Potenzen: Mal und Geteilt

Gleiche Basis: Malnehmen

Bei gleicher Basis zählt man einfach alle Faktoren zusammen.

Beispiel:\(2^3\cdot2^4=(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)=2^7\).
Gleicher Exponent:\(2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3=10^3\) — die Basen werden multipliziert.

\(a^m\cdot a^n=\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{m}\cdot\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n}\)

ausschreiben

Beide Potenzen als Produkte schreiben.

\(=\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{m+n}\)

Faktoren zählen

Zusammen stehen \(m+n\) gleiche Faktoren da.

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

Ergebnis

Die Regel gilt auch für negative und rationale Exponenten: \(x^{\frac12}\cdot x^{\frac32}=x^2\).

Merke

Multiplizieren: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) und \(a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\)

Beim Teilen kürzt man gleiche Faktoren aus Zähler und Nenner.

Kürzen:\(\dfrac{2^6}{2^2}=\dfrac{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}{2\cdot2}=2^4\).
Mehr unten:\(\dfrac{a^2}{a^5}=\dfrac1{a^3}=a^{-3}\) — passt zu den negativen Exponenten.
Gleich viele:\(\dfrac{a^4}{a^4}=1=a^0\).
Gleicher Exponent:\(\dfrac{12^3}{4^3}=\left(\dfrac{12}{4}\right)^3=3^3\).

Kürze den Bruch Paar für Paar: Tippe einen Faktor oben an und dann einen unten — beide werden durchgestrichen. Zähle mit, was übrig bleibt.

Zähler: Exponent m

Nenner: Exponent n

Halte fest: Jedes gekürzte Paar senkt beide Exponenten um 1. Übrig bleibt \(a^{m-n}\) — steht mehr unten, ist der Exponent negativ.

Merke

Dividieren: \(a^m:a^n=a^{m-n}\) und \(a^n:b^n=(a:b)^n\) für \(a\ne0,\ b\ne0\)

\(2^3\cdot2^4=2^7\), nicht \(4^7\) — addiert werden nur die Exponenten.

\(2^3\cdot3^2=8\cdot9=72\) lässt sich nicht als eine Potenz schreiben.

\(2^3+2^4\) ist nicht \(2^7\). Potenzgesetze gelten nur für Mal und Geteilt: \(2^3+2^4=8+16=24\).