten mit dem Grad.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jede Berührstelle ist eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und hat deshalb eine gerade Vielfachheit; die kleinste gerade Vielfachheit ist \(2\). Jede Schnittstelle ist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und hat eine ungerade Vielfachheit, mindestens also \(1\).

Die \(k\) Berührstellen steuern damit mindestens \(2k\), die \(m\) Schnittstellen mindestens \(m\) zur Summe aller Vielfachheiten bei.

Nach dem Satz über die Anzahl der Nullstellen ist diese Summe höchstens so groß wie der Grad \(n\). Zusammen folgt \(2k+m\le n\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Prüfe die Bedingung aus a) mit \(k=3\) und \(m=0\). Wenn sie erfüllbar ist, baue den Term direkt aus drei quadrierten Linearfaktoren zusammen und kontrolliere den Grad.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ja, eine solche Funktion existiert. Mit \(k=3\) und \(m=0\) ist \(2\cdot 3+0=6\le 6\); die notwendige Bedingung aus a) ist also erfüllt und schöpft den Grad genau aus.

Beispiel: \(f(x)=(x+2)^{2}\,x^{2}\,(x-3)^{2}\).

Der Grad ist \(2+2+2=6\). Alle drei Nullstellen \(-2\), \(0\) und \(3\) haben die gerade Vielfachheit \(2\), der Graph berührt die \(x\)-Achse dort also jeweils und schneidet sie nirgends. Passend dazu ist \(f(x)\ge 0\) für alle \(x\), denn der Term ist ein Produkt aus drei Quadraten.

Hinweis zu Aufgabe c)
Ein Widerspruchsbeweis führt am schnellsten zum Ziel: Nimm an, es gäbe eine solche Funktion, und betrachte das Globalverhalten bei ungeradem Grad.„Zeigen“ verlangt eine lückenlose Argumentationskette, nicht nur ein Beispiel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Annahme: Es gäbe eine ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad \(5\), deren Graph die \(x\)-Achse an genau zwei Stellen berührt und sonst keine Nullstellen hat.

Dann besäße \(f\) ausschließlich Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph könnte die \(x\)-Achse also nirgends überqueren und läge deshalb — abgesehen von den beiden Berührpunkten — vollständig oberhalb oder vollständig unterhalb der \(x\)-Achse.

Der Grad \(5\) ist jedoch ungerade. Damit verlaufen die beiden Äste in entgegengesetzte Richtungen, \(f\) nimmt also sowohl beliebig große positive als auch beliebig kleine negative Werte an. Das widerspricht der eben gewonnenen Aussage.

Die Annahme ist folglich falsch: Eine solche Funktion gibt es nicht. Dasselbe Ergebnis liefert die Faktorbetrachtung — die beiden geraden Vielfachheiten ergeben zusammen eine gerade Zahl, sodass der verbleibende Faktor ungeraden Grad hätte und damit selbst eine weitere reelle Nullstelle beisteuern müsste.