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Mit Wurzeln rechnen

Wurzeln zusammenfassen, zerlegen und als Potenz schreiben: zehn Übungen zu den Wurzelgesetzen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Welche Umformungen stimmen?
AFB I

Welche Gleichungen sind richtig?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
√2 · ∛2 = 2^(1/2 + 1/3) = 2^(5/6) = ⁶√32 — bei verschiedenen Wurzelexponenten muss man über Potenzen gehen. Und ∛2 · ∛3 = ∛6: Beim Multiplizieren werden die Radikanden multipliziert, nicht addiert.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über die Wurzelgesetze.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Ein Faktor vor der n-ten Wurzel wandert als n-te Potenz unter die Wurzel.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Wurzeln mit gleichem darf man beim Multiplizieren zusammenfassen. Beim teilweisen Wurzelziehen sucht man im Radikanden eine n-te . Haben zwei Wurzeln verschiedene Wurzelexponenten, schreibt man sie als mit rationalem Exponenten. Für eine unter der Wurzel gibt es kein Gesetz. Ein Faktor vor der Wurzel wird beim Hineinziehen .

„halbiert“ passt nirgends: Wurzelziehen ist kein Teilen, und beim Hineinziehen wird potenziert.
A4
Welche Vereinfachung?
AFB I

Sortiere die Wurzeln nach ihrer vereinfachten Form.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
12∛2
22∛3
33∛3
∛81 = ∛(27 · 3) = 3∛3. Bei ∛2 · ∛4 · ∛2 = ∛16 = ∛(8 · 2) = 2∛2.
A5
Blitzrechnung
AFB I

Vereinfache ⁴√48 zu k · ⁴√3. Gib k an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
48 = 16 · 3 und 16 = 2⁴, also ⁴√48 = ⁴√16 · ⁴√3 = 2 · ⁴√3. Bei der 4. Wurzel sucht man vierte Potenzen: 16, 81, 256.
A6
Teilweise Wurzelziehen
AFB II

Bringe die Schritte zur Vereinfachung von ∛432 in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Primfaktoren: 432 = 2⁴ · 3³
2Dreiergruppen bilden: 2³ · 3³ · 2
3Als Kubikzahl zusammenfassen: 216 · 2
4Wurzelgesetz: ∛216 · ∛2
5Ergebnis: 6 · ∛2
Wer nicht die größte Kubikzahl nimmt (z. B. 8 · 54), muss hinterher noch einmal vereinfachen: 2∛54 = 2 · 3∛2.
A7
Rechenkette: Verschiedene Wurzeln
AFB II

Berechne schrittweise √8 · ∛4 als Potenz von 2.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. √8 = 2ⁿ, gib n als Dezimalzahl an
  2. ∛4 = 2ⁿ, gib n auf 2 Nachkommastellen an
  3. √8 · ∛4 = 2ⁿ: Zähler von n = z/6
  4. Wert auf 2 Nachkommastellen
3/2 + 2/3 = 9/6 + 4/6 = 13/6. Also √8 · ∛4 = 2^(13/6) = 4 · ⁶√2 ≈ 4,49.
A8
Wurzelterm und Potenz
AFB II

Ordne jedem Term seine Potenzschreibweise zu (x > 0).

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
∛x : √x = x^(1/3 − 1/2) = x^(−1/6). Auch mit Wurzeln gilt: gleiche Basis, Exponenten addieren oder subtrahieren.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Rechnungen aus einem Heft — drei davon sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 zeigt den typischen Denkfehler: 4 ist zwar eine Quadratzahl, aber für die Kubikwurzel braucht man Kubikzahlen wie 8.
A10
Was passiert mit der Kubikwurzel?
AFB III

Der Radikand in ∛a wird verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird halb so groß, 2 = bleibt gleich, 3 = wird doppelt so groß, 4 = wird dreimal so groß, 5 = wird viermal so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird halb so groß5 = wird viermal so groß
Radikand × 8
Radikand × 27
Radikand × 64
Radikand : 8
Radikand × 2, dann × 4
∛(8a) = 2∛a, ∛(27a) = 3∛a, ∛(64a) = 4∛a. Zweimal hintereinander × 2 und × 4 ist zusammen × 8.