Kisten stapeln
AFB I–IIEin Hersteller baut würfelförmige Kisten. Die kleine Kiste hat 2 Liter Volumen, die große 16 Liter (1 L = 1 dm³).
- Zerlege ∛16 so, dass du die Kantenlänge der großen Kiste als Vielfaches von ∛2 dm angeben kannst.
- Bestimme, um welchen Faktor die Kante der großen Kiste länger ist.
- Erkläre mit dem Wurzelgesetz, warum das 8-fache Volumen genau die doppelte Kante ergibt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
∛16 = ∛(8 · 2) = 2 · ∛2 dm.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
2∛2 : ∛2 = 2. Die Kante ist doppelt so lang (∛2 ≈ 1,26 dm, 2∛2 ≈ 2,52 dm).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
∛(8V) = ∛8 · ∛V = 2 · ∛V. Weil 8 = 2³ eine Kubikzahl ist, wird die Kante genau verdoppelt.
Die Formel für Papierformate
AFB II–IIIBei DIN-Papier entsteht das nächstkleinere Format durch Halbieren der langen Seite. Das Seitenverhältnis bleibt immer lang : kurz = √2 : 1. Ein A0-Bogen hat 1 m² Fläche. Anna behauptet: „A4 ist ein Viertel von A0, denn 4 ist ein Viertel.“
- Weise nach, dass für A0 gilt: kurze Seite = ⁴√(1/2) m und lange Seite = ⁴√2 m.
- Ermittle die Fläche und die lange Seite von A4.
- Bewerte Annas Aussage.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
√2 · k² = 1 ⇒ k² = 1/√2 = 2^(−1/2) ⇒ k = 2^(−1/4) = ⁴√(1/2) ≈ 0,841 m; lang = √2 · 2^(−1/4) = 2^(1/4) = ⁴√2 ≈ 1,189 m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Fläche: 1 m² · 2⁻⁴ = 1/16 m². Die Seiten schrumpfen je Halbierung um den Faktor 1/√2: lange Seite 2^(1/4) · 2^(−2) = 2^(−7/4) m ≈ 0,297 m = 29,7 cm.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Falsch: Von A0 bis A4 wird viermal halbiert, die Fläche ist also 1/16 und nicht 1/4 von A0. Ein Viertel von A0 ist A2.