Brüche im Exponenten
Die Regel „gleiche Basis: Exponenten addieren“ soll auch für Brüche gelten. Daraus folgt, was \(8^{\frac13}\) sein muss.
Herleitung:
- Zähler m:\(8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4\) — erst Wurzel, dann Potenz.
- Oder:\(8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\) — gleiches Ergebnis.
- Negativ:\(27^{-\frac13}=\dfrac1{\sqrt[3]{27}}=\dfrac13\).
Potenz mit rationalem Exponenten: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\) für \(a>0\), \(m\in\mathbb{Z}\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge2\)
Zwischen den ganzen Exponenten
Rationale Exponenten füllen die Lücken zwischen den ganzen Exponenten.
- Dezimalbruch:\(16^{0{,}75}=16^{\frac34}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=8\).
- Zurückschreiben:\(\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac25}\) — Wurzelexponent in den Nenner.
- GTR:Casio fx-CG50: 8 ^ ( 2 ÷ 3 ) EXE → 4 — die Klammer um den Bruch ist Pflicht.
- CAS:TI-Nspire CX CAS: 8^(2/3) enter → 4; bei \(2^{\frac12}\) bleibt es exakt \(\sqrt2\).
Stelle mit den Reglern Zähler m und Nenner n ein. Der Punkt wandert auf der Kurve \(y=a^x\) an die Stelle \(x=\tfrac mn\) — auch zwischen die ganzen Exponenten.
Halte fest: Der Nenner des Exponenten ist der Wurzelexponent, der Zähler die Hochzahl — und der Punkt liegt immer auf derselben Kurve.
Allgemeine Hinweise
\(8^{\frac13}\) ist nicht \(\tfrac83\)
Der Bruch im Exponenten teilt nicht die Basis: \(8^{\frac13}=\sqrt[3]8=2\), nicht \(8:3\).
Klammer um den Exponenten
Eingabe 8^2÷3 rechnet \(8^2:3\approx21{,}3\). Richtig: 8^(2÷3).
Erst die Wurzel ziehen
\(27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=9\) — so bleiben die Zahlen klein und das Kopfrechnen leicht.