Lösen durch Wurzelziehen
Steht die Potenz allein auf einer Seite, löst man mit der n-ten Wurzel. Wie viele Lösungen es gibt, hängt von n und vom Vorzeichen von a ab.
- n ungerade, a ≥ 0:\(x^3=125\ \Rightarrow\ x=\sqrt[3]{125}=5\).
- n ungerade, a < 0:\(x^5=-32\ \Rightarrow\ x=-\sqrt[5]{32}=-2\).
- n gerade, a > 0:\(x^4=81\ \Rightarrow\ x=3\) oder \(x=-3\).
- n gerade, a < 0:\(x^6=-64\) hat keine Lösung, denn gerade Potenzen sind nie negativ.
- a = 0:\(x^n=0\ \Rightarrow\ x=0\).
Gleichung \(x^n=a\), \(a>0\): n ungerade: \(x=\sqrt[n]{a}\) · n gerade: \(x_1=\sqrt[n]{a},\ x_2=-\sqrt[n]{a}\)
Lies die Gleichung und tippe zuerst, wie viele Lösungen sie hat. Erst danach zeichnet „Prüfen“ die Kurve \(y=x^n\) und die Gerade \(y=a\) — jeder Schnittpunkt ist eine Lösung.
Halte fest: Die Gerade \(y=a\) schneidet eine Kurve mit geradem n zweimal, einmal (bei \(a=0\)) oder gar nicht — eine Kurve mit ungeradem n immer genau einmal.
Erst umformen, dann Wurzel ziehen
Steht die Potenz nicht allein, bringt man sie zuerst auf eine Seite.
- Isolieren:\(2x^3+5=59\ \Rightarrow\ 2x^3=54\ \Rightarrow\ x^3=27\ \Rightarrow\ x=3\).
- Gerade Potenz:\(3x^4=48\ \Rightarrow\ x^4=16\ \Rightarrow\ x=2\) oder \(x=-2\).
- Näherung:\(x^3=20\ \Rightarrow\ x=\sqrt[3]{20}\approx2{,}71\).
- CAS:TI-Nspire CX CAS: menu → 3 Algebra → 1 Löse, dann solve(x^4=81,x) → x=−3 or x=3.
- GTR:Casio fx-CG50: Menü Gleichung, F2 (Polynom), Grad 4, Koeffizienten 1, 0, 0, 0, −81, SOLVE.
Allgemeine Hinweise
Die negative Lösung vergessen
\(x^4=16\) hat auch \(x=-2\), denn \((-2)^4=16\). Bei geradem n immer an \(\pm\) denken.
„Keine Lösung“ ist eine Antwort
\(x^2=-9\) hat keine reelle Lösung: \(\mathbb{L}=\{\ \}\). Nicht \(x=-3\) schreiben.
Probe durch Einsetzen
\((-2)^5=-32\ \checkmark\) — ein kurzer Test zeigt sofort, ob das Vorzeichen stimmt.