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Wurzeln als Potenzen

Wenn eine Größe nicht mit der ganzen, sondern mit der gebrochenen Potenz wächst — von der Musik bis zur Biologie.

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Die Klaviertastatur

AFB I–II

Beim Klavier steigt die Frequenz von einer Taste zur nächsthöheren immer um denselben Faktor q. Nach 12 Tasten (einer Oktave) hat sich die Frequenz genau verdoppelt: q¹² = 2. Der Kammerton a hat 440 Hz.

  1. Gib q als Potenz mit rationalem Exponenten und als Wurzel an.
  2. Berechne q auf vier Nachkommastellen und die Frequenz der Taste 3 Tasten über dem a.
  3. Erläutere, warum die Frequenz 6 Tasten höher 440 · √2 Hz beträgt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Löse q¹² = 2 nach q auf.
Hinweis zu Aufgabe b)
GTR: 2^(1÷12); drei Tasten entsprechen q³.
Hinweis zu Aufgabe c)
Fasse den Exponenten 6/12 zusammen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

q = 2^(1/12) = ¹²√2.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

q ≈ 1,0595. f = 440 · 2^(3/12) = 440 · 2^(1/4) ≈ 523,3 Hz (das ist das c).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

6 Tasten: 440 · q⁶ = 440 · 2^(6/12) = 440 · 2^(1/2) = 440 · √2 ≈ 622,3 Hz. Sechs Tasten sind eine halbe Oktave, der Faktor ist deshalb die Quadratwurzel aus 2.

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Herzschlag und Körpermasse

AFB II–III

Biologen haben gefunden: Die Herzfrequenz f von Säugetieren hängt näherungsweise von der Körpermasse m ab: f = 240 · m^(−1/4) (f in Schläge pro Minute, m in kg). Ein Mitschüler behauptet: „Ein 16-mal so schweres Tier hat ein 16-mal so langsames Herz.“

  1. Bestimme die Herzfrequenz für eine Katze (m = 4 kg, auf ganze Schläge gerundet) und für ein Rind (m = 625 kg).
  2. Untersuche, um welchen Faktor sich f ändert, wenn m mit 16 multipliziert wird.
  3. Nimm Stellung zur Behauptung des Mitschülers.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
m^(−1/4) = 1/⁴√m.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze 16m ein und nutze (16m)^(−1/4) = 16^(−1/4) · m^(−1/4).
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche den Faktor 16 mit dem Ergebnis aus b).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Katze: 240 : ⁴√4 = 240 : √2 ≈ 170 Schläge/min. Rind: 240 : ⁴√625 = 240 : 5 = 48 Schläge/min.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

f neu = 240 · (16m)^(−1/4) = 16^(−1/4) · f = f/2. Die Herzfrequenz halbiert sich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Wegen des Exponenten −1/4 wirkt nur die 4. Wurzel des Massenfaktors: ⁴√16 = 2. Das Herz schlägt halb so schnell, nicht 16-mal langsamer. Der Mitschüler hat den Exponenten −1 statt −1/4 benutzt.