Wurzelgesetze für n-te Wurzeln
Was in Klasse 9 für Quadratwurzeln galt, gilt für jede n-te Wurzel — weil Wurzeln Potenzen sind.
- Multiplizieren:\(\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2\).
- Dividieren:\(\sqrt[4]{48}:\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{16}=2\).
- Summen:kein Gesetz — \(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{8}=4\), aber \(\sqrt[3]{16}\approx2{,}52\).
Herleitung:
Wurzelgesetze: \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\) und \(\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}\) für \(a\ge0,\ b>0\)
Teilweise Wurzelziehen und Mischformen
Steckt im Radikanden eine n-te Potenz, zieht man sie als Faktor vor die Wurzel.
- Kubikwurzel:\(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\).
- Verschiedene Wurzeln:\(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}=x^{\frac12+\frac13}=x^{\frac56}=\sqrt[6]{x^5}\).
- Wurzel aus Wurzel:\(\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\left(a^{\frac13}\right)^{\frac12}=a^{\frac16}=\sqrt[6]{a}\).
Der Radikand ist in Primfaktoren zerlegt. Markiere n gleiche Faktoren und lege sie mit „Herausziehen“ vor die Wurzel um — bis keine Gruppe mehr passt.
Halte fest: Aus n gleichen Faktoren unter der n-ten Wurzel wird ein einziger Faktor davor — der Rest bleibt unter der Wurzel.
Allgemeine Hinweise
Nur gleiche Wurzelexponenten zusammenfassen
\(\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}\) ist nicht \(\sqrt[5]{4}\). Erst in Potenzen umschreiben: \(2^{\frac12+\frac13}=2^{\frac56}\).
Vollständig herausziehen
\(\sqrt[3]{432}=2\sqrt[3]{54}\) ist noch nicht fertig: \(2\cdot3\sqrt[3]{2}=6\sqrt[3]{2}\).
Kubikzahlen suchen
Bei der Kubikwurzel nach 8, 27, 64, 125 im Radikanden suchen: \(\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot2}=5\sqrt[3]{2}\).