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Negative Exponenten

Was bedeutet \(2^{-3}\) — wie kann man eine Zahl „minus dreimal“ mit sich malnehmen?

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Das Muster fortsetzen

Senkt man den Exponenten um 1, teilt man durch die Basis. Das Muster geht auch unter 1 weiter.

  • Nach unten:\(2^3=8,\ 2^2=4,\ 2^1=2\) — jeder Schritt \(:2\).
  • Exponent 0:\(2^0=2:2=1\).
  • Negativ:\(2^{-1}=\tfrac12,\ 2^{-2}=\tfrac14,\ 2^{-3}=\tfrac18\).
  • Ergebnis:immer positiv — der Wert wird nur kleiner als 1.

Ziehe den Punkt auf der Exponenten-Leiste nach links und rechts (oder nutze die Pfeiltasten). Beobachte, was aus dem Potenzwert wird, wenn der Exponent null oder negativ wird.

Exponenten-Leiste

Halte fest: Ein Schritt nach links teilt durch die Basis. Bei \(n=0\) steht immer 1, bei negativem \(n\) der Kehrwert.

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Null und negative Exponenten

Damit das Muster stimmt, legt man Exponent 0 und negative Exponenten so fest:

Herleitung:

\(a^0=a^1:a=1\)
\(:a\)
Von \(a^1=a\) aus einen Schritt nach unten.
\(a^{-1}=a^0:a=\dfrac1a\)
\(:a\)
Noch ein Schritt: der Kehrwert von \(a\).
\(a^{-2}=\dfrac1a:a=\dfrac1{a^2}\)
\(:a\)
Jeder weitere Schritt schreibt ein \(a\) mehr in den Nenner.
\(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\)
Ergebnis
Nach \(n\) Schritten stehen \(n\) Faktoren \(a\) im Nenner.
  • Brüche:\(\left(\tfrac23\right)^{-2}=\left(\tfrac32\right)^2=\tfrac94\) — Bruch umdrehen.
  • Zurück:\(\tfrac1{5^3}=5^{-3}\) — ein Nenner wird zum negativen Exponenten.
  • Ausnahme:für \(a=0\) nicht erklärt, da man nicht durch 0 teilen darf.
Merke

Null und negative Exponenten: \(a^0=1\) und \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) für \(a\ne0\)

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Allgemeine Hinweise

\(2^{-3}\) ist nicht \(-8\)

Der negative Exponent macht den Wert nicht negativ, sondern zum Kehrwert: \(2^{-3}=\tfrac18=0{,}125\).

\(a^0\) ist 1, nicht 0

\(7^0=1\) — null Faktoren lassen das neutrale Element der Multiplikation übrig.

Minus im Exponenten = Bruchstrich

\(x^{-2}=\tfrac1{x^2}\) und \(\tfrac{3}{x^4}=3x^{-4}\) — so wandern Faktoren zwischen Zähler und Nenner.

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