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5.3.1 · Interaktive Übungen

Übungen: Links- und Rechtskrümmung

Zwanzig interaktive Aufgaben rund um \(f''\) — zweimal ableiten, Vorzeichen bestimmen, Intervalle aufschreiben und dabei Wanne und Berg nie mehr verwechseln.

ZurückZur ErklärungWanne und Berg, das Kriterium mit \(f''\) und die Krümmungs-Fahrt noch einmal zum Nachlesen
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Übungsaufgaben

Die Aufgaben sind nach Anforderungsbereichen geordnet, aber bewusst gemischt: Auf jede Verständnisfrage folgt eine Rechnung. Die ersten fünf sichern die Begriffe und das zweimalige Ableiten. In der Mitte wird gerechnet — Werte von \(f''\), Vorzeichentabellen, eine Fehlersuche und der komplette Ablauf einer Krümmungsuntersuchung. Am Ende stehen ein Intervall auf der Zahlengeraden, eine Funktion mit zwei Krümmungswechseln und eine Parameteraufgabe, bei der die Rechnung rückwärts läuft. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

1Die Sprache der KrümmungAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext mit den Wörtern aus der Wortbank. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Ein Graph heißt auf einem Abschnitt , wenn er nach oben geöffnet ist wie eine ; im anderen Fall ist er rechtsgekrümmt und sieht aus wie ein . Entschieden wird das allein vom Vorzeichen der Ableitung: Aus \(f''(x)>0\) folgt Linkskrümmung, aus \(f''(x)<0\) folgt . Ein Tiefpunkt liegt deshalb stets in einem linksgekrümmten Stück, ein stets in einem rechtsgekrümmten. Und wie die Monotonie ist auch die Krümmung immer eine Aussage über ein ganzes , nie über einen einzelnen Punkt.

Übrig bleiben „ersten“ und „Sattelpunkt“. Die erste Ableitung entscheidet über Steigen und Fallen, nicht über die Krümmung — und der Sattelpunkt kommt erst in 5.3.3 vor.
2Was folgt daraus?AFB I

Ordnen Sie jede Karte dem passenden Korb zu. Achten Sie darauf, ob eine Aussage über eine einzelne Stelle oder über ein ganzes Intervall spricht — und ob überhaupt \(f''\) gemeint ist.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1linksgekrümmt
2rechtsgekrümmt
3so nicht entscheidbar
\(f'(3)=-4\) sagt nur, dass der Graph dort fällt — über die Krümmung ist damit nichts gesagt. \(f''(3)=0\) ist der Grenzfall: Er ist notwendig für einen Krümmungswechsel, entscheidet aber nichts. Und \(f''(x)=x\) wechselt auf \(\left]-2;2\right[\) mitten im Intervall das Vorzeichen — dort ist die Krümmung nicht einheitlich.
3Zweimal ableitenAFB II

Vier Funktionen sind gegeben.

Bestimmen Sie jeweils \(f'(x)\) und \(f''(x)\). Schreibweise: Potenzen mit ^, also 3x^2-6x. Der Term muss vollständig zusammengefasst sein.

In jedes Feld gehört ein Term in \(x\). Enter prüft alle Felder auf einmal.
\(f(x)\)\(f'(x)\)\(f''(x)\)
\(x^{3}-3x^{2}\)
\(x^{4}+2x^{2}\)
\(-x^{3}+6x\)
\(0{,}5x^{4}-x^{3}\)
Die zweite Ableitung entsteht, indem man die Potenzregel ein zweites Mal anwendet — auf \(f'\), nicht noch einmal auf \(f\). Aus \(4x^{3}+4x\) wird deshalb \(12x^{2}+4\): Der lineare Summand \(4x\) liefert die Konstante \(4\), nicht \(0\).
4Krümmung von \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+5\)AFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+5\).

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten in fünf Schritten. Jeder Schritt wird erst freigeschaltet, wenn der vorige stimmt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt durch. Enter prüft.
  1. Wie groß ist \(f'(1)\)?
  2. Wie groß ist \(f''(1)\)?
  3. Wie groß ist \(f''(4)\)?
  4. An welcher Stelle \(x\) ist \(f''(x)=0\)?
  5. Welchen Funktionswert \(f(2)\) hat der Graph dort?
\(f'(x)=3x^{2}-12x\) und \(f''(x)=6x-12\). Weil \(f''(1)=-6<0\) und \(f''(4)=12>0\) ist, wechselt das Vorzeichen bei \(x=2\): Auf \(\left]-\infty;2\right[\) ist der Graph rechtsgekrümmt, auf \(\left]2;\infty\right[\) linksgekrümmt. Beachten Sie den Unterschied zwischen \(f'(1)=-9\) (der Graph fällt dort) und \(f''(1)=-6\) (er ist dort ein Berg) — zwei völlig verschiedene Aussagen an derselben Stelle.
5Stimmt das?AFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Sechs Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du mit „Neue Runde“ noch einmal.
Aussage 1 von 6

Der zweite und der vierte Punkt sind die beiden klassischen Fallen: \(f''>0\) sagt nichts über das Vorzeichen von \(f'\), und \(f''=0\) ist eine Kandidatenbedingung, keine Entscheidung.
6Ein Wert der zweiten AbleitungAFB II

Gegeben ist \(f(x)=2x^{4}-5x^{3}+x-7\).

Berechnen Sie \(f''(2)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
\(f'(x)=8x^{3}-15x^{2}+1\), daraus \(f''(x)=24x^{2}-30x\). Einsetzen: \(f''(2)=24\cdot 4-30\cdot 2=96-60=36\). Die Summanden \(x\) und \(-7\) verschwinden schon beim zweiten Ableiten — eine Konstante und ein linearer Term tragen zur Krümmung nichts bei. Wegen \(36>0\) ist der Graph bei \(x=2\) linksgekrümmt.
7Vier Werte zu einer FunktionAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5\).

Berechnen Sie die vier gefragten Größen. Erst wenn alle Felder stimmen, gilt die Aufgabe als gelöst.

Trage alle Werte ein und prüfe dann gemeinsam. Enter prüft alle Felder auf einmal.
\(f'(x)=3x^{2}-6x-9\) und \(f''(x)=6x-6\). Die Nullstelle \(x=1\) trennt den rechtsgekrümmten Bereich \(\left]-\infty;1\right[\) vom linksgekrümmten \(\left]1;\infty\right[\). Übrigens: \(f'(x)=0\) liefert \(x=-1\) und \(x=3\) — der Hochpunkt bei \(-1\) liegt im rechtsgekrümmten, der Tiefpunkt bei \(3\) im linksgekrümmten Teil.
8Die Vorzeichentabelle von \(f''\)AFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-4x^{3}\), also \(f''(x)=12x^{2}-24x=12x\,(x-2)\).

Füllen Sie die Vorzeichentabelle aus. Setzen Sie dazu in jedem Bereich eine Probestelle ein.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Die obere Zeile ist das Vorzeichen, die untere die zugehörige Krümmung.
\(x<0\)\(x=0\)\(0\(x=2\)\(x>2\)
Vorzeichen von \(f''\)
Krümmung des Graphen
Probestellen: \(f''(-1)=12+24=36>0\), \(f''(1)=12-24=-12<0\), \(f''(3)=108-72=36>0\). Das Produkt \(12x(x-2)\) macht es noch schneller sichtbar — zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt.
9Welche Aussagen stimmen?AFB I

Markieren Sie alle zutreffenden Aussagen. Es sind mehrere richtig.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die drei falschen Aussagen verwechseln alle dasselbe: das Vorzeichen von \(f''\) mit dem von \(f\) beziehungsweise \(f'\). \(f''\) sagt weder, wo der Graph liegt, noch ob er steigt — nur, wie er gebogen ist.
10Fehlersuche im LösungswegAFB II

Untersucht wird \(f(x)=-x^{3}+3x^{2}\) auf sein Krümmungsverhalten.

Klicken Sie genau die falschen Zeilen an. Die richtigen müssen stehen bleiben.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.
Die beiden Fehler hängen zusammen: Wer die Nullstelle falsch bestimmt, sortiert am Ende auch die Intervalle falsch. Eine Kontrolle kostet nichts — die Probestellen \(0\) und \(2\) liegen ja bereits vor.
11Die zweite Ableitung als TermAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+5x-1\).

Geben Sie \(f''(x)\) vollständig zusammengefasst an.

Schreibweise: Potenzen mit ^, Brüche mit /. Enter prüft.
\(f'(x)=x^{2}-4x+5\), daraus \(f''(x)=2x-4\). Der Bruch \(\tfrac13\) kürzt sich beim ersten Ableiten gegen die \(3\) aus dem Exponenten weg — deshalb sieht \(f'\) so aufgeräumt aus. Nebenbei: \(f''(x)=0\) bei \(x=2\), links davon Berg, rechts davon Wanne.
12Drei Fragen an vier StellenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x\) mit \(f'(x)=3x^{2}-3\) und \(f''(x)=6x\).

Setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze. Pro Zeile können es keines, eines oder mehrere sein.

Ein Klick setzt und entfernt ein Kreuz. Enter setzt ebenfalls, Pfeiltasten wandern.
Stelle\(f(x)>0\)\(f'(x)>0\)\(f''(x)>0\)
\(x=-2\)
\(x=-1\)
\(x=0{,}5\)
\(x=2\)
\(f(-2)=-8+6=-2\), \(f'(-2)=9\), \(f''(-2)=-12\). Bei \(x=-1\) ist \(f'(-1)=0\) — null ist nicht größer als null, das Kreuz bleibt weg. Die Spalte \(f''\) hängt allein am Vorzeichen von \(x\): links der \(y\)-Achse Berg, rechts davon Wanne.
13Fünf Krümmungswerte der Größe nachAFB II

Fünf Funktionen sind gegeben.

Berechnen Sie jeweils \(f''(1)\) und ordnen Sie die Funktionen danach aufsteigend — der kleinste Wert nach oben. Achtung: Negative Werte sind kleiner als positive.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
1\(f(x)=-2x^{3}\)
2\(f(x)=-x^{4}+x^{3}\)
3\(f(x)=x^{3}-x^{2}\)
4\(f(x)=5x^{2}\)
5\(f(x)=x^{4}\)
\(f''(1)\) ergibt der Reihe nach \(-12\), \(-6\), \(4\), \(10\) und \(12\). Bei \(-x^{4}+x^{3}\) ist \(f''(x)=-12x^{2}+6x\), also \(f''(1)=-12+6=-6\) — hier muss man wirklich beide Summanden ableiten. Die ersten beiden Graphen sind bei \(x=1\) rechtsgekrümmt, die letzten drei linksgekrümmt.
14Funktion und zweite AbleitungAFB I

Verbinden Sie jede Funktion mit ihrer zweiten Ableitung.

Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.
Nur die letzte Funktion hat eine konstante zweite Ableitung — jede Parabel ist überall gleich stark gekrümmt. Der Summand \(-8x\) verschwindet dabei restlos, genau wie jede additive Konstante.
15Der Ablauf einer KrümmungsuntersuchungAFB II

Untersucht wird \(f(x)=x^{4}-6x^{2}+8x\).

Spielen Sie den Ablauf Schritt für Schritt durch. Falsch angeklickte Antworten werden gesperrt.

Wähle bei jedem Schritt die passende Fortsetzung. Der Weg wird darunter protokolliert.
    Der Summand \(8x\) beeinflusst zwar Steigen und Fallen, spielt für die Krümmung aber überhaupt keine Rolle: Beim zweiten Ableiten verschwindet jeder lineare Anteil.
    16Das linksgekrümmte Intervall einstellenAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=-x^{4}+6x^{2}\).

    Bestimmen Sie das Intervall, auf dem der Graph linksgekrümmt ist, und stellen Sie es auf der Zahlengeraden ein. Denken Sie an die Art der Klammern: An den Randstellen ist \(f''=0\), dort ist der Graph nicht mehr linksgekrümmt.

    Ziehe die beiden Griffe auf die richtigen Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht die Klammer um.
    a: b:
    \(f'(x)=-4x^{3}+12x\) und \(f''(x)=-12x^{2}+12=-12(x^{2}-1)\). Das ist genau dann positiv, wenn \(x^{2}<1\) gilt, also für \(-1offene Intervall \(\left]-1;1\right[\) — an den Rändern selbst ist \(f''=0\), und dort liegen die beiden Wendestellen.
    17Zwei KrümmungswechselAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-8x^{3}+18x^{2}-5\).

    Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten vollständig. Die zweite Ableitung ist hier quadratisch — es gibt also zwei Nullstellen.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt durch. Enter prüft.
    1. Wie groß ist \(f''(0)\)?
    2. Wie groß ist \(f''(2)\)?
    3. Wie lautet die kleinere Nullstelle von \(f''\)?
    4. Wie lautet die größere Nullstelle von \(f''\)?
    5. Welchen Funktionswert \(f(1)\) hat der Graph an der kleineren Stelle?
    \(f'(x)=4x^{3}-24x^{2}+36x\) und \(f''(x)=12x^{2}-48x+36=12(x-1)(x-3)\). Zwischen den Nullstellen ist \(f''\) negativ (Probe \(f''(2)=-12\)), außerhalb positiv. Ergebnis: linksgekrümmt auf \(\left]-\infty;1\right[\) und \(\left]3;\infty\right[\), rechtsgekrümmt auf \(\left]1;3\right[\). Und \(f(1)=1-8+18-5=6\).
    18Rückwärts: den Parameter bestimmenAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=x^{3}+a\,x^{2}+3x\) mit einem Parameter \(a\in\mathbb{R}\).

    Bestimmen Sie \(a\) so, dass der Graph genau an der Stelle \(x=2\) von der Rechts- in die Linkskrümmung übergeht.

    Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
    \(f'(x)=3x^{2}+2ax+3\) und \(f''(x)=6x+2a\). Der Krümmungswechsel liegt dort, wo \(f''\) die Null durchläuft: \(6\cdot 2+2a=0\), also \(12+2a=0\) und damit \(a=-6\). Probe: \(f''(x)=6x-12\) ist links von \(2\) negativ und rechts davon positiv — genau der geforderte Übergang von Berg zu Wanne.
    19Welche Ableitung beantwortet die Frage?AFB II

    Ordnen Sie jede Frage dem Bereich zu, in dem sie beantwortet wird. „Braucht beide“ heißt: Ohne \(f'\) und \(f''\) kommt man nicht aus.

    Karte anklicken, dann einen Bereich anklicken. Mit der Tastatur: Enter, dann 1–3.
    1 nur mit \(f'\)
    2 nur mit \(f''\)
    3 braucht \(f'\) und \(f''\)
    „Wird der Graph beim Steigen steiler?“ ist eine Frage nach der Änderung der Steigung — also nach \(f''\). Und die Frage „Ist \(f'\) wachsend?“ ist wörtlich dieselbe: \(f'\) wächst genau dort, wo \(f''>0\) ist. Für Hoch- und Tiefpunkte braucht man dagegen beide Ableitungen: \(f'\) liefert die Kandidaten, \(f''\) entscheidet.
    20Die Antwort korrekt formulierenAFB III

    Für \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+5\) aus Aufgabe 4 soll die Aussage über den linken Bereich aufgeschrieben werden.

    Setzen Sie den Satz aus den Bausteinen zusammen. Vier Bausteine bleiben übrig — sie enthalten typische Formulierungsfehler.

    Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
    Zwei Dinge müssen stimmen: Die Aussage gilt auf einem Intervall, nicht an einer Stelle — und begründet wird sie mit \(f''\), nicht mit \(f'\). „Streng monoton fallend“ wäre inhaltlich sogar richtig, beantwortet aber eine andere Frage.
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