Bedingung f′(x)=0: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die Kandidatenliste Schritt für SchrittAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-4\). Gesucht sind alle Stellen, an denen der Graph eine waagerechte Tangente besitzt — also alle Lösungen von \(f'(x)=0\).

Rechne die Kette von oben nach unten. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste frei. Enter prüft.

Wie lautet der Koeffizient vor \(x^{2}\) in \(f'(x)\)?
\(f'(x)=3x^{2}+6x\). Ausklammern ergibt \(3x\cdot(x+a)\). Wie groß ist \(a\)?
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Wie lautet die kleinere Lösung?
Und die größere Lösung?
Berechne den Funktionswert an der kleineren Stelle: \(f(-2)=\)

\(f'(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2)\) wird null für \(x_1=-2\) und \(x_2=0\). Das sind die möglichen Extremstellen. Der Funktionswert \(f(-2)=-8+12-4=0\) gehört schon zum späteren Punkt \(P(-2\mid 0)\) — ob dort wirklich ein Extrempunkt liegt, entscheidet erst die hinreichende Bedingung.

A2Ableitung bildenAFB I

Bilde die erste Ableitung von \(f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-4\) und gib sie im Feld an. Schreibweise: 6x^2-18x+12.

Potenzregel summandenweise anwenden. Malzeichen dürfen weggelassen werden, Potenzen mit ^. Enter prüft.

\(f'(x)=6x^{2}-18x+12\). Wer den konstanten Summanden \(-4\) mitschleppt, hat den häufigsten Fehler gemacht: Eine Zahl ohne \(x\) hat die Steigung null und fällt beim Ableiten weg.

A3Notwendig, nicht hinreichendAFB I

Setze die Fachbegriffe so ein, dass der Text die Bedingung korrekt beschreibt.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ist \(x_0\) eine Extremstelle einer differenzierbaren Funktion, so ist die Tangente dort , es gilt also \(f'(x_0)=0\). Jede Extremstelle ist damit eine der Ableitung. Diese Bedingung heißt , weil ohne sie kein Extrempunkt möglich ist. Sie ist aber nicht : Auch ein erfüllt die Gleichung, ist aber kein Extrempunkt. Das Lösen von \(f'(x)=0\) liefert deshalb nur eine .

Die Leserichtung des Satzes ist entscheidend: von der Extremstelle zur Ableitung. Umgekehrt gilt er nicht — sonst wäre jeder Sattelpunkt ein Extrempunkt.

A4Drei Funktionen, drei KandidatenlistenAFB II

Bestimme für jede Funktion alle Lösungen von \(f'(x)=0\). Trage sie der Größe nach aufsteigend ein.

\(f(x)=x^{2}-6x+5\) • \(g(x)=x^{3}-12x\) • \(h(x)=x^{4}-2x^{2}\)

Trage alle sechs Werte ein. Enter prüft alles auf einmal.

\(f\): \(x=\)\(g\): kleinere Stellegrößere Stelle\(h\): kleinste Stellemittlere Stellegrößte Stelle

\(f'(x)=2x-6\Rightarrow x=3\). \(g'(x)=3x^{2}-12=3(x^{2}-4)\Rightarrow x=\pm 2\). \(h'(x)=4x^{3}-4x=4x(x-1)(x+1)\Rightarrow x=-1;\,0;\,1\). Beim Ausklammern von \(4x\) darf die Lösung \(x=0\) nicht verloren gehen — genau das passiert beim Dividieren durch \(x\).

A5Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zur notwendigen Bedingung. Eine Fehleinschätzung reicht — dann startet die Serie neu.

Entscheide bei jeder Aussage: Stimmt sie oder nicht?

Aussage 1 von 5

Der Kern des Kapitels steckt in Aussage 2: Die Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend.

A6Summe der KandidatenstellenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1\). Löse \(f'(x)=0\) und gib die Summe der beiden Kandidatenstellen an.

Erst ableiten, dann die quadratische Gleichung lösen, zum Schluss addieren. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Kandidatenstellen sind \(x_1=1\) und \(x_2=3\), ihre Summe ist \(4\). Kontrolle mit dem Satz von Vieta: Bei \(x^{2}-4x+3\) ist die Summe der Lösungen \(-(-4)=4\).

A7Wenn die Stelle kein ganzzahliger Wert istAFB II

Bestimme die Kandidatenstelle von \(f(x)=3x^{2}-5x+2\) und gib sie als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein. Ein Minus gehört in den Zähler, eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1. Enter prüft.

\(f'(x)=6x-5=0\Rightarrow x=\tfrac56\). Nicht jede Extremstelle ist ganzzahlig — in der Klausur bleibt der Bruch stehen, gerundet wird erst ganz am Ende, wenn überhaupt.

A8Was folgt wirklich?AFB II

Von einer differenzierbaren Funktion \(f\) ist bekannt: \(f'(2)=0\). Welche Aussagen folgen daraus zwingend?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

Die drei richtigen Aussagen sagen dasselbe in drei Formulierungen. Die letzte Ablenkung ist besonders beliebt: \(f'(2)=0\) ist eine Aussage über die Steigung, nicht über den Funktionswert.

A9Fehlerhafte Ableitungen reparierenAFB II

Drei der sechs Zeilen enthalten eine falsche Ableitung. Markiere sie und trage die richtige Ableitung ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die Auswahl und die Korrekturen. Schreibweise: 4x^3-8x.

Zeile 2: Der Faktor \(4\) muss mit dem Exponenten \(2\) multipliziert werden, also \(-8x\). Zeile 4: \(6\cdot 2=12\), nicht \(6\). Zeile 6: Der konstante Summand \(+7\) fällt beim Ableiten weg.

A10Reihenfolge im VerfahrenAFB II

Bringe die Schritte in die Reihenfolge, in der man die möglichen Extremstellen einer ganzrationalen Funktion bestimmt.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1Den Funktionsterm notieren und prüfen, ob er überall differenzierbar ist.

2Die erste Ableitung \(f'\) mit den Ableitungsregeln bilden.

3Den Term von \(f'\) gleich null setzen.

4Die Gleichung \(f'(x)=0\) lösen — ausklammern, Satz vom Nullprodukt oder pq-Formel.

5Alle Lösungen als Kandidatenliste notieren und festhalten, dass die Entscheidung noch aussteht.

Wichtig ist der letzte Schritt: Die Kandidatenliste ist ein Zwischenergebnis, keine Antwort. Wer hier aufhört, verliert in der Klausur Punkte für die fehlende hinreichende Bedingung.

A11Wie viele Kandidaten?AFB II

Sortiere die Funktionen danach, wie viele Lösungen die Gleichung \(f'(x)=0\) besitzt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke die Ziffer des Korbs (0 legt zurück).

1keine Lösung

2genau eine Lösung

3genau zwei Lösungen

Bei \(x^{3}+x^{2}+x\) ist \(f'(x)=3x^{2}+2x+1\) mit der Diskriminante \(4-12=-8<0\) — keine reelle Lösung. Bei \(x^{3}-6x^{2}+12x-5\) ist \(f'(x)=3(x-2)^{2}\): eine doppelte Lösung, aber nur eine Stelle. Und \(f'(x)=3x^{2}\) bei \(f(x)=x^{3}\) wird nur bei \(x=0\) null.

A12Parameter so wählen, dass es passtAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}+a\,x^{2}-9x\) mit einem Parameter \(a\). Für welchen Wert von \(a\) hat der Graph an der Stelle \(x=1\) eine waagerechte Tangente?

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Wert muss exakt stimmen.

-66

\(f'(x)=3x^{2}+2ax-9\). Einsetzen von \(x=1\) liefert \(3+2a-9=0\), also \(2a=6\) und \(a=3\). Probe: \(f'(x)=3x^{2}+6x-9=3(x+3)(x-1)\) — und tatsächlich ist \(x=1\) eine Nullstelle. Nebenbei entsteht dabei die zweite Kandidatenstelle \(x=-3\).

A13Werte der Ableitung berechnenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5\). Berechne die Werte der Ableitung an den angegebenen Stellen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Negative Zahlen mit Minuszeichen.

Stelle \(x\)	\(f'(x)\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(3\)
\(4\)

\(f'(x)=3x^{2}-6x-9\). Die Tabelle zeigt die Kandidatenstellen ganz von selbst: Genau bei \(x=-1\) und \(x=3\) wird die Ableitung null. Dazwischen ist sie negativ, außerhalb positiv — ein erster Hinweis darauf, was dort liegt.

A14Kandidaten mit der pq-FormelAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\tfrac13x^{3}-x^{2}-8x+2\). Arbeite dich mit der pq-Formel zu den Kandidatenstellen vor.

Jeder Schritt schaltet den nächsten frei. Enter prüft.

\(f'(x)=x^{2}+px+q\). Wie groß ist \(p\)?
Und wie groß ist \(q\)?
Berechne den Wert unter der Wurzel: \(\left(\tfrac{p}{2}\right)^{2}-q=\)
Ziehe die Wurzel daraus.
Größere Kandidatenstelle
Kleinere Kandidatenstelle

\(f'(x)=x^{2}-2x-8\), also \(p=-2\) und \(q=-8\). Die pq-Formel liefert \(x=1\pm\sqrt{1+8}=1\pm 3\), damit \(x_1=4\) und \(x_2=-2\). Der Faktor \(\tfrac13\) vor \(x^{3}\) ist genau dazu da, dass die Ableitung mit dem Vorfaktor \(1\) beginnt.

A15Kandidatenstellen mit den zugehörigen PunktenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-4x^{3}\). Bestimme alle Kandidatenstellen und die zugehörigen Funktionswerte.

Trage die Stellen aufsteigend ein und dazu jeweils den Funktionswert.

kleinere Stelle \(x_1=\)\(f(x_1)=\)größere Stelle \(x_2=\)\(f(x_2)=\)

\(f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)\). Der Faktor \(4x^{2}\) liefert die doppelte Nullstelle \(x=0\), der Faktor \(x-3\) die Stelle \(x=3\). Werte: \(f(0)=0\) und \(f(3)=81-108=-27\). Die doppelte Nullstelle ist ein Warnsignal — dort liegt oft ein Sattelpunkt.

A16Eigenschaften ankreuzenAFB II

Kreuze in jeder Zeile alle Eigenschaften an, die auf die Funktion zutreffen. Es können mehrere pro Zeile sein — oder auch keine.

Enter setzt und löscht ein Kreuz, Pfeiltasten wandern.

Funktion	\(x=0\) ist Kandidatenstelle	genau eine Kandidatenstelle	\(f'\) ist eine quadratische Funktion	keine Kandidatenstelle
\(f(x)=x^{3}-3x\)
\(f(x)=x^{4}-2x^{2}\)
\(f(x)=x^{2}+4x\)
\(f(x)=x^{3}+2x\)
\(f(x)=x^{3}\)

\(f(x)=x^{3}+2x\) liefert \(f'(x)=3x^{2}+2\) — eine quadratische Funktion ohne Nullstelle, also gar keine Kandidatenstelle. Bei \(f(x)=x^{4}-2x^{2}\) ist \(f'\) vom Grad 3, nicht quadratisch, und hat mit \(-1;\,0;\,1\) gleich drei Nullstellen.

A17Erst ausmultiplizieren, dann ableitenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x\cdot(x-4)^{2}\). Multipliziere zuerst aus und gib dann \(f'(x)\) in ausmultiplizierter Form an.

Schreibweise: 3x^2-16x+16. Klammern sind erlaubt, gefordert ist aber die ausmultiplizierte Form.

\((x-4)^{2}=x^{2}-8x+16\), also \(f(x)=x^{3}-8x^{2}+16x\) und damit \(f'(x)=3x^{2}-16x+16\). Zur Kontrolle: \(f'(4)=48-64+16=0\) — die doppelte Nullstelle von \(f\) bei \(x=4\) ist zugleich eine Kandidatenstelle.

A18Fehlersuche im MerkheftAFB II

In diesem Merkheft-Auszug stecken vier falsche Zeilen. Klicke genau die falschen an.

Die richtigen Zeilen musst du stehen lassen — jede falsche Markierung zählt als Fehler.

Die Zeilen 1, 3 und 7 sind drei Varianten desselben Denkfehlers: Notwendig wird mit hinreichend verwechselt. Zeile 5 ist ein reiner Vorzeichenfehler beim Lösen.

A19Kandidatenstellen als BruchAFB III

Bestimme für jede Funktion die Kandidatenstelle und trage sie als vollständig gekürzten Bruch ein — links der Zähler, rechts der Nenner. Ein Minus gehört in den Zähler.

Trage in jedes Feld eine ganze Zahl ein. Enter prüft.

Funktion	\(f(x)=x^{2}-3x+1\)	\(f(x)=2x^{2}+5x\)	\(f(x)=3x^{2}-x-7\)
Kandidatenstelle	/	/	/

\(2x-3=0\Rightarrow x=\tfrac32\); \(4x+5=0\Rightarrow x=-\tfrac54\); \(6x-1=0\Rightarrow x=\tfrac16\). Bei einer quadratischen Funktion gibt es immer genau eine Kandidatenstelle — die Scheitelstelle. Der konstante Summand \(-7\) hat darauf keinen Einfluss.

A20Zwei waagerechte Tangenten, zwei UnbekannteAFB III

Der Graph von \(f(x)=x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\) hat genau bei \(x=1\) und bei \(x=3\) eine waagerechte Tangente. Berechne \(a\) und \(b\) und gib die Summe \(a+b\) an.

Stelle mit \(f′(1)=0\) und \(f′(3)=0\) zwei Gleichungen auf. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}+2ax+b\). Aus \(f'(1)=3+2a+b=0\) und \(f'(3)=27+6a+b=0\) folgt durch Subtraktion \(24+4a=0\), also \(a=-6\), und damit \(b=-3-2a=9\). Die Summe ist \(a+b=3\). Schneller geht es mit Vieta: \(f'(x)=3(x-1)(x-3)=3x^{2}-12x+9\), also \(2a=-12\) und \(b=9\).

Übungen: Notwendige Bedingung

Übungsaufgaben