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Negative Exponenten

Wo etwas immer wieder halbiert oder auf ein Zehntel geteilt wird, zählen negative Exponenten mit.

1

Kopierer verkleinert

AFB I–II

Ein Kopierer verkleinert ein Bild bei jedem Kopiervorgang auf die Hälfte der Fläche. Das Original hat eine Fläche von 640 cm².

  1. Bestimme die Fläche nach 3 Kopiervorgängen und schreibe den Faktor als Potenz von 2.
  2. Ermittle, nach wie vielen Kopien die Fläche 2,5 cm² beträgt.
  3. Deute den Term 640 · 2⁻ⁿ für n = −2 im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Jede Kopie multipliziert die Fläche mit 1/2.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie oft passt der Faktor 2 in 640 : 2,5?
Hinweis zu Aufgabe c)
Was wäre das Gegenteil von „verkleinern“?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Faktor (1/2)³ = 2⁻³ = 1/8; Fläche 640 cm² · 2⁻³ = 80 cm².

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

640 : 2,5 = 256 = 2⁸, also 640 · 2⁻⁸ = 2,5. Nach 8 Kopien.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

640 · 2² = 2560 cm²: Das ist die Fläche einer Vorlage, aus der man das Original durch zweimaliges Halbieren erhalten hätte, bzw. einer zweimal vergrößerten Kopie.

2

Radioaktiver Stoff im Labor

AFB II–III

Von einem radioaktiven Stoff zerfällt in jeweils 8 Tagen die Hälfte (Iod-131). Eine Probe enthält heute 12 mg. Die Menge nach t Tagen ist m(t) = 12 · 2^(−t/8) mg. Ein Mitschüler sagt: „Nach 16 Tagen ist nichts mehr übrig, denn zweimal die Hälfte ist das Ganze.“

  1. Berechne die Menge nach 16 und nach 40 Tagen.
  2. Widerlege die Aussage des Mitschülers.
  3. Interpretiere den Wert m(−8) = 24 mg.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze t ein und bestimme den Exponenten −t/8.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne zwei Halbierungen hintereinander aus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welcher Zeitpunkt gehört zu t = −8?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

m(16) = 12 · 2⁻² = 3 mg; m(40) = 12 · 2⁻⁵ = 0,375 mg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nach 8 Tagen bleiben 6 mg, nach weiteren 8 Tagen die Hälfte davon: 3 mg. Halbieren halbiert immer den Rest, nicht die Ausgangsmenge — 1/2 · 1/2 = 1/4 bleibt übrig, nicht 0.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

t = −8 bedeutet 8 Tage vor heute. Damals war doppelt so viel Stoff vorhanden: 12 · 2¹ = 24 mg.