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Quadrat- und n-te Wurzel

Würfel, Kisten und Zinsen: Überall, wo eine Größe mehrfach mit sich selbst multipliziert wird, hilft die n-te Wurzel beim Rückwärtsrechnen.

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Der Umzugskarton

AFB I–II

Ein würfelförmiger Umzugskarton soll ein Volumen von 64 Litern haben (1 L = 1 dm³).

  1. Berechne die Kantenlänge des Kartons in cm.
  2. Bestimme die Pappfläche für die sechs Seiten in m².
  3. Begründe, warum ein Karton mit 128 Litern nicht die Kante 80 cm hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Das Volumen eines Würfels ist a³.
Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Würfel hat sechs gleiche Quadrate.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne das Volumen bei 80 cm.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

a = ∛64 dm = 4 dm = 40 cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

O = 6 · (0,4 m)² = 6 · 0,16 m² = 0,96 m².

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

80 cm = 8 dm, 8³ = 512 dm³ — das Achtfache von 64 L. Für 128 L ist a = ∛128 ≈ 5,04 dm ≈ 50 cm.

2

Zinsen über mehrere Jahre

AFB II–III

Frau Peters legt 5000 € an. Nach 3 Jahren sind durch Zinseszins 5788,13 € auf dem Konto. Der Endbetrag ist K = 5000 · q³, wobei q der jährliche Wachstumsfaktor ist. Ihre Tochter meint: „Das sind 788,13 € in 3 Jahren, also 5,25 % pro Jahr.“

  1. Leite eine Formel für q her.
  2. Ermittle den Zinssatz pro Jahr.
  3. Bewerte die Rechnung der Tochter.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stelle K = 5000 · q³ nach q um.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze K ein und ziehe die Kubikwurzel mit dem Rechner (GTR: SHIFT ^).
Hinweis zu Aufgabe c)
Beziehen sich die Zinsen im dritten Jahr auf 5000 €?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

q³ = K : 5000, also q = ∛(K : 5000).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

q = ∛(5788,13 : 5000) = ∛1,157626 ≈ 1,05 — also 5 % pro Jahr.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Tochter teilt den Gesamtzuwachs gleichmäßig auf (788,13 : 5000 : 3 ≈ 5,25 %). Das vernachlässigt den Zinseszins: Die Zinsen werden jedes Jahr mitverzinst. Richtig ist 5 % — der Wachstumsfaktor pro Jahr ist die 3. Wurzel des Gesamtfaktors.