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Textaufgaben: Extrempunkte mit dem GTR

Fünf Sachaufgaben mit krummen Zahlen — Ansatz hinschreiben, Fenster richtig wählen, Randstellen prüfen und die Anzeige des Rechners als lokales Ergebnis lesen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben rechnet der GTR — aber der Ansatz \(f′(x)=0\), die Wahl des Fensters, die Prüfung der Randstellen und der Antwortsatz bleiben deine Aufgabe. Genau dort entstehen in Klausuren die Fehler. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Schadstoff im Fluss

AFB I

Nach einem Störfall wird der Schadstoffgehalt \(c\) eines Flusses (in \(\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\)) zehn Stunden lang beobachtet:

\[c(t)=-0{,}1t^{3}+1{,}5t^{2}-4{,}2t+8\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 10\]

mit der Zeit \(t\) in Stunden (Material M1). Die Extremstellen sind hier keine ganzen Zahlen.

M1Schadstoffgehalt im Zeitverlauf
t in hc in mg/l2468105101520TiefpunktHochpunkt

Beide Extrempunkte liegen zwischen den Gitterlinien — ein Fall für den GTR.

  1. Gib den mathematischen Ansatz an, mit dem Extrempunkte bestimmt werden.
  2. Bestimme mit dem GTR beide Extrempunkte auf zwei Nachkommastellen genau.
  3. Deute die Ergebnisse im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Ansatz bleibt derselbe wie bei der Rechnung von Hand — er gehört in jede Lösung, auch wenn der Rechner die Arbeit übernimmt.Der GTR liefert Zahlen, keinen Ansatz und keinen Antwortsatz.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(c′(t)=0\) — gesucht sind die Stellen mit waagerechter Tangente. Ob dort ein Hoch- oder ein Tiefpunkt liegt, entscheidet beim GTR die Wahl des Menüpunkts.

Hinweis zu Aufgabe b)
Gib \(Y_1=c(x)\) ein, wähle ein Fenster, das den ganzen Definitionsbereich zeigt, und rufe nacheinander die Menüpunkte „minimum“ und „maximum“ auf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Fenster zum Beispiel \(0\le x\le 10\) und \(0\le y\le 22\). Der GTR liefert das Minimum bei \(t\approx 1{,}68\) mit \(c\approx 4{,}70\) und das Maximum bei \(t\approx 8{,}32\) mit \(c\approx 19{,}30\). Also \(T\approx(1{,}68\mid 4{,}70)\) und \(H\approx(8{,}32\mid 19{,}30)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Nenne im Antwortsatz beide Zeitpunkte mit Einheit und die zugehörigen Konzentrationen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Antwortsatz: Rund 1 Stunde und 41 Minuten nach Beobachtungsbeginn ist der Schadstoffgehalt mit etwa \(4{,}70\,\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\) am niedrigsten. Danach steigt er wieder an und erreicht nach rund 8 Stunden und 19 Minuten mit etwa \(19{,}30\,\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\) seinen Höchstwert; anschließend nimmt er wieder ab.

2

Die offene Schachtel

AFB II

Aus einem Karton von \(30\,\text{cm}\times 20\,\text{cm}\) werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge \(x\) (in cm) ausgeschnitten; die Ränder werden hochgeklappt. Für das Volumen der entstehenden Schachtel gilt

\[V(x)=4x^{3}-100x^{2}+600x\qquad\text{mit}\quad 0

Das Volumen wird in Kubikzentimetern gemessen.

  1. Gib den Ansatz für die Bestimmung des größten Volumens an.
  2. Bestimme mit dem GTR die Schnitthöhe \(x\) und das zugehörige Volumen auf zwei Nachkommastellen.
  3. Begründe, warum die zweite Lösung von \(V′(x)=0\) verworfen werden muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Auch hier lautet der Ansatz \(V′(x)=0\); der GTR übernimmt anschließend das Lösen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(V′(x)=0\) mit \(V′(x)=12x^{2}-200x+600\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Wähle das Fenster passend zum Definitionsbereich, etwa \(0\le x\le 10\) und \(0\le y\le 1200\), und rufe „maximum“ auf.Ein zu groß gewähltes Fenster zeigt Werte außerhalb des Definitionsbereichs und führt leicht in die Irre.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der GTR liefert das Maximum bei \(x\approx 3{,}92\) mit \(V\approx 1056{,}31\). Antwortsatz: Werden an den Ecken Quadrate mit rund \(3{,}92\,\text{cm}\) Seitenlänge ausgeschnitten, fasst die Schachtel mit etwa \(1056\,\text{cm}^{3}\) am meisten.

Hinweis zu Aufgabe c)
Überlege, welche Schnittlängen bei einem 20 cm breiten Karton überhaupt möglich sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(V′(x)=0\) besitzt die zweite Lösung \(x\approx 12{,}74\). Diese liegt außerhalb des Definitionsbereichs \(]0;10[\) und ist auch sachlich unmöglich: Aus einem nur \(20\,\text{cm}\) breiten Karton lassen sich an beiden Seiten keine Quadrate mit mehr als \(10\,\text{cm}\) Seitenlänge ausschneiden — die Breite wäre dann null oder negativ. Der Definitionsbereich stammt also aus dem Sachzusammenhang, nicht aus dem Funktionsterm.

3

Ein zu kleines Fenster

AFB II

Der Füllstand \(F\) einer Talsperre (in Prozent) wird über zwei Jahre modelliert durch

\[F(x)=0{,}02x^{3}-0{,}6x^{2}+4x+30\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 24\]

mit der Zeit \(x\) in Monaten. Eine Schülerin arbeitet mit dem Fenster \(0\le x\le 10\) und meldet: „Es gibt genau einen Extrempunkt.“ (Material M2)

M2Füllstand der Talsperre über 24 Monate
x in MonatenF in %481216202410203040Fenster 0 ≤ x ≤ 10

Im orange hinterlegten Fenster ist nur einer der beiden Extrempunkte sichtbar.

  1. Bestimme mit dem GTR die Extrempunkte im Fenster \(0\le x\le 10\).
  2. Untersuche den gesamten Definitionsbereich und gib alle Extrempunkte an.
  3. Erläutere, welcher Fehler beim Arbeiten mit dem GTR hier entstanden ist und wie er sich vermeiden lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Im kleinen Fenster findet der Rechner nur, was darin liegt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Im Fenster \(0\le x\le 10\) liefert der GTR nur das Maximum bei \(x\approx 4{,}23\) mit \(F\approx 37{,}70\), also \(H\approx(4{,}23\mid 37{,}70)\). Die Meldung der Schülerin ist für dieses Fenster korrekt.

Hinweis zu Aufgabe b)
Stelle das Fenster auf den vollen Definitionsbereich ein: \(0\le x\le 24\) und etwa \(15\le y\le 45\).Erst danach zeigt der Graph beide Bogen — und der Rechner findet beide Extrempunkte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mit dem Fenster \(0\le x\le 24\) findet der Rechner zusätzlich das Minimum bei \(x\approx 15{,}77\) mit \(F\approx 22{,}32\). Es gibt also zwei Extrempunkte: \(H\approx(4{,}23\mid 37{,}70)\) und \(T\approx(15{,}77\mid 22{,}32)\). Kontrolle über den Ansatz: \(F′(x)=0{,}06x^{2}-1{,}2x+4=0\) liefert \(x_{1,2}=10\pm\sqrt{100-\tfrac{200}{3}}\), also \(x_1\approx 4{,}23\) und \(x_2\approx 15{,}77\) — passend zu den Anzeigen.

Hinweis zu Aufgabe c)
Formuliere eine Regel, die den Definitionsbereich mit der Fensterwahl verknüpft.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Fehler ist kein Rechenfehler, sondern ein Anzeigefehler: Der GTR sucht nur innerhalb des eingestellten Fensters. Wer das Fenster kleiner wählt als den Definitionsbereich, übersieht Extrempunkte außerhalb. Regel: Das Fenster wird zuerst am Definitionsbereich der Aufgabe ausgerichtet, danach am Wertebereich; erst dann wird gesucht. Zusätzliche Sicherheit gibt die Kontrolle über die Anzahl der Lösungen von \(F′(x)=0\).

4

Minimum ist nicht gleich Minimum

AFB III

Der Kurs \(K\) einer Aktie (in Euro) wird über 18 Monate modelliert durch

\[K(t)=0{,}05t^{3}-1{,}2t^{2}+7t+30\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 18\]

Ein Anleger liest am GTR ab: „maximum: \(x=3{,}836\), \(y=42{,}01\)“ und schließt: „Der Kurs ist nach knapp vier Monaten am höchsten — danach sollte man verkaufen.“

  1. Bestimme mit dem GTR beide Extrempunkte im Definitionsbereich.
  2. Untersuche zusätzlich die Randstellen und gib den größten und den kleinsten Kurswert an.
  3. Nimm zur Schlussfolgerung des Anlegers begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Fenster \(0\le x\le 18\), \(25\le y\le 65\); dann liefern „maximum“ und „minimum“ je einen Punkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der GTR liefert das Maximum bei \(t\approx 3{,}84\) mit \(K\approx 42{,}01\) und das Minimum bei \(t\approx 12{,}16\) mit \(K\approx 27{,}59\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der GTR sucht nur nach Stellen mit waagerechter Tangente — die Ränder prüft er nicht.Setze \(t=0\) und \(t=18\) von Hand in \(K\) ein und vergleiche mit den Extremwerten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Randwerte: \(K(0)=30\) und \(K(18)=291{,}6-388{,}8+126+30=58{,}8\). Der größte Kurswert des Zeitraums beträgt damit \(58{,}80\,\text{€}\) am rechten Rand, der kleinste \(27{,}59\,\text{€}\) am Tiefpunkt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Unterscheide sauber zwischen einem lokalen Maximum und dem größten Wert des gesamten Zeitraums.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Schlussfolgerung ist falsch. Der GTR-Eintrag „maximum“ bezeichnet ein lokales Maximum, also einen Hochpunkt des Graphen — nicht den größten Wert im Definitionsbereich. Hier liegt der größte Kurswert mit \(58{,}80\,\text{€}\) am rechten Rand und damit deutlich über den \(42{,}01\,\text{€}\) des Hochpunkts. Antwortsatz: Wer nur die Anzeige des Rechners liest und die Randstellen übergeht, verwechselt lokales und globales Maximum — der Verkauf nach vier Monaten wäre nach diesem Modell die schlechtere Entscheidung.

5

Wenn der Rechner nichts anzeigt

AFB III

Ein Sensorsignal wird durch \(s(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1\) mit \(-1\le x\le 3\) beschrieben. Ein Schüler gibt die Funktion in den GTR ein und ruft „minimum“ und „maximum“ auf; in beiden Fällen erhält er keinen Punkt. Er folgert: „Also gibt es hier keine Stelle mit waagerechter Tangente.“

  1. Bestimme \(s′\) rechnerisch und alle Kandidaten für Extremstellen.
  2. Erkläre, warum der GTR in den Menüpunkten „minimum“ und „maximum“ trotzdem keinen Punkt liefert.
  3. Nimm zur Schlussfolgerung des Schülers Stellung und gib an, wie sich die Stelle mit dem GTR dennoch finden lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(s′(x)=3x^{2}-6x+3\). Klammere 3 aus; in der Klammer steht eine binomische Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s′(x)=3x^{2}-6x+3=3\,(x^{2}-2x+1)=3\,(x-1)^{2}\). Einziger Kandidat: \(x=1\) mit \(s(1)=1-3+3-1=0\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Menüpunkte suchen nach Hoch- und Tiefpunkten, also nach einem Wechsel der Monotonie.Ohne Vorzeichenwechsel von \(s′\) gibt es keinen Extrempunkt — und damit nichts, was der Rechner dort anzeigen könnte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für alle \(x\neq 1\) gilt \((x-1)^{2}>0\), also \(s′(x)>0\): Die Funktion ist auf dem ganzen Intervall streng monoton wachsend. Bei \(x=1\) wechselt \(s′\) das Vorzeichen nicht, es liegt also kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt \(S(1\mid 0)\) vor. Die Menüpunkte „minimum“ und „maximum“ suchen genau nach Extrempunkten — deshalb bleiben sie ohne Ergebnis.

Hinweis zu Aufgabe c)
Ein zweiter Graph \(Y_2=s′(x)\) macht die Stelle sichtbar: Man sucht dann dessen Nullstelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Schlussfolgerung ist falsch: Bei \(x=1\) gibt es sehr wohl eine waagerechte Tangente, denn \(s′(1)=0\). Der Rechner sagt nur, dass dort kein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. Antwortsatz: Wer die Stelle mit dem GTR finden will, gibt zusätzlich \(Y_2=s′(x)\) ein und sucht mit „zero“ die Nullstelle von \(Y_2\) — oder nutzt „inflection“, denn der Sattelpunkt ist zugleich Wendepunkt.