Rechnen ohne Rechner
AFB I–IIIn einer Mathe-Olympiade soll der Wert von T = 2¹⁰ · 5¹² : 10¹⁰ ohne Taschenrechner bestimmt werden.
- Stelle 5¹² als Produkt 5¹⁰ · 5² dar und fasse 2¹⁰ · 5¹⁰ zusammen.
- Berechne den Wert von T.
- Beschreibe die Strategie, die bei solchen Aufgaben hilft.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
2¹⁰ · 5¹² = 2¹⁰ · 5¹⁰ · 5² = 10¹⁰ · 25.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
T = 10¹⁰ · 25 : 10¹⁰ = 25.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Man sucht Faktoren, die sich zu einer runden Basis ergänzen (2 und 5 zu 10) oder schreibt alle Zahlen als Potenzen derselben Basis. Dann wird nur noch mit Exponenten gerechnet.
Drei Lösungen, ein Term
AFB II–IIIIn einem Test sollte (a³ · a^(1/2))² : a⁵ für a > 0 vereinfacht werden. Drei Schüler geben verschiedene Ergebnisse ab: Lena a², Tom a⁻², Ben √a. Lena hat gerechnet: a³ · a^(1/2) = a^(7/2), dann (a^(7/2))² = a⁷, zuletzt a⁷ : a⁵ = a².
- Weise nach, dass Lenas Ergebnis richtig ist, indem du a = 4 einsetzt.
- Untersuche, welche Fehler zu den Ergebnissen von Tom und Ben führen.
- Entwickle eine eigene Aufgabe dieser Art, deren Ergebnis a³ ist, und gib die Lösung an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Original: (64 · 2)² : 4⁵ = 128² : 1024 = 16 384 : 1024 = 16. Lena: 4² = 16 ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Tom hat in der Klammer die Exponenten multipliziert: a^(3 · 1/2) = a^(3/2), dann (a^(3/2))² = a³ und a³ : a⁵ = a⁻². Ben hat den äußeren Exponenten addiert: a^(7/2 + 2) = a^(11/2) und a^(11/2) : a⁵ = a^(1/2) = √a. Beide verwechseln die Gesetze: Produkt → addieren, Potenz einer Potenz → multiplizieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Beispiel: (a² · a^(3/2))² : a⁴ = (a^(7/2))² : a⁴ = a⁷ : a⁴ = a³. Jede Aufgabe mit korrekter Rechnung zählt.