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Textaufgaben: Notwendige Bedingung: f′(x) = 0

Fünf Sachaufgaben vom Heißluftballon bis zur Dachschar — die Kandidatenliste aufstellen, Randstellen berücksichtigen und die Grenzen der notwendigen Bedingung erkennen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben endet Schritt 1 bei derselben Gleichung: \(f′(x)=0\). Entscheidend ist, was man aus ihrer Lösung schließen darf — und was nicht. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Der Heißluftballon

AFB I

Ein Heißluftballon steigt auf und wird dabei mehrfach nachgeheizt. Seine Höhe über Grund beträgt

\[h(t)=t^{3}-12t^{2}+36t+100\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 10\]

mit der Höhe \(h\) in Metern und der Zeit \(t\) in Minuten (Material M1).

M1Höhenverlauf des Ballons
t in minh in m246810100150200250t = 2t = 6

An den beiden markierten Stellen verläuft der Graph waagerecht.

  1. Bestimme \(h′\).
  2. Bestimme alle Stellen, an denen ein Extrempunkt liegen kann.
  3. Erläutere, warum aus \(h′(2)=0\) noch nicht folgt, dass der Ballon nach zwei Minuten am höchsten ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Leite summandenweise ab; die Konstante 100 fällt weg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h′(t)=3t^{2}-24t+36\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(h′(t)=0\) und klammere den gemeinsamen Faktor 3 aus, bevor du die \(p\)-\(q\)-Formel anwendest.Die notwendige Bedingung liefert eine Kandidatenliste, keine fertige Antwort.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(3t^{2}-24t+36=3\,(t^{2}-8t+12)=3\,(t-2)(t-6)=0\) liefert \(t_1=2\) und \(t_2=6\). Beide liegen im Definitionsbereich \([0;10]\) und sind damit mögliche Extremstellen.

Hinweis zu Aufgabe c)
Unterscheide zwischen „höchster Punkt der Umgebung“ und „höchster Punkt des gesamten Zeitraums“ und denke an die Ränder.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die notwendige Bedingung sagt nur, wo ein Extrempunkt liegen kann. Sie entscheidet weder, ob dort überhaupt einer liegt, noch ob es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist. Außerdem wird der größte Wert nicht zwingend an einer solchen Stelle angenommen: Hier ist \(h(2)=132\), am rechten Rand aber \(h(10)=260\). Antwortsatz: Der Ballon ist am Ende des Beobachtungszeitraums am höchsten, nicht nach zwei Minuten.

2

Der Kanalquerschnitt

AFB II

Der Querschnitt eines Entwässerungskanals wird beschrieben durch

\[f(x)=0{,}25x^{4}-2x^{2}+3\qquad\text{mit}\quad -3\le x\le 3\]

Dabei ist \(x\) die waagerechte Entfernung von der Kanalmitte in Metern und \(f(x)\) die Höhe in Metern über der Sohle.

  1. Bestimme \(f′\) und faktorisiere den Term vollständig.
  2. Bestimme alle Kandidaten für Extremstellen.
  3. Begründe, warum die notwendige Bedingung drei Kandidaten liefert, obwohl der Querschnitt nur zwei tiefste Stellen besitzt.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(f′(x)=x^{3}-4x\). Klammere \(x\) aus; in der Klammer steckt die dritte binomische Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f′(x)=x^{3}-4x=x\,(x^{2}-4)=x\,(x-2)(x+2)\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Satz vom Nullprodukt liefert alle drei Nullstellen sofort.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f′(x)=0\) liefert \(x_1=-2\), \(x_2=0\) und \(x_3=2\). Alle drei liegen im Definitionsbereich \([-3;3]\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Der mittlere Kandidat liegt genau in der Kanalmitte. Überlege, was der Graph dort tut — und was das für ein Maximum bedeutet.Auch ein lokaler Hochpunkt ist ein Extrempunkt; die Bedingung unterscheidet nicht zwischen „hoch“ und „tief“.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Bedingung \(f′(x)=0\) sucht waagerechte Tangenten — unabhängig davon, ob dort ein Tief-, ein Hoch- oder gar kein Extrempunkt liegt. Bei \(x=\pm 2\) liegen die beiden tiefsten Stellen der Kanalsohle mit \(f(\pm 2)=4-8+3=-1\); bei \(x=0\) liegt dagegen ein lokaler Hochpunkt mit \(f(0)=3\) — die Erhebung in der Kanalmitte. Antwortsatz: Der dritte Kandidat gehört zu einem Hochpunkt und ist deshalb kein Widerspruch.

3

Die Solaranlage

AFB II

Die abgegebene Leistung \(P\) einer Solaranlage (in Kilowatt) wird für einen Tag modelliert durch

\[P(t)=-0{,}04t^{3}+0{,}6t^{2}+1\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 12\]

Dabei zählt \(t\) die Stunden nach 7:00 Uhr.

  1. Bestimme \(P′\) und alle Nullstellen von \(P′\).
  2. Entscheide, welche dieser Nullstellen als innere Extremstelle in Frage kommt.
  3. Untersuche zusätzlich die Randstellen und gib an, wann die Anlage am meisten leistet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Klammere \(-0{,}12t\) aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P′(t)=-0{,}12t^{2}+1{,}2t=-0{,}12\,t\,(t-10)\). Nullstellen: \(t_1=0\) und \(t_2=10\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Eine Stelle kann nur dann ein Hoch- oder Tiefpunkt sein, wenn es links und rechts von ihr noch Definitionsbereich gibt.\(t=0\) ist der linke Rand — dort kann kein Monotoniewechsel stattfinden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t_1=0\) ist der linke Rand von \(D=[0;12]\) und damit keine innere Stelle. Als Kandidat für einen Extrempunkt bleibt nur \(t_2=10\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche \(P(0)\), \(P(10)\) und \(P(12)\) miteinander. Der größte dieser Werte ist das globale Maximum.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Randwerte: \(P(0)=1\) und \(P(12)=-69{,}12+86{,}4+1=18{,}28\); innerer Kandidat: \(P(10)=-40+60+1=21\). Der größte dieser Werte ist \(21\). Antwortsatz: Die Anlage leistet um 17:00 Uhr mit \(21\,\text{kW}\) am meisten; danach fällt die Leistung wieder ab.

4

Die Schleusenkammer

AFB III

Beim Füllen einer Schleusenkammer wird der Wasserstand \(w\) (in Metern) über zehn Stunden beobachtet:

\[w(t)=0{,}02\,(t-5)^{3}+3\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 10\]

Der Schleusenwärter notiert: „Nach fünf Stunden ist \(w′(5)=0\); also ist der Wasserstand dort am höchsten oder am tiefsten.“ (Material M2)

M2Wasserstand in der Schleusenkammer
t in hw in m246810123456waagerechte Tangente

Der Graph verläuft bei \(t=5\) waagerecht — und steigt davor wie danach.

  1. Bestimme \(w′\) und den Kandidaten für eine Extremstelle.
  2. Weise nach, dass bei \(t=5\) kein Extrempunkt vorliegt.
  3. Erläutere am Beispiel den Unterschied zwischen einer notwendigen und einer hinreichenden Bedingung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die innere Ableitung von \((t-5)^{3}\) ist 1 — du darfst hier wie bei \(t^{3}\) rechnen, nachdem du ausmultipliziert oder die Kettenregel-Idee benutzt hast.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(w′(t)=0{,}06\,(t-5)^{2}\). Aus \(w′(t)=0\) folgt \(t=5\) als einziger Kandidat.

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Quadrat ist nie negativ. Prüfe damit das Vorzeichen von \(w′\) links und rechts von \(t=5\).Ohne Vorzeichenwechsel gibt es weder Hoch- noch Tiefpunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für alle \(t\neq 5\) gilt \((t-5)^{2}>0\) und damit \(w′(t)>0\). Probestellen: \(w′(4)=0{,}06>0\) und \(w′(6)=0{,}06>0\). \(w′\) wechselt bei \(t=5\) also nicht das Vorzeichen; \(w\) ist auf dem ganzen Intervall streng monoton wachsend. Es liegt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vor.

Hinweis zu Aufgabe c)
Notwendig heißt: Ohne diese Bedingung geht es nicht. Hinreichend heißt: Mit dieser Bedingung steht das Ergebnis fest.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Bedingung \(w′(t_0)=0\) ist notwendig: Jede innere Extremstelle erfüllt sie, also darf man die Suche darauf beschränken. Sie ist aber nicht hinreichend: Aus ihrer Gültigkeit folgt kein Extrempunkt, wie \(t=5\) zeigt. Antwortsatz: Die Notiz des Schleusenwärters verwechselt beides — der Wasserstand steigt vor und nach der fünften Stunde und ist dort weder am höchsten noch am tiefsten.

5

Eine Schar von Dachprofilen

AFB III

Dachprofile werden durch die Funktionenschar

\[f_a(x)=x^{3}-3a\,x\qquad\text{mit}\quad a\in\mathbb{R}\]

beschrieben. Eine Planerin behauptet: „Für \(a\le 0\) besitzt kein Profil dieser Schar einen Hoch- oder Tiefpunkt.“

  1. Bestimme \(f_a′\) und alle Kandidaten für Extremstellen in Abhängigkeit von \(a\).
  2. Bestimme \(a\) so, dass ein Kandidat an der Stelle \(x=2\) liegt.
  3. Nimm zu der Behauptung der Planerin begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Parameter \(a\) wird beim Ableiten wie eine feste Zahl behandelt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_a′(x)=3x^{2}-3a=3\,(x^{2}-a)\). Aus \(x^{2}=a\) folgt: Für \(a>0\) gibt es die Kandidaten \(x=\pm\sqrt{a}\), für \(a=0\) den einzigen Kandidaten \(x=0\), für \(a<0\) keinen.

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze den gefundenen Kandidaten gleich 2 und löse nach \(a\) auf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\sqrt{a}=2 \Rightarrow a=4\). Die Schar hat dann die Kandidaten \(x=\pm 2\), und es ist \(f_4(x)=x^{3}-12x\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Unterscheide sauber die drei Fälle \(a>0\), \(a=0\) und \(a<0\).Der Fall \(a=0\) ist der interessante: Dort gibt es einen Kandidaten — aber keinen Extrempunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist im Ergebnis richtig, die Begründung muss aber zwei Fälle trennen. Für \(a<0\) hat \(f_a′(x)=3\,(x^{2}-a)\) keine Nullstelle, denn \(x^{2}-a>0\) für alle \(x\); die notwendige Bedingung ist nirgends erfüllt, also existiert kein Extrempunkt. Für \(a=0\) ist \(f_0(x)=x^{3}\) und \(f_0′(x)=3x^{2}\); die Stelle \(x=0\) ist zwar Kandidat, aber \(f_0′\) wechselt dort das Vorzeichen nicht — es liegt ein Sattelpunkt vor. Antwortsatz: Kein Profil mit \(a\le 0\) hat einen Extrempunkt — einmal, weil es keinen Kandidaten gibt, einmal, weil der Kandidat keiner ist.