Extrempunkte mit dem GTR: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die vier Schritte ordnenAFB I

Bringe die vier Schritte in die Reihenfolge, in der sie in einer Klausurlösung stehen.

Ziehen oder mit den Pfeil-Buttons verschieben.

1Mathematischer Ansatz: \(f'(x)=0\) aufschreiben.

2GTR-Eingabe: \(Y_1=f(x)\) eintippen und den Graphen zeichnen lassen.

3GTR-Ausgabe: im Menü „minimum“ oder „maximum“ wählen und die Zahlen ablesen.

4Interpretation: das Ergebnis als Punkt notieren und einen Antwortsatz schreiben.

Die beiden äußeren Schritte sind Mathematik, die beiden mittleren reine Bedienung. Wer die äußeren weglässt, hat zwei Zahlen auf einem Bildschirm, aber keine Lösung.

A2Was der Rechner leistetAFB I

Setze die Begriffe so ein, dass der Text stimmt.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken.

Auch mit dem GTR bleibt der mathematische die Gleichung \(f'(x)=0\). Der Rechner löst sie nicht sichtbar, sondern arbeitet sich an die Stelle heran. Im Menü wählt man für einen Tiefpunkt. Auf dem Bildschirm erscheinen zwei Zahlen für \(X\) und \(Y\); daraus muss man selbst einen machen. Diesen letzten Schritt nennt man . Für Wendepunkte lautet der Ansatz dagegen .

Der Rechner rechnet, du interpretierst. Genau diese Arbeitsteilung wird in Klausuren geprüft — die Bedienung selbst gibt keine Punkte.

A3Von der Anzeige zum PunktAFB I

Für \(f(x)=3x^{2}+6x+4\) zeigt der GTR nach der Wahl von „minimum“ an: X=-1 und Y=1. Notiere daraus den Punkt.

Beim Wortfeld genügt Tiefpunkt bzw. Hochpunkt.

x-Koordinatey-KoordinateArt des Punktes

Aus den beiden Zahlen wird \(P_{\min}(-1\mid 1)\). Der Index „min“ hält fest, dass es sich um ein Minimum handelt — diese Information steckt in der Wahl des Menüpunkts, nicht in der Anzeige.

A4Die Anzeige nachrechnenAFB II

Der GTR liefert für \(f(x)=3x^{2}+6x+4\) die Stelle \(x=-1\). Rechne den zugehörigen Funktionswert von Hand nach.

Einsetzen und ausrechnen. Enter prüft.

\(f(-1)=3\cdot(-1)^{2}+6\cdot(-1)+4=3-6+4=1\). Die Kontrollrechnung ist schnell gemacht und deckt Tippfehler in der Eingabezeile auf — der Rechner zeichnet auch einen falschen Term klaglos.

A5Kontrolle von HandAFB II

Der GTR meldet für \(f(x)=x^{3}-4{,}5x^{2}+6x\) zwei Extrempunkte. Prüfe das Ergebnis mit dem \(f^{\prime\prime}\)-Kriterium nach.

Bei den Wortfeldern genügt das Wort. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-9x+6\). Kleinere Kandidatenstelle:
Größere Kandidatenstelle:
\(f^{\prime\prime}(x)=6x-9\). Berechne \(f^{\prime\prime}(1)\).
Punktart bei \(x=1\)?
y-Wert dort: \(f(1)=\)
y-Wert bei \(x=2\): \(f(2)=\)

\(f'(x)=3(x-1)(x-2)\) liefert die Stellen \(1\) und \(2\). Mit \(f^{\prime\prime}(1)=-3<0\) und \(f^{\prime\prime}(2)=3>0\) ergeben sich \(H(1\mid 2{,}5)\) und \(T(2\mid 2)\). Auffällig: Der Hochpunkt liegt höher als der Tiefpunkt — beides sind nur lokale Extrempunkte.

A6Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zur Arbeit mit dem GTR.

Eine falsche Einschätzung reicht — dann startet die Serie neu.

Aussage 1 von 5

Aussage 4 ist der praktische Kern: Bevor man das Menü benutzt, muss das Fenster so gewählt sein, dass die interessanten Stellen sichtbar sind.

A7Wer macht was?AFB II

Kreuze an, wer die jeweilige Tätigkeit übernimmt und ob sie in der schriftlichen Lösung auftaucht.

Es können mehrere Kreuze pro Zeile sein.

Tätigkeit	macht der GTR	machst du	gehört in die schriftliche Lösung
Den Ansatz \(f'(x)=0\) aufschreiben
Den Graphen zeichnen
Die Stelle numerisch bestimmen
Das Ergebnis als \(P(x\mid y)\) notieren
Entscheiden, ob „minimum“ oder „maximum“ gewählt wird
Den Term im \(Y\)-Menü eintippen

Die letzte Zeile ist der Unterschied zwischen Bedienung und Mathematik: Das Eintippen machst du, aber es gehört nicht in die Lösung. Der Ansatz und die Interpretation dagegen schon.

A8Der BedienwegAFB II

Spiele den Weg vom Funktionsterm zum notierten Extrempunkt durch.

Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Ansatz → Eingabe → Menüpunkt → Punkt → Antwortsatz. Der Menüpunkt wird nicht geraten, sondern aus der Form des Graphen entschieden.

A9Anzeige richtig rundenAFB II

Der GTR zeigt lange Dezimalzahlen an. Runde jede auf zwei Nachkommastellen. Komma oder Punkt sind beide erlaubt.

Alle Felder ausfüllen, dann prüfen.

Anzeige des GTR	auf 2 Nachkommastellen
`X=1.2599210499`
`Y=-3.8473221`
`X=0.81649658`
`Y=-1.08866211`
`X=-2.9999999`

Bei \(-3{,}8473\) entscheidet die dritte Nachkommastelle \(7\): aufrunden zu \(-3{,}85\). Beim Runden negativer Zahlen zählt der Betrag — aus \(-1{,}08866\) wird \(-1{,}09\), nicht \(-1{,}08\). Die letzte Zeile ist typisch für numerische Verfahren: Der exakte Wert ist \(-3\), der Rechner zeigt ihn nur annähernd an.

A10Wenn das Standardfenster nicht reichtAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-300x\). Im Standardfenster \([-10;10]\times[-10;10]\) sieht man fast nichts. Berechne den y-Wert des Tiefpunkts.

Erst die Kandidatenstellen von Hand bestimmen, dann den Funktionswert. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-300=3(x^{2}-100)\), also \(x=\pm 10\). Der Tiefpunkt liegt bei \(x=10\) mit \(f(10)=1000-3000=-2000\). Das Fenster muss also mindestens bis \(y=-2000\) reichen — ohne die Handrechnung findet man es nur durch Probieren.

A11Welcher Menüpunkt liefert ein Ergebnis?AFB II

Ordne jede Funktion danach, was der GTR auf ihrem Graphen findet.

Karte anklicken, dann Korb anklicken — oder Enter und die Ziffer des Korbs.

1nur „minimum“

2nur „maximum“

3kein Extrempunkt

Bei einer Parabel entscheidet das Vorzeichen vor \(x^{2}\). Eine Gerade hat überhaupt keine waagerechte Tangente. Bei \(f(x)=x^{3}\) ist zwar \(f'(0)=0\), aber dort liegt ein Sattelpunkt — der Rechner findet unter „minimum“ nichts.

A12Fehler beim Arbeiten mit dem GTRAFB II

Vier der sieben Zeilen sind falsch. Klicke genau die falschen an.

Die richtigen Zeilen musst du stehen lassen.

Drei der vier Fehler drehen sich um dieselbe Verwechslung: Der Rechner liefert Zahlen, die Mathematik liefert Ansatz und Deutung.

A13Beide Extrempunkte aus einer GTR-SitzungAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-45x+10\). Bestimme beide Extrempunkte vollständig — so, wie sie der GTR anzeigen würde.

Vier Felder, ein Klick prüft alles.

x des Hochpunktsy des Hochpunktsx des Tiefpunktsy des Tiefpunkts

\(f'(x)=3x^{2}-6x-45=3(x-5)(x+3)\) liefert \(x=-3\) und \(x=5\). Mit \(f^{\prime\prime}(x)=6x-6\) ist \(f^{\prime\prime}(-3)=-24<0\) (Hochpunkt) und \(f^{\prime\prime}(5)=24>0\) (Tiefpunkt). Werte: \(f(-3)=91\) und \(f(5)=-165\). Das Fenster muss von \(-165\) bis \(91\) reichen — ohne Anpassung zeigt der GTR nur eine steile Linie.

A14Menüpunkt und ErgebnisartAFB II

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Drei Situationen, jeweils Menüpunkt und Ergebnis.

Situation	Menüpunkt am GTR	Art des gefundenen Punktes
Parabel nach oben geöffnet
Parabel nach unten geöffnet
Graph von \(f(x)=x^{3}\) bei \(x=0\)

Die dritte Zeile ist die lehrreiche: Bei \(f(x)=x^{3}\) ist \(f'(0)=0\), aber es gibt weder ein Minimum noch ein Maximum. Der Rechner meldet entweder nichts oder den Randwert des Suchintervalls — erkennen muss man das selbst.

A15Drei Parabeln, drei ErgebnisseAFB III

Trage für jede Funktion ein, welchen Menüpunkt du wählst (minimum oder maximum) und welche Koordinaten der GTR anzeigt.

In die erste Zeile das Wort, darunter die Zahlen. Enter prüft.

Funktion	\(f(x)=x^{2}-6x+5\)	\(f(x)=-2x^{2}+8x-3\)	\(f(x)=0{,}5x^{2}+2x\)
Menüpunkt
Anzeige \(X\)
Anzeige \(Y\)

Ableiten und null setzen: \(2x-6=0\Rightarrow x=3\), \(f(3)=-4\). \(-4x+8=0\Rightarrow x=2\), \(f(2)=5\). \(x+2=0\Rightarrow x=-2\), \(f(-2)=-2\). Das Vorzeichen vor \(x^{2}\) entscheidet über den Menüpunkt.

A16Was gehört in die Klausurlösung?AFB II

Eine Aufgabe lautet: „Bestimmen Sie den Extrempunkt des Graphen von \(f\) mit dem GTR.“ Welche Bestandteile gehören in die schriftliche Lösung?

Markiere alle zutreffenden Bestandteile.

Bewertet wird die Mathematik: Ansatz, Ergebnis, Deutung. Die Bedienung des Geräts wird nicht dokumentiert — sie ist ein Hilfsmittel wie ein Taschenrechner beim Wurzelziehen.

A17Auch der Rand zähltAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x\), betrachtet nur auf dem Intervall \([-3;3]\). Der GTR meldet die lokalen Extrempunkte — für das größte Ergebnis auf dem Intervall musst du auch die Ränder prüfen.

Der Reihe nach. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-3\). Kleinere Kandidatenstelle:
Größere Kandidatenstelle:
Wert im lokalen Hochpunkt: \(f(-1)=\)
Wert im lokalen Tiefpunkt: \(f(1)=\)
Linker Randwert: \(f(-3)=\)
Rechter Randwert: \(f(3)=\)
Größter Funktionswert auf \([-3;3]\):

Die lokalen Extremwerte sind \(2\) und \(-2\), die Randwerte \(-18\) und \(18\). Das größte Ergebnis auf dem Intervall ist also \(18\) am rechten Rand — und genau dort ist \(f'(3)=24\ne 0\). Randstellen erfüllen die notwendige Bedingung nicht und werden vom Menüpunkt „maximum“ auch nicht gefunden.

A18Begriffe und ihre BedeutungAFB II

Finde die zusammengehörenden Paare.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.

Versuche: 0 von 15

Die fünf Paare sind genau die vier Schritte plus der Sonderfall Wendepunkt. Wer sie auseinanderhalten kann, verwechselt Bedienung und Mathematik nicht mehr.

A19Wenn die Stelle keine schöne Zahl istAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-2x\). Der GTR zeigt für den Tiefpunkt \(X=0.8164965\). Berechne den zugehörigen y-Wert und runde auf zwei Nachkommastellen.

Setze den angezeigten x-Wert in \(f\) ein. Toleranz: zwei Nachkommastellen. Enter prüft.

\(f'(x)=3x^{2}-2=0\Rightarrow x=\sqrt{\tfrac23}\approx 0{,}8165\). Damit ist \(f(0{,}8165)=0{,}5443-1{,}6330\approx-1{,}0887\), gerundet \(-1{,}09\). Der Tiefpunkt lautet \(T(0{,}82\mid-1{,}09)\). Wichtig: Erst am Ende runden — wer schon \(x\approx 0{,}82\) einsetzt, landet bei \(-1{,}0887\ldots\) mit anderer letzter Stelle.

A20Der Ansatz bleibt HandarbeitAFB III

Zu \(f(x)=0{,}5x^{3}-3x^{2}+4x\) soll der Ansatz aufgeschrieben werden. Gib \(f'(x)\) an.

Schreibweise: 1.5x^2-6x+4. Dezimalzahlen mit Punkt oder als Bruch 3/2.

\(f'(x)=1{,}5x^{2}-6x+4\). Der Ansatz \(f'(x)=0\) führt auf \(x^{2}-4x+\tfrac83=0\), also \(x=2\pm\sqrt{4-\tfrac83}=2\pm\sqrt{\tfrac43}\approx 2\pm1{,}155\). Solche Werte liest man am GTR ab — der Ansatz und die Deutung bleiben aber Handarbeit.

Übungen: Extrempunkte mit dem GTR

Übungsaufgaben