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Gleichungen xⁿ = a

Vom Würfel bis zum Zinssatz: Wer die Potenz isoliert, kommt mit der Wurzel zur Lösung.

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Der Goldwürfel

AFB I–II

Ein Goldbarren wird zu einem Würfel umgegossen. Gold hat eine Dichte von 19,3 g/cm³, der Barren wiegt 1 kg.

  1. Berechne das Volumen des Barrens in cm³ (zwei Nachkommastellen).
  2. Löse die Gleichung a³ = V und gib die Kantenlänge an.
  3. Erkläre, warum die Gleichung a³ = V nur eine Lösung hat, a² = A aber zwei.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Volumen = Masse : Dichte.
Hinweis zu Aufgabe b)
GTR: SHIFT ^ mit Wurzelexponent 3.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an das Vorzeichen von (−a)³ und (−a)².

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

V = 1000 g : 19,3 g/cm³ ≈ 51,81 cm³.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

a = ∛51,81 cm ≈ 3,73 cm. Nur eine Lösung, da der Exponent ungerade ist.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

(−a)³ = −a³ ist negativ, kann also kein positives V ergeben — ungerade Potenzen behalten das Vorzeichen. (−a)² = a² dagegen ist positiv, darum hat a² = A die zweite (hier sinnlose) Lösung −√A.

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Freier Fall und Pendel

AFB II–III

Für den freien Fall gilt s = 5t² (s in m, t in s). Die Schwingungsdauer T eines Fadenpendels mit Länge l ist näherungsweise T² = 4l (T in s, l in m). Emma lässt einen Stein in einen 45 m tiefen Brunnen fallen und hört nach knapp 3,1 s den Aufprall. Sie sagt: „Die Gleichung 5t² = 45 hat die Lösungen 3 und −3, also kann ich −3 auch als Zeit nehmen.“

  1. Stelle die Gleichung für die Fallzeit auf und löse sie.
  2. Beurteile Emmas Aussage.
  3. Entwickle eine Methode, mit einem Pendel und der Formel T² = 4l die Länge einer Pendelschnur zu bestimmen, und gib die Länge für T = 2,4 s an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze s = 45 ein und teile durch 5.
Hinweis zu Aufgabe b)
Was bedeutet eine negative Zeit im Sachzusammenhang?
Hinweis zu Aufgabe c)
Stelle T² = 4l nach l um.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

5t² = 45 ⇒ t² = 9 ⇒ t = 3 oder t = −3. Sinnvoll ist t = 3 s.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mathematisch hat t² = 9 zwei Lösungen, im Sachkontext zählt nur t = 3 s, weil die Zeit ab dem Loslassen gemessen wird. t = −3 würde 3 s vor dem Loslassen bedeuten. Die restlichen 0,1 s braucht der Schall nach oben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Man misst z. B. die Dauer von 10 Schwingungen und teilt durch 10 (genauer als eine Einzelmessung). Dann l = T² : 4. Für T = 2,4 s: l = 5,76 : 4 = 1,44 m.