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Textaufgaben: Links- und Rechtskrümmung

Fünf Sachaufgaben von der Wasserrutsche bis zur Profilschar — das Vorzeichen von \(f″\) untersuchen, Krümmung von Monotonie unterscheiden und einen Messschrieb richtig lesen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben entscheidet allein das Vorzeichen von \(f″\). Die häufigste Fehlerquelle ist die Verwechslung mit \(f′\): Steigung und Krümmung sind zwei voneinander unabhängige Eigenschaften. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Die Wasserrutsche

AFB I

Der Längsschnitt einer Wasserrutsche wird beschrieben durch

\[h(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+4\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 5\]

Dabei ist \(x\) die waagerechte Entfernung vom Start in Metern und \(h(x)\) die Höhe in Dezimetern (Material M1).

M1Längsschnitt der Rutsche
x in mh in dm12345510152025x = 2

Links der markierten Stelle verläuft die Bahn wie ein Bergrücken, rechts davon wie eine Wanne.

  1. Bestimme \(h′\) und \(h″\).
  2. Bestimme die Intervalle, auf denen der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist.
  3. Deute das Krümmungsverhalten im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(h″\) entsteht durch zweimaliges Ableiten — hier ist \(h″\) eine lineare Funktion.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h′(x)=3x^{2}-12x+9\) und \(h″(x)=6x-12\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Untersuche das Vorzeichen von \(h″\). Positiv bedeutet linksgekrümmt, negativ rechtsgekrümmt.Eselsbrücke: linksgekrümmt ist die Wanne, rechtsgekrümmt der Berg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(6x-12<0\) für \(x<2\) und \(6x-12>0\) für \(x>2\). Auf \(]0;2[\) ist der Graph rechtsgekrümmt, auf \(]2;5[\) linksgekrümmt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Beschreibe, wie sich der Verlauf für eine rutschende Person anfühlt — erst welche Art von Kurve, dann welche.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Antwortsatz: Auf den ersten zwei Metern verläuft die Rutsche wie eine Kuppe — das Gefälle nimmt zu und man wird schneller. Ab \(x=2\) geht die Bahn in eine Wanne über: Das Gefälle nimmt wieder ab, die Rutsche fängt die Fahrt ab. Bei \(x=2\) wechselt die Krümmung; dort liegt die Wendestelle.

2

Die Ausbreitung einer Infektion

AFB II

Die Gesamtzahl \(I\) der Infizierten (in Hundert) während eines Ausbruchs wird modelliert durch

\[I(t)=-t^{3}+15t^{2}+100\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 12\]

mit der Zeit \(t\) in Tagen.

  1. Bestimme \(I″\).
  2. Gib die Krümmungsintervalle des Graphen an.
  3. Erläutere im Sachzusammenhang, was die Linkskrümmung für die tägliche Zunahme bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Zweimal ableiten genügt; die Konstante 100 verschwindet bereits beim ersten Mal.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(I′(t)=-3t^{2}+30t\) und \(I″(t)=-6t+30\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Löse die Ungleichungen \(I″(t)>0\) und \(I″(t)<0\).Bei einer linearen zweiten Ableitung gibt es genau einen Krümmungswechsel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(-6t+30>0\) für \(t<5\) und \(-6t+30<0\) für \(t>5\). Auf \(]0;5[\) ist der Graph linksgekrümmt, auf \(]5;12[\) rechtsgekrümmt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Linkskrümmung bedeutet: Die Zuwachsrate \(I′\) wächst noch. Rechtskrümmung bedeutet: Sie fällt bereits.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In den ersten fünf Tagen wächst nicht nur die Gesamtzahl der Infizierten, sondern auch die tägliche Zunahme — der Ausbruch beschleunigt sich. Ab dem fünften Tag steigt die Gesamtzahl zwar weiter, die tägliche Zunahme wird aber kleiner. Antwortsatz: Der fünfte Tag markiert den Umschlag von beschleunigtem zu abgeschwächtem Wachstum — die Zahl der Infizierten sinkt dort keineswegs.

3

Ein Messschrieb der zweiten Ableitung

AFB II

Ein Messgerät zeichnet nicht die Funktion \(f\) selbst auf, sondern ihre zweite Ableitung. Material M2 zeigt den Graphen von \(f″\).

M2Graph der zweiten Ableitung \(f″\)
xf″(x)-3-2-1123-4-2246

Aufgezeichnet ist nicht \(f\), sondern \(f″\) — die Nullstellen dieses Graphen sind Kandidaten für Wendestellen von \(f\).

  1. Lies die Nullstellen von \(f″\) ab.
  2. Gib die Krümmungsintervalle von \(f\) an.
  3. Begründe, warum sich aus diesem Graphen nichts über Hoch- und Tiefpunkte von \(f\) ablesen lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des gezeichneten Graphen mit der \(x\)-Achse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f″\) hat die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Lies das Vorzeichen von \(f″\) in den drei Bereichen ab und übersetze es in Links- bzw. Rechtskrümmung.Achte darauf, über welche Funktion du sprichst: Die Aussage betrifft \(f\), gezeichnet ist \(f″\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f″(x)>0\) auf \(]-\infty;-2[\) und auf \(]2;\infty[\): Dort ist der Graph von \(f\) linksgekrümmt. \(f″(x)<0\) auf \(]-2;2[\): Dort ist er rechtsgekrümmt. An beiden Nullstellen wechselt das Vorzeichen, es liegen also zwei Wendestellen vor.

Hinweis zu Aufgabe c)
Für Hoch- und Tiefpunkte bräuchte man die Nullstellen von \(f′\) — die stehen hier nicht zur Verfügung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Hoch- und Tiefpunkte von \(f\) sind über die Bedingung \(f′(x)=0\) definiert. Der Graph zeigt aber \(f″\); daraus lässt sich \(f′\) nur bis auf eine unbekannte Konstante rekonstruieren, denn beim Ableiten geht jede additive Konstante verloren. Zwei Funktionen mit identischem \(f″\) können also völlig unterschiedliche Extremstellen besitzen. Antwortsatz: Der Messschrieb entscheidet über die Krümmung, nicht über die Extrempunkte.

4

Steigen oder Krümmen?

AFB III

Ein Schüler untersucht \(f(x)=3x^{2}-12x+7\) und notiert: „Es ist \(f″(x)=6>0\) für alle \(x\). Also steigt der Graph von \(f\) überall.“

  1. Bestimme \(f′\) und \(f″\).
  2. Widerlege die Aussage des Schülers.
  3. Erkläre den Unterschied zwischen den Aussagen von \(f′\) und \(f″\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Beide Ableitungen sind hier schnell gebildet — \(f″\) ist konstant.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f′(x)=6x-12\) und \(f″(x)=6\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Suche eine Stelle, an der \(f′\) negativ ist, und gib sie als Gegenbeispiel an.Ein einziger Wert genügt, um eine Allaussage zu widerlegen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gegenbeispiel: \(f′(0)=-12<0\). An der Stelle \(x=0\) fällt der Graph also. Allgemein gilt \(f′(x)<0\) für \(x<2\); die Parabel fällt links vom Scheitel \(S(2\mid-5)\) und steigt erst rechts davon. Die Aussage ist damit widerlegt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Ordne zu: \(f′\) beantwortet die Frage „steigt oder fällt?“, \(f″\) die Frage „wie gebogen?“.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f′\) beschreibt die Steigung und entscheidet über Monotonie: \(f′>0\) heißt steigend, \(f′<0\) fallend. \(f″\) beschreibt die Krümmung, also die Änderung der Steigung: \(f″>0\) heißt linksgekrümmt. Beide Aussagen sind unabhängig voneinander: Eine nach oben geöffnete Parabel ist überall linksgekrümmt und fällt trotzdem auf der linken Hälfte. Antwortsatz: Aus \(f″>0\) folgt nur, dass die Steigung zunimmt — nicht, dass sie positiv ist.

5

Eine Schar von Profilquerschnitten

AFB III

Profilquerschnitte werden durch die Schar

\[f_a(x)=x^{4}+a\,x^{2}\qquad\text{mit}\quad a\in\mathbb{R}\]

beschrieben. Ein Konstrukteur behauptet: „Der Graph einer Funktion vierten Grades hat immer sowohl links- als auch rechtsgekrümmte Bereiche.“

  1. Bestimme \(f_a″\).
  2. Untersuche das Krümmungsverhalten in Abhängigkeit von \(a\).
  3. Nimm zur Behauptung des Konstrukteurs begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Parameter \(a\) wird beim Ableiten wie eine feste Zahl behandelt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_a′(x)=4x^{3}+2a\,x\) und \(f_a″(x)=12x^{2}+2a\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Löse die Ungleichung \(12x^{2}+2a<0\) und unterscheide dabei die Fälle \(a\ge 0\) und \(a<0\).Ein Quadrat ist nie negativ — für \(a\ge 0\) kann die Summe nie unter null fallen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für \(a>0\) gilt \(f_a″(x)=12x^{2}+2a>0\) für alle \(x\): Der Graph ist überall linksgekrümmt. Für \(a=0\) gilt \(f_0″(x)=12x^{2}\ge 0\), mit Gleichheit nur bei \(x=0\); auch hier gibt es keinen Krümmungswechsel. Für \(a<0\) ist \(f_a″(x)<0\) genau für \(|x|<\sqrt{-\tfrac{a}{6}}\); der Graph ist dort rechtsgekrümmt und außerhalb linksgekrümmt, es gibt also zwei Wendestellen.

Hinweis zu Aufgabe c)
Es genügt ein Gegenbeispiel aus der Schar, um die Allaussage zu kippen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Gegenbeispiel: \(f_2(x)=x^{4}+2x^{2}\) mit \(f_2″(x)=12x^{2}+4\ge 4>0\) — dieser Graph ist überall linksgekrümmt und besitzt keinen rechtsgekrümmten Bereich. Antwortsatz: Nur für \(a<0\) treten beide Krümmungsarten auf; für \(a\ge 0\) ist der Querschnitt durchgehend eine Wanne.