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Gleichungen xⁿ = a

Eine, zwei oder gar keine Lösung? Zehn Übungen zu Gleichungen der Form xⁿ = a.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Welche Lösungsmengen stimmen?
AFB I

Welche Angaben sind richtig?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Bei ungeradem Exponenten gibt es immer genau eine Lösung — auch bei negativem a. (−2)³ = −8, nicht 8, deshalb ist −2 keine Lösung von x³ = 8.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Potenzgleichungen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Erst die Potenz allein auf eine Seite bringen, dann die Wurzel ziehen.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei xⁿ = a mit Exponenten und a > 0 gibt es zwei Lösungen, die sich nur im unterscheiden. Ist a negativ und n gerade, ist die Lösungsmenge . Bei Exponenten gibt es immer genau eine Lösung. Eine durch Einsetzen zeigt, ob das Vorzeichen stimmt.

„doppelt“ bleibt übrig: Zwei Lösungen ±ⁿ√a sind verschiedene Zahlen, keine doppelte Lösung.
A4
Wie viele Lösungen?
AFB I

Sortiere die Gleichungen nach der Anzahl ihrer Lösungen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1keine
2eine
3zwei
(x − 1)² = 4 hat zwei Lösungen: x − 1 = 2 oder x − 1 = −2, also x = 3 oder x = −1. Bei 3x⁴ + 12 = 0 steht nach dem Umformen x⁴ = −4 — keine Lösung.
A5
Blitzrechnung
AFB I

Löse 3x⁵ − 7 = 89. Gib x an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
3x⁵ = 96, x⁵ = 32, x = ⁵√32 = 2. Probe: 3 · 32 − 7 = 89 ✓. Ungerader Exponent — nur eine Lösung.
A6
Lösungsschritte ordnen
AFB II

Bringe die Schritte zur Lösung von 2(x⁴ + 3) = 38 in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Durch 2 teilen: x⁴ + 3 = 19
23 abziehen: x⁴ = 16
3Exponent prüfen: 4 ist gerade, 16 positiv
4Vierte Wurzel ziehen: x = ⁴√16 = 2 oder x = −2
5Lösungsmenge: L = {−2; 2}
Wer vor dem Wurzelziehen nicht auf den geraden Exponenten achtet, vergisst die negative Lösung.
A7
Rechenkette: Kugelförmiger Ballon
AFB II

Ein Wetterballon soll das Volumen V = 4/3 · π · r³ = 33,5 m³ haben.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. r³ = 3V/(4π) in m³ (ganze Zahl) m³
  2. Radius r in m m
  3. Wie groß wird der Radius beim 8-fachen Volumen? m
  4. Welches Volumen in m³ hätte ein Ballon mit r = 3 m? (1 Nachkommastelle) m³
Die Gleichung r³ = c hat genau eine Lösung — und die ist hier auch sinnvoll. Achtfaches Volumen heißt doppelter Radius.
A8
Gleichung und Lösungsmenge
AFB II

Ordne jeder Gleichung ihre Lösungsmenge zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zu 2 und −2 passen vier Gleichungen — erst das Vorzeichen von a und die Parität des Exponenten entscheiden.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Lösungen aus einem Heft — drei davon sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Punktverlust ist Zeile 2: die vergessene negative Lösung bei geradem Exponenten.
A10
Was passiert mit der positiven Lösung?
AFB III

In der Gleichung x⁴ = 16 (Lösung x = 2) wird etwas verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird halb so groß, 2 = bleibt gleich, 3 = wird doppelt so groß, 4 = wird dreimal so groß, 5 = es gibt keine positive Lösung mehr. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird halb so groß5 = es gibt keine positive Lösung mehr
rechte Seite 256 statt 16
rechte Seite 1 statt 16
rechte Seite 1296 statt 16
rechte Seite −16 statt 16
beide Seiten mit 5 multipliziert
Faktor k auf der rechten Seite ändert die Lösung um ⁴√k: ⁴√16 = 2, ⁴√81 = 3. Beide Seiten gleich zu multiplizieren ändert die Lösung gar nicht.