Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Regeln prüfen, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum man \(a^0=1\) für \(a\ne0\) festlegt.
Hinweis: Nutze das Muster \(a^3,\ a^2,\ a^1,\ \ldots\) oder den Quotienten \(a^n:a^n\).
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Musterlösung: Beim Senken des Exponenten um 1 teilt man durch a: \(a^0=a^1:a=1\). Außerdem ist \(\frac{a^n}{a^n}=1\) — nach dem Quotientengesetz aber auch \(a^{n-n}=a^0\). Damit beide Rechnungen dasselbe liefern, muss \(a^0=1\) sein. Für \(a=0\) geht das nicht, weil man nicht durch 0 teilen darf.
Untersuche, ob \((a\cdot b)^2=a^2\cdot b^2\) und ob \((a+b)^2=a^2+b^2\) für alle Zahlen gilt.
Hinweis: Setze \(a=2\) und \(b=3\) ein.
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Musterlösung: \((a\cdot b)^2=ab\cdot ab=a^2b^2\) gilt immer (Umordnen der Faktoren). Für die Summe gilt es nicht: \((2+3)^2=25\), aber \(2^2+3^2=13\). Allgemein ist \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) — gleich \(a^2+b^2\) nur, wenn \(ab=0\). Potenzgesetze gelten für Produkte, nicht für Summen.
Beurteile die Aussage: „\(2^{-3}\) ist eine negative Zahl.“
Hinweis: Schreibe die Potenz als Bruch.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Das Minus im Exponenten bedeutet „Kehrwert“, nicht „negativ“: \(2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18=0{,}125\). Für eine positive Basis ist jede Potenz positiv. Negativ wäre z. B. \(-2^3=-8\).
Begründe, dass \(8^{\frac13}=\sqrt[3]{8}\) sein muss, wenn die Potenzgesetze weiter gelten sollen.
Hinweis: Multipliziere \(8^{\frac13}\) dreimal mit sich selbst.
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Musterlösung: Gilt das Produktgesetz, dann ist \(8^{\frac13}\cdot8^{\frac13}\cdot8^{\frac13}=8^{\frac13+\frac13+\frac13}=8^1=8\). Also ist \(8^{\frac13}\) eine Zahl, deren dritte Potenz 8 ergibt, und nicht negativ — genau das ist \(\sqrt[3]{8}=2\).
Erkläre, warum \(x^4=-16\) keine Lösung hat, \(x^3=-8\) aber genau eine.
Hinweis: Betrachte das Vorzeichen von geraden und ungeraden Potenzen.
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Musterlösung: Eine vierte Potenz ist ein Produkt aus vier gleichen Faktoren — bei negativer Basis sind es vier negative Faktoren, das Ergebnis ist positiv. Also ist \(x^4\ge0\) und kann nie \(-16\) sein. Bei \(x^3\) bleibt das Vorzeichen erhalten: \((-2)^3=-8\). Weil \(y=x^3\) streng steigt, gibt es genau diese eine Lösung.
Überprüfe die Rechnung \(2^3\cdot2^4=4^7\) und korrigiere sie.
Hinweis: Schreibe beide Seiten als Produkt aus.
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Musterlösung: Falsch: Beim Multiplizieren gleicher Basen bleibt die Basis stehen, nur die Exponenten werden addiert: \(2^3\cdot2^4=2^{7}=128\). Die Rechnung hat zusätzlich die Basen multipliziert; \(4^7=16\,384\) ist viel zu groß.
Vergleiche \(2^{30}\) und \(3^{20}\) ohne Taschenrechner.
Hinweis: Bringe beide Potenzen auf denselben Exponenten.
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Musterlösung: \(2^{30}=\left(2^3\right)^{10}=8^{10}\) und \(3^{20}=\left(3^2\right)^{10}=9^{10}\). Beide haben den Exponenten 10, und \(9>8\), also ist \(3^{20}>2^{30}\).
Untersuche, um welchen Faktor der Radius einer Kugel wächst, wenn ihr Volumen verdoppelt wird.
Hinweis: Nutze \(r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\) und das Wurzelgesetz.
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Musterlösung: Mit doppeltem Volumen gilt \(r_{\text{neu}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot2V}{4\pi}}=\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}=\sqrt[3]{2}\cdot r\). Der Radius wächst nur um den Faktor \(\sqrt[3]2\approx1{,}26\), also um etwa 26 %.
Zeige, dass \(\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}=\sqrt[6]{a^5}\) für \(a>0\) gilt.
Hinweis: Schreibe beide Wurzeln als Potenzen.
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Musterlösung: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}=a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}=a^{\frac12+\frac13}=a^{\frac56}=\sqrt[6]{a^5}\). Die Brüche werden auf den Hauptnenner 6 gebracht.
Beurteile die Aussage: „\(0{,}5\cdot10^8\) und \(50\cdot10^6\) sind beide wissenschaftliche Schreibweisen derselben Zahl.“
Hinweis: Welche Bedingung muss die Vorzahl erfüllen?
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Musterlösung: Beide Terme stellen dieselbe Zahl 50 000 000 dar, aber keiner ist wissenschaftliche Schreibweise: Die Vorzahl muss zwischen 1 (einschließlich) und 10 liegen. Richtig ist \(5\cdot10^7\). Erst diese Regel macht die Schreibweise eindeutig und Größenordnungen direkt vergleichbar.