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Textaufgaben: Steigen und Fallen am Graphen

Fünf Sachaufgaben, in denen ein Graph eine Fieberkurve, einen Ladestand oder ein Höhenprofil zeigt — abgelesen, in Intervallschreibweise notiert und mit „weil“ begründet.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben wird nichts gerechnet — es wird gelesen und begründet. Achte deshalb jedes Mal auf drei Dinge: Steht wirklich ein Intervall da und nicht nur eine einzelne Stelle? Sind die Klammern an den Wechselstellen offen? Und folgt auf jede Aussage ein Nachsatz mit „weil“, der die Zahlen des Sachzusammenhangs nennt? Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Die Fieberkurve

AFB I

Auf einer Station wird die Körpertemperatur \(T\) eines Patienten 24 Stunden lang aufgezeichnet (Material M1). Die Zeit \(t\) wird in Stunden seit Mitternacht gemessen, die Temperatur in Grad Celsius: \([T]=\text{°C}\).

M1Temperaturverlauf über 24 Stunden
t in hT in °C0481216202437383940

Zwischen der neunten und der zwölften Stunde verläuft der Graph genau waagerecht.

  1. Gib alle Intervalle an, auf denen \(T\) streng monoton fällt bzw. streng monoton wächst.
  2. Beschreibe in einem Satz mit „weil“, was zwischen der neunten und der zwölften Stunde passiert.
  3. Begründe, warum man für diesen Abschnitt nicht „streng monoton wachsend“ schreiben darf.
Hinweis zu Aufgabe a)
Fahre den Graphen mit dem Finger von links nach rechts ab und sprich mit: bergab, bergauf, waagerecht, bergab. Jeder Richtungswechsel wird auf der \(t\)-Achse markiert.Die gestrichelten Linien zeigen die Wechselstellen bereits an: bei 4, bei 9 und bei 12. Zwischen zwei Wechselstellen steht immer ein offenes Intervall.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(T\) ist auf \(]0;\,4[\) streng monoton fallend, weil die Temperatur von 38,4 °C auf 37,6 °C zurückgeht.

\(T\) ist auf \(]4;\,9[\) streng monoton wachsend, weil die Temperatur stetig auf 39,5 °C ansteigt.

\(T\) ist auf \(]12;\,24[\) streng monoton fallend, weil die Temperatur bis auf etwa 36,9 °C sinkt.

Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche die abgelesenen Temperaturwerte an zwei beliebigen Zeitpunkten aus diesem Abschnitt miteinander.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Auf \(]9;\,12[\) ist \(T\) konstant, weil der Graph dort genau waagerecht verläuft: Zu je zwei Zeitpunkten gehört derselbe Temperaturwert. Das Fieber hält seinen Höchstwert von 39,5 °C — der Patient wird in dieser Zeit weder wärmer noch kühler.

Hinweis zu Aufgabe c)
Das Wort „streng“ verlangt \(T(t_1)alle \(t_1
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(t_1T(t_2)\) erfüllt. Das Wort „streng“ verbietet waagerechte Stücke; korrekt ist hier die Aussage konstant.

2

Eine Woche im Freibad

AFB II

Das Freibad zählt eine Woche lang die Besucher \(B\) pro Tag: Montag 420, Dienstag 610, Mittwoch 480, Donnerstag 350, Freitag 690, Samstag 1240 und Sonntag 980 (Material M1). Die Messpunkte sind der Übersicht halber verbunden; setze Montag \(=1\) bis Sonntag \(=7\).

M1Besucherzahlen von Montag bis Sonntag
WochentagB4008001200MoDiMiDoFrSaSo4206104803506901240980

Von Dienstag bis Donnerstag geht es zweimal hintereinander bergab — das ist ein einziges Monotonieintervall.

  1. Untersuche den Verlauf auf Monotonie und gib alle Intervalle mit Begründung an.
  2. Erkläre, warum \(]2;\,4[\) ein einziges Monotonieintervall ist und nicht zwei.
  3. Entscheide, ob der Dienstagswert ein lokales oder ein globales Maximum ist, und begründe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleiche jeweils zwei benachbarte Zahlen: Wird die zweite größer, geht es bergauf; wird sie kleiner, bergab.Auch bei Tagesdaten gilt: Monotonie beschreibt einen Verlauf, also immer ein Intervall — nie einen einzelnen Tag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(B\) ist auf \(]1;\,2[\) streng monoton wachsend, weil die Besucherzahl von 420 auf 610 steigt.

\(B\) ist auf \(]2;\,4[\) streng monoton fallend, weil die Zahlen von 610 über 480 auf 350 durchgehend kleiner werden.

\(B\) ist auf \(]4;\,6[\) streng monoton wachsend, weil die Zahlen von 350 über 690 auf 1240 durchgehend größer werden.

\(B\) ist auf \(]6;\,7[\) streng monoton fallend, weil die Zahl von 1240 auf 980 zurückgeht.

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Intervall endet erst, wenn sich die Richtung ändert — nicht schon, wenn ein neuer Messpunkt beginnt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Von Dienstag über Mittwoch bis Donnerstag nehmen die Werte ohne Unterbrechung ab. Da sich die Richtung dazwischen nicht ändert, wird nicht zerschnitten: \(]2;\,3[\) und \(]3;\,4[\) werden zu dem einen Intervall \(]2;\,4[\) zusammengefasst.

Hinweis zu Aufgabe c)
Ein lokales Maximum ist nur der höchste Wert seiner unmittelbaren Umgebung; ein globales Maximum ist der höchste Wert des gesamten betrachteten Bereichs.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Dienstagswert 610 ist höher als Montag (420) und Mittwoch (480), also ein lokales Maximum. Mit 1240 am Samstag gibt es in derselben Woche jedoch einen deutlich höheren Wert; global ist der Dienstagswert damit nicht. Das globale Maximum der Woche liegt am Samstag.

3

Der Stausee im Jahreslauf

AFB II

Ein Stausee wird ein Jahr lang beobachtet (Material M1). Aufgetragen ist der Wasservorrat \(W\) in Millionen Kubikmetern: \([W]=\text{Mio. m}^{3}\). Auf der waagerechten Achse stehen die zwölf Monate; setze Januar \(=0\) bis Dezember \(=11\).

M1Wasservorrat des Stausees über ein Jahr
MonatW in Mio. m³204060JFMAMJJASOND

Zwischen Juni und Juli bleibt der Vorrat bei 58 Mio. m³ — der Graph verläuft dort waagerecht.

  1. Gib alle Monotonieintervalle des Jahres an.
  2. Begründe jede Aussage im Sachzusammenhang mit den abgelesenen Werten.
  3. Erkläre, warum es zwischen Juni und Juli keine Aussage über strenge Monotonie geben kann.
Hinweis zu Aufgabe a)
Es gibt vier Wechselstellen und damit fünf Abschnitte: \(]0;\,2[\), \(]2;\,5[\), \(]5;\,6[\), \(]6;\,9[\) und \(]9;\,11[\).Genauso gut darfst du in Worten schreiben: „von Januar bis März“. Wichtig ist nur, dass ein Zeitraum gemeint ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(]0;\,2[\) fallend, \(]2;\,5[\) wachsend, \(]5;\,6[\) konstant, \(]6;\,9[\) fallend, \(]9;\,11[\) wachsend.

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Anstieg im Frühjahr kommt von der Schneeschmelze, der Rückgang im Sommer von Verdunstung und Entnahme, der Anstieg im Spätherbst von Regen. Nenne nach „weil“ vor allem, wie sich die Werte verhalten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(W\) ist auf \(]0;\,2[\) streng monoton fallend, weil der Vorrat von 42 auf 37 Mio. m³ zurückgeht.

\(W\) ist auf \(]2;\,5[\) streng monoton wachsend, weil der Vorrat durch die Schneeschmelze von 37 auf 58 Mio. m³ ansteigt.

Auf \(]5;\,6[\) ist \(W\) konstant, weil Zufluss und Entnahme sich genau ausgleichen.

\(W\) ist auf \(]6;\,9[\) streng monoton fallend, weil der Vorrat im Sommer auf 31 Mio. m³ sinkt.

\(W\) ist auf \(]9;\,11[\) streng monoton wachsend, weil der Herbstregen den Vorrat wieder auf 40 Mio. m³ anhebt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Setze zwei Zeitpunkte \(t_1
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zwischen Juni und Juli ist der Vorrat unverändert 58 Mio. m³. Für zwei Zeitpunkte \(t_1W(t_2)\) erfüllt: \(W\) ist dort weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend, sondern konstant. Erlaubt wären die Aussagen „monoton wachsend“ und „monoton fallend“ ohne das Wort „streng“ — üblich ist aber, hier schlicht konstant zu schreiben.

4

Das Höhenprofil einer Radtour

AFB III

Eine Radtour führt über 42 km durch hügeliges Gelände (Material M1). Aufgetragen ist die Höhe \(h\) über dem Meeresspiegel gegen die zurückgelegte Strecke \(s\): \([h]=\text{m}\), \([s]=\text{km}\).

M1Höhenprofil der 42 km langen Radtour
s in kmh in m0814183042200400600

Die gestrichelten Linien markieren die vier Wechselstellen; zwischen \(s=14\) und \(s=18\) verläuft die Strecke eben.

  1. Gib alle Stellen an, an denen die Monotonie wechselt.
  2. Untersuche \(h\) vollständig auf Monotonie. Notiere jede Aussage in der Form „\(h\) ist auf dem Intervall … streng monoton …, weil …“.
  3. Erkläre, warum an den Wechselstellen selbst keine Aussage gemacht wird, und worin sich Stelle und Punkt unterscheiden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Markiere zuerst alle Richtungswechsel und ordne sie der Größe nach.Es sind vier: 8, 14, 18 und 30. Daraus entstehen fünf Abschnitte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Wechselstellen: \(s=8\), \(s=14\), \(s=18\) und \(s=30\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Zwischen \(s=14\) und \(s=18\) verläuft die Strecke genau eben. Hier ist \(h\) konstant — ein eigener Abschnitt, der nicht mit den Nachbarn verschmolzen werden darf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h\) ist auf \(]0;\,8[\) streng monoton wachsend, weil die Höhe mit wachsender Strecke von 180 m auf 420 m zunimmt.

\(h\) ist auf \(]8;\,14[\) streng monoton fallend, weil es von 420 m auf 250 m bergab geht.

Auf \(]14;\,18[\) ist \(h\) konstant, weil die Strecke dort eben verläuft und die Höhe bei 250 m bleibt.

\(h\) ist auf \(]18;\,30[\) streng monoton wachsend, weil der lange Anstieg die Höhe von 250 m auf 580 m bringt.

\(h\) ist auf \(]30;\,42[\) streng monoton fallend, weil die Schlussabfahrt bis auf 120 m hinunterführt.

Hinweis zu Aufgabe c)
An einer Wechselstelle gehört der Wert zu keinem der beiden Verhaltensweisen. Eine Stelle ist eine Zahl auf der \(s\)-Achse, ein Punkt hat zwei Koordinaten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

An den Wechselstellen selbst wird keine Aussage gemacht — deshalb stehen dort in beiden benachbarten Intervallen offene Klammern. Die Wechselstellen sind Zahlen auf der \(s\)-Achse; der zugehörige Punkt auf dem Graphen heißt beispielsweise \(H(30\,|\,580)\) und hat zwei Koordinaten.

5

Höchster Punkt oder Hochpunkt?

AFB III

Wir bleiben beim Höhenprofil aus Aufgabe 5. Die Tour beginnt bei \(s=0\) auf 180 m und endet bei \(s=42\) auf 120 m; der Scheitel des zweiten Anstiegs liegt bei \(s=30\) auf 580 m, das flache Stück auf 250 m.

Zwei Radfahrer streiten. Mia sagt: „Der tiefste Punkt der Tour ist ein Tiefpunkt.“ Ben sagt: „Der höchste Punkt der Tour ist ein Hochpunkt.“

  1. Entscheide, ob Bens Aussage stimmt, und begründe mit dem Monotonieverhalten.
  2. Nimm zu Mias Aussage Stellung und verwende dabei den Begriff Randminimum.
  3. Gib alle lokalen Extrema im Inneren der Strecke an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ein Hoch- oder Tiefpunkt setzt einen Monotoniewechsel voraus: erst bergauf, dann bergab — oder umgekehrt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bens Aussage stimmt. Bei \(s=30\) wechselt die Monotonie von wachsend zu fallend; der Punkt \(H(30\,|\,580)\) ist ein Hochpunkt und zugleich das globale Maximum der Tour.

Hinweis zu Aufgabe b)
Am Anfang und am Ende der Tour gibt es keine linke bzw. keine rechte Nachbarschaft; dort kann kein Wechsel stattfinden.Liegt der größte oder kleinste Wert am Rand des betrachteten Bereichs, heißt er Randmaximum bzw. Randminimum — ein globaler Extremwert, aber kein Hoch- oder Tiefpunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mias Aussage stimmt nicht. Bei \(s=42\) endet die Tour einfach: Links davon fällt der Graph, rechts davon gibt es keinen Verlauf mehr — es findet kein Monotoniewechsel statt. Die 120 m sind deshalb ein Randminimum: der global kleinste Wert des betrachteten Bereichs, aber kein Tiefpunkt.

Hinweis zu Aufgabe c)
„Im Inneren“ heißt: ohne die Ränder \(s=0\) und \(s=42\). Das flache Stück zählt mit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Lokale Maxima im Inneren: \(s=8\) mit 420 m und \(s=30\) mit 580 m. Lokales Minimum im Inneren: das gesamte flache Stück auf 250 m. Merkregel: Jeder Hochpunkt ist ein lokales Maximum, aber nicht jedes Maximum ist ein Hochpunkt.