MINT lernen

Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben vom Wassertank bis zur Sonne — erst übersetzen, dann rechnen.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
2

Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Würfelförmiger Tank
AFB II

Ein würfelförmiger Wassertank fasst genau 27 Liter (\(27\ \text{dm}^3\)).

a) Berechne die Kantenlänge. b) Berechne die Oberfläche des Tanks.

dm
dm²
Ansatz: Kantenlänge über \(a=\sqrt[3]{V}\), Oberfläche \(O=6a^2\).
Rechenweg: \(a=\sqrt[3]{27}=3\); \(O=6\cdot3^2=54\).
Lösung: a) 3 dm b) 54 dm²
Vollständige Lösung
Die Kante ist \(a=\sqrt[3]{27}\ \text{dm}=3\ \text{dm}\). Die Oberfläche besteht aus 6 Quadraten: \(O=6\cdot(3\ \text{dm})^2=54\ \text{dm}^2\).
A2
Bakterienkultur
AFB II

Eine Bakterienkultur mit 500 Bakterien verdoppelt sich jede Stunde.

a) Wie viele Bakterien sind es nach 6 Stunden? b) Nach wie vielen Stunden sind es 64 000 Bakterien?

h
Ansatz: Nach t Stunden: \(N=500\cdot2^t\).
Rechenweg: a) \(500\cdot2^6=500\cdot64\). b) \(64\,000:500=128=2^7\).
Lösung: a) 32 000 b) 7 h
Vollständige Lösung
a) \(N=500\cdot2^6=32\,000\). b) \(500\cdot2^t=64\,000\ \Rightarrow\ 2^t=128=2^7\), also nach 7 Stunden.
A3
Licht von der Sonne
AFB II

Licht legt \(3\cdot10^8\) m pro Sekunde zurück und braucht von der Sonne zur Erde rund 500 s.

Gib die Entfernung in wissenschaftlicher Schreibweise \(a\cdot10^n\) m an: a) Vorzahl a b) Exponent n.

Ansatz: Weg = Geschwindigkeit · Zeit; Vorzahlen und Zehnerpotenzen getrennt multiplizieren.
Rechenweg: \(3\cdot10^8\cdot5\cdot10^2=15\cdot10^{10}=1{,}5\cdot10^{11}\).
Lösung: a) 1,5 b) 11
Vollständige Lösung
\(s=3\cdot10^8\ \tfrac{\text m}{\text s}\cdot500\ \text s=15\cdot10^{10}\ \text m=1{,}5\cdot10^{11}\ \text m\). Hinweis: 15 ist keine Vorzahl zwischen 1 und 10.
A4
Kugel aus Volumen
AFB II

Eine Kugel hat das Volumen \(904{,}8\ \text{cm}^3\).

a) Berechne den Radius. b) Gib den Durchmesser an.

cm
cm
Ansatz: Formel nach r umstellen: \(r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\).
Rechenweg: \(\frac{3\cdot904{,}8}{4\pi}\approx216\); \(\sqrt[3]{216}=6\).
Lösung: a) 6 cm b) 12 cm
Vollständige Lösung
\(r=\sqrt[3]{\frac{3\cdot904{,}8}{4\pi}}\ \text{cm}\approx\sqrt[3]{216}\ \text{cm}=6\ \text{cm}\), also \(d=12\ \text{cm}\).
A5
Potenzgleichung
AFB II

Löse die Gleichung \(3x^4-5=238\).

a) Gib die positive Lösung an. b) Gib die negative Lösung an.

Ansatz: Erst \(x^4\) isolieren, dann die 4. Wurzel ziehen — gerades n.
Rechenweg: \(3x^4=243\ \Rightarrow\ x^4=81\ \Rightarrow\ x=\pm3\).
Lösung: a) 3 b) −3
Vollständige Lösung
\(3x^4-5=238\ \Rightarrow\ 3x^4=243\ \Rightarrow\ x^4=81\). Da 4 gerade ist, gilt \(x=3\) oder \(x=-3\).
A6
Rote Blutkörperchen
AFB II

Ein rotes Blutkörperchen hat einen Durchmesser von \(7{,}5\cdot10^{-6}\) m.

a) Wie viele Blutkörperchen passen nebeneinander auf 1 cm? (ganze Zahl) b) Gib den Durchmesser in Mikrometern (µm) an.

µm
Ansatz: 1 cm = \(10^{-2}\) m; 1 µm = \(10^{-6}\) m.
Rechenweg: \(10^{-2}:(7{,}5\cdot10^{-6})=\frac{1}{7{,}5}\cdot10^4\approx1333\).
Lösung: a) 1333 b) 7,5 µm
Vollständige Lösung
a) \(\frac{10^{-2}}{7{,}5\cdot10^{-6}}=\frac{10^4}{7{,}5}\approx1333{,}3\) — es passen 1333 ganz nebeneinander. b) \(7{,}5\cdot10^{-6}\ \text m=7{,}5\ \text{µm}\).
A7
Term mit Basis 2
AFB II

Vereinfache \(\dfrac{8^2\cdot2^{-3}}{4^2}\) ohne Taschenrechner zu \(2^k\).

a) Gib k an. b) Gib den Wert des Terms als Dezimalzahl an.

Ansatz: Alle Zahlen als Potenzen von 2 schreiben: \(8=2^3\), \(4=2^2\).
Rechenweg: \(\frac{2^6\cdot2^{-3}}{2^4}=2^{6-3-4}\).
Lösung: a) −1 b) 0,5
Vollständige Lösung
\(\frac{(2^3)^2\cdot2^{-3}}{(2^2)^2}=\frac{2^6\cdot2^{-3}}{2^4}=2^{-1}=0{,}5\).
A8
Kreisrunde Fläche
AFB II

Eine kreisrunde Rasenfläche soll genau \(50\ \text{m}^2\) groß werden.

a) Berechne den Radius. b) Berechne den Umfang. Runde jeweils auf zwei Nachkommastellen.

m
m
Ansatz: \(A=\pi r^2\) nach r umstellen, dann \(U=2\pi r\) mit dem ungerundeten r.
Rechenweg: \(r=\sqrt{50:\pi}\approx3{,}9894\); \(U\approx25{,}066\).
Lösung: a) 3,99 m b) 25,07 m
Vollständige Lösung
\(r=\sqrt{\frac{50}{\pi}}\ \text m\approx3{,}99\ \text m\) und \(U=2\pi r\approx25{,}07\ \text m\). Hinweis: Nur die positive Wurzel ist eine Länge.
A9
Papier falten
AFB II

Ein Blatt Papier ist 0,1 mm dick. Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke.

a) Wie dick ist das Papier nach 10-mal Falten (in mm)? b) Wie oft muss man mindestens falten, damit es dicker als 1 m wird?

mm
Ansatz: Nach n Faltungen: \(d=0{,}1\cdot2^n\) mm; 1 m = 1000 mm.
Rechenweg: \(0{,}1\cdot2^{10}=102{,}4\); \(2^n>10\,000\): \(2^{13}=8192\), \(2^{14}=16\,384\).
Lösung: a) 102,4 mm b) 14
Vollständige Lösung
a) \(0{,}1\cdot2^{10}\ \text{mm}=102{,}4\ \text{mm}\). b) \(0{,}1\cdot2^n>1000\ \Rightarrow\ 2^n>10\,000\). Da \(2^{13}=8192\) zu klein und \(2^{14}=16\,384\) groß genug ist, braucht man 14 Faltungen.
A10
Energiebedarf von Tieren
AFB II

Der tägliche Grundumsatz eines Säugetiers ist näherungsweise \(E=70\cdot m^{0{,}75}\) (E in kcal, m in kg).

a) Berechne E für ein Tier mit 16 kg. b) Berechne E für ein Tier mit 81 kg.

kcal
kcal
Ansatz: \(m^{0{,}75}=m^{\frac34}=\left(\sqrt[4]{m}\right)^3\).
Rechenweg: \(16^{0{,}75}=2^3=8\); \(81^{0{,}75}=3^3=27\).
Lösung: a) 560 kcal b) 1890 kcal
Vollständige Lösung
a) \(70\cdot16^{\frac34}=70\cdot8=560\) kcal. b) \(70\cdot81^{\frac34}=70\cdot27=1890\) kcal. Hinweis: Das 5-fach schwerere Tier braucht nur etwa 3,4-mal so viel Energie.