Zwanzig Aufgaben vom bloßen Ablesen der Richtung bis zum vollständigen Monotonienachweis mit der Definition — vom Vergleich zweier Funktionswerte bis zur ausformulierten Begründung.
Der Graph von \(f\) ist unten abgebildet. Auf ihm sind fünf Punkte A bis E markiert.
Graph von \(f\) mit den Punkten A bis E
Vier Fragen zu den fünf markierten Punkten — klicke jeweils den passenden Buchstaben an, mit der Maus oder mit Tab und Enter.
Fahre den Graphen in Gedanken von links nach rechts ab und sprich mit: bergauf — bergab — bergauf.
A2Die Definition im LückentextAFB I
Sechs Bausteine, sechs Lücken. Der Text fasst zusammen, worauf es beim Aufschreiben ankommt.
Setze die sechs Bausteine an die richtige Stelle.
Monotonie wird immer auf einem ganzen untersucht, nie an einer einzelnen . Ist f dort streng monoton wachsend, so gehört zu jedem en x-Wert auch ein kleinerer Funktionswert. Ohne das Wort dürfen waagerechte Stücke vorkommen. Beim Fallen ist f(x₁) als f(x₂). Jede Antwort endet mit dem Wort und einer Begründung.
Zwei Lücken unterscheiden sich nur durch ein einziges Wort — lies den Satz jeweils ganz zu Ende.
A3Wachsend, fallend oder konstant?AFB I
Der Graph enthält zwischen \(-2\) und \(0\) ein genau waagerechtes Stück. Ordne die sechs Karten den drei Körben zu.
Graph mit waagerechtem Zwischenstück
Sechs Beschreibungen, drei Körbe. Erst eine Karte anklicken, dann den passenden Korb — oder die Zifferntaste drücken.
1streng monoton wachsend
2streng monoton fallend
3konstant
In jeden Korb gehören genau zwei Karten.
A4Sechs Aussagen auf dem PrüfstandAFB II
Hier geht es um die Feinheiten: das Wort „streng“, der Unterschied zwischen Stelle und Punkt und die Frage, wo Monotonie überhaupt gilt.
Richtig oder falsch?
Aussage 1 von 6
Drei Stolperstellen: das Wort „streng“, der Unterschied Stelle / Punkt und der Rand.
A5Von der Beschreibung zur SchreibweiseAFB II
Vier Beschreibungen in Worten und vier Schreibweisen mit Intervall gehören paarweise zusammen.
Finde die Paare: Jede Beschreibung in Worten gehört zu genau einer Schreibweise mit Intervall. Zwei Karten anklicken — passen sie, bleiben sie offen.
Achte auf die Grenzen: „bis zur Stelle 3“ und „ab der Stelle 5“ sind zwei verschiedene Intervalle.
A6Das Verfahren in sechs SchrittenAFB II
So gehst du vor, wenn du zu einem Graphen alle Monotonieintervalle angeben sollst. Nur die Reihenfolge stimmt noch nicht.
Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑ / ↓ verschiebt, Shift + ↑ / ↓ wechselt nur den Fokus.
1Graph von links nach rechts mit dem Finger abfahren.
2Alle Stellen markieren, an denen die Richtung wechselt.
3Die Wechselstellen der Größe nach ordnen.
4Zwischen je zwei Wechselstellen ein offenes Intervall aufschreiben.
6Jede Aussage mit einem Satz beginnend mit „weil“ begründen.
Die Begründung kommt zum Schluss — erst muss feststehen, was begründet werden soll.
A7Die KreuztabelleAFB II
Der Graph von \(g\) hat einen Tiefpunkt bei \(x=-2{,}4\), einen Hochpunkt bei \(x=0{,}2\) und einen zweiten Tiefpunkt bei \(x=2{,}3\).
Graph von \(g\) mit drei Extrempunkten
Fünf Intervalle zum Graphen oben. Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.
Intervall
streng monoton wachsend
streng monoton fallend
weder noch
\(]-\infty;\,-2{,}4[\)
\(]-2{,}4;\,0{,}2[\)
\(]0{,}2;\,2{,}3[\)
\(]-1;\,1[\)
\(]-3;\,1[\)
„Weder noch“ heißt: innerhalb des Intervalls wechselt die Richtung mindestens einmal.
A8Jonas schreibt zu schnell aufAFB III
Jonas untersucht einen Graphen mit Hochpunkt \(H(-1\,|\,3)\) und Tiefpunkt \(T(2\,|\,-1)\). Vier seiner sechs Zeilen sind falsch.
Jonas hat einen Graphen mit Hochpunkt H(−1 | 3) und Tiefpunkt T(2 | −1) untersucht. Klicke die Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.
Zwei Zeilen sind völlig korrekt. Achte besonders auf Klammern, auf Stelle gegen Punkt und auf das Wort „global“.
A9Hochpunkt, Randmaximum, globales MaximumAFB III
Eine Funktion \(g\) wird nur auf dem Bereich von \(0\) bis \(5\) betrachtet. Sie steigt von \(g(0)=1\) bis zum Hochpunkt \(H(2\,|\,3)\), fällt dann bis zum Tiefpunkt \(T(4\,|\,0)\) und steigt danach bis \(g(5)=4\).
Markiere alle Aussagen, die zu diesem Verlauf wirklich passen.
Ein Hochpunkt ist immer nur der höchste Punkt seiner Umgebung — der Ränder wegen muss er nicht der höchste Punkt überhaupt sein.
A10Fünf Funktionswerte, ein VergleichAFB I
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-4x+1\). Berechne die fünf Funktionswerte. Erst danach lässt sich sagen, wo der Graph steigt und wo er fällt.
Trage jeden Wert einzeln ein. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Enter prüft alle Felder auf einmal.
Stelle \(x\)
Funktionswert \(f(x)\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
Von \(x=0\) bis \(x=2\) werden die Werte kleiner (1, −2, −3), danach wieder größer (−3, −2, 1). Der Graph fällt also auf \(]-\infty;\,2[\) und wächst auf \(]2;\,\infty[\). Beachte \(f(1)=f(3)=-2\): Zwei verschiedene Stellen mit demselben Wert — auf \(]1;\,3[\) ist \(f\) deshalb weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend.
A11Die Differenz entscheidetAFB I
Für \(f(x)=-1{,}5x+4\) sollen die Stellen \(x_1=2\) und \(x_2=6\) verglichen werden. Berechne die Differenz \(f(x_2)-f(x_1)\).
Rechne zuerst beide Funktionswerte einzeln aus und ziehe dann ab. Das Vorzeichen des Ergebnisses ist die eigentliche Antwort auf die Monotoniefrage.
\(f(2)=-3+4=1\) und \(f(6)=-9+4=-5\), also \(f(x_2)-f(x_1)=-5-1=-6\). Die Differenz ist negativ: Die weiter rechts liegende Stelle hat den kleineren Funktionswert — genau das verlangt die Definition von streng monoton fallend. Bei einer Geraden gilt das für jedes Stellenpaar, deshalb fällt \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\).
A12Ein Nachweis in vier RechenschrittenAFB II
Untersucht wird \(f(x)=x^{2}-6x+5\) auf dem Intervall \(]3;\,\infty[\). Rechne die Kette der Reihe nach durch — jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Zahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft den aktuellen Schritt.
Setze \(x_1=3{,}5\) ein: \(f(3{,}5)=\)
Setze \(x_2=5\) ein: \(f(5)=\)
Bilde die Differenz \(f(x_2)-f(x_1)=\)
Allgemein gilt \(f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)\cdot(x_1+x_2-6)\). Welchen Wert hat der zweite Faktor hier?
Für alle \(x_1,x_2>3\) ist der erste Faktor positiv. Wie viele der beiden Faktoren sind dann noch negativ?
Der erste Faktor \(x_2-x_1\) ist positiv, weil \(x_1<x_2\) vorausgesetzt ist. Der zweite Faktor \(x_1+x_2-6\) ist positiv, sobald beide Stellen größer als 3 sind, denn dann ist ihre Summe größer als 6. Ein Produkt aus zwei positiven Zahlen ist positiv, also \(f(x_2)>f(x_1)\) für jedes Paar — damit ist \(f\) auf \(]3;\,\infty[\) streng monoton wachsend. Das ist ein echter Beweis, kein Ablesen.
A13Das fallende Stück einstellenAFB II
Der Graph wechselt zweimal seine Richtung. Stelle auf der Zahlengeraden genau das Intervall ein, auf dem \(f\) streng monoton fallend ist — mit den richtigen Klammern.
Monotonieintervalle ablesen
Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.
a: b:
Der rote Abschnitt reicht von der ersten bis zur zweiten Wechselstelle: \(]-1;\,3[\). Beide Klammern sind offen, denn an einer Wechselstelle fällt der Graph nicht mehr — sie gehört weder zum fallenden noch zum steigenden Bereich. Wer \([-1;\,3]\) schreibt, behauptet, \(f\) falle auch noch an der Stelle des Hochpunkts.
A14Vier Bereiche, drei SprachenAFB II
Die Wertetabelle gehört zu einer Funktion \(f\), deren Graph zwischen den angegebenen Stellen keine weiteren Richtungswechsel hat. Beschreibe jeden der vier Bereiche dreifach: als Verlauf, als Vergleich zweier Funktionswerte und mit dem Fachbegriff.
Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Die drei Zeilen sagen jeweils dasselbe — nur in unterschiedlicher Sprache.
\(x\)
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
\(f(x)\)
5
2
1
1
1
3
6
4
\(]-3;-1[\)
\(]-1;1[\)
\(]1;3[\)
\(]3;4[\)
Verlauf des Graphen
Vergleich für \(x_1<x_2\)
Fachbegriff
Zwischen \(-1\) und \(1\) bleibt der Wert bei 1 stehen. Dort ist \(f\) konstant, also weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend — wohl aber (nicht streng) monoton wachsend und monoton fallend zugleich. Genau dafür ist das Wort streng da.
A15Acht Werte — und eine ÜberraschungAFB II
Berechne zu jeder Funktion die beiden Funktionswerte. Vergleiche danach: In welcher Zeile ist der zweite Wert nicht größer als der erste?
Trage in jedes Feld eine ganze Zahl ein. Enter prüft alle acht Felder.
Funktion
\(x_1\)
\(x_2\)
\(f(x_1)\)
\(f(x_2)\)
\(f(x)=x^{2}-2x\)
−1
0
\(f(x)=3x-4\)
1
2
\(f(x)=-x^{2}+4x\)
1
3
\(f(x)=x^{3}\)
−2
1
Zeile 1: \(3>0\) — die Werte fallen. Zeile 2: \(-1<2\) — sie steigen. Zeile 4: \(-8<1\) — sie steigen. Zeile 3 ist der Sonderfall: \(f(1)=f(3)=3\). Zwei verschiedene Stellen mit gleichem Wert reichen aus, um streng monotones Wachsen auf \(]1;\,3[\) auszuschließen — ein einziges Gegenpaar genügt. Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel bei \(x=2\).
A16Satz und FormelAFB II
Jede Monotonieaussage lässt sich in die Sprache der Definition übersetzen. Verbinde jeden Satz mit der passenden Bedingung.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Der Unterschied zwischen \(<\) und \(\le\) ist der ganze Unterschied zwischen „streng“ und „nicht streng“. Und das Wort alle ist in jeder Zeile entscheidend: Ein einziges Paar, für das die Ungleichung nicht gilt, macht die Aussage falsch.
A17Wo kippt die Monotonie?AFB II
Gegeben ist die Parabel \(f(x)=-2x^{2}+24x-13\). Rechne aus, an welcher Stelle sie ihren Richtungswechsel hat, und stelle diese Stelle am Regler ein.
Schiebe den Regler auf die berechnete Stelle — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Wert muss exakt stimmen.
015
Die Scheitelstelle einer Parabel \(ax^{2}+bx+c\) liegt bei \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2\cdot(-2)}=6\). Weil \(a=-2<0\) ist, ist die Parabel nach unten geöffnet: \(f\) ist auf \(]-\infty;\,6[\) streng monoton wachsend und auf \(]6;\,\infty[\) streng monoton fallend. Der Funktionswert \(f(6)=59\) wird für die Monotoniefrage gar nicht gebraucht.
A18Fünf Werte, zwei FehlerAFB III
Zu \(f(x)=x^{2}-4x\) hat jemand fünf Funktionswerte notiert. Klicke die falschen Zeilen an und trage den richtigen Wert ein.
Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen.
richtiger Wert:
richtiger Wert:
richtiger Wert:
richtiger Wert:
richtiger Wert:
\(f(-2)=(-2)^{2}-4\cdot(-2)=4+8=12\) — wer das Quadrat einer negativen Zahl negativ rechnet, landet bei \(-4\). \(f(5)=25-20=5\), nicht 15. Die drei richtigen Werte zeigen nebenbei die Monotonie: von \(f(0)=0\) über \(f(1)=-3\) fällt es, bei \(f(3)=-3\) ist derselbe Wert wieder erreicht, danach steigt es. Der Wechsel liegt bei \(x=2\).
A19Die Definition zusammensetzenAFB III
Setze die Bedingung für „streng monoton wachsend“ in der richtigen Reihenfolge zusammen. Vier Bausteine bleiben übrig.
Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
\(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\). Links steht die Voraussetzung über die Stellen, rechts die Folgerung über die Funktionswerte — nie umgekehrt. Mit \(\le\) statt \(<\) auf der rechten Seite entstünde die nicht-strenge Fassung, mit \(>\) die Bedingung für Fallen.
A20Drei Schubladen für neun FunktionenAFB III
Ordne jede Funktion danach ein, wie sie sich auf ihrem gesamten Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) verhält. Achte besonders auf den Unterschied zwischen „streng“ und „nicht streng“.
Karte anklicken (oder mit Enter auswählen), dann die Ziffer des Bereichs drücken. 0 legt sie zurück.
1 streng monoton wachsend
2 monoton wachsend, aber nicht streng
3 nicht monoton wachsend
\(x^{3}\) ist streng monoton wachsend, obwohl die Tangente bei \(x=0\) waagerecht liegt — die Definition fragt nach Funktionswerten, nicht nach Steigungen. Ein waagerechtes Stück dagegen liefert zwei verschiedene Stellen mit gleichem Wert und zerstört die strenge Fassung. Die Parabel ist auf \(\mathbb{R}\) überhaupt nicht monoton, die fallende Gerade und \(-x^{3}\) sind monoton fallend — also ebenfalls nicht wachsend.
