Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Eine Potenz kürzt ein Produkt aus gleichen Faktoren ab — auch Exponent 0 und negative Exponenten haben eine feste Bedeutung.
Potenzschreibweise
Basis a, Exponent n: n gleiche Faktoren.
Negative Basis
Gerader Exponent: positiv, ungerader: negativ. Die Klammer entscheidet.
Null und negativ
Jeder Schritt nach unten teilt durch die Basis.
Zehnerpotenzen
Vorzahl zwischen 1 und 10 mal Zehnerpotenz.
Negativer Exponent ≠ negativer Wert
2⁻³ = 1/8 = 0,125 ist positiv. Das Minus im Exponenten bedeutet Kehrwert.
Wurzeln und rationale Exponenten
Die n-te Wurzel kehrt das Potenzieren um — und lässt sich als Potenz mit Bruch im Exponenten schreiben.
n-te Wurzel
Die nicht negative Zahl, die hoch n den Radikanden ergibt.
Rationaler Exponent
Nenner = Wurzelexponent, Zähler = Hochzahl.
Gleichung xⁿ = a
n gerade, a > 0: zwei Lösungen; n ungerade: genau eine.
Rechner
GTR: SHIFT ^ für ⁿ√; CAS: ctrl ^ und solve(…).
Bei geradem n an ± denken
x⁴ = 16 hat x = 2 und x = −2. Die Wurzel ⁴√16 = 2 ist aber nur die positive Zahl.
Rechengesetze und Umformungen
Bei gleicher Basis werden Exponenten addiert, subtrahiert oder multipliziert — für ganze und für rationale Exponenten.
Mal und Geteilt
Gleiche Basis: Exponenten addieren bzw. subtrahieren.
Potenz einer Potenz
Exponenten multiplizieren.
Wurzelgesetze
Gleicher Wurzelexponent: zusammenfassen; teilweise Wurzel ziehen.
Formeln umstellen
Potenz isolieren, dann die passende Wurzel ziehen.
Keine Gesetze für Summen
2³ + 2⁴ = 24, nicht 2⁷. Summen werden ausgerechnet oder bleiben stehen.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Diese drei Stellen kosten in der Arbeit am häufigsten Punkte.
Vorzeichen und Klammern
(−3)² = 9, aber −3² = −9. 2⁻³ ist positiv. x⁴ = −16 hat keine Lösung, x³ = −8 genau eine.
Addieren oder multiplizieren?
a³ · a⁴ = a⁷ (addieren), (a³)⁴ = a¹² (multiplizieren). Die Basis bleibt immer stehen.
Bis zum Ende vereinfachen
x⁻³ als 1/x³ angeben, ∛432 bis 6∛2 vereinfachen, Zehnerpotenzen mit Vorzahl zwischen 1 und 10.