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Formeln umstellen

Physik, Technik, Sport: Wer die Formel umstellen kann, rechnet aus dem Gemessenen das Gesuchte aus.

1

Der Heißluftballon

AFB I–II

Die Hülle eines Heißluftballons ist näherungsweise eine Kugel. Für eine Fahrt mit vier Personen braucht man ein Volumen von etwa 2500 m³.

  1. Leite aus V = ⁴⁄₃πr³ eine Formel für den Radius r her.
  2. Berechne den Radius und den Durchmesser der Hülle.
  3. Erkläre, warum für doppelt so viele Personen (5000 m³) der Durchmesser nur um etwa 26 % wächst.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Mit 3 multiplizieren, durch 4π teilen, dann die Kubikwurzel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze V = 2500 m³ ein; GTR: SHIFT ^ mit Wurzelexponent 3.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche r bei V und 2V.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

3V = 4πr³ ⇒ r³ = 3V/(4π) ⇒ r = ∛(3V/(4π)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

r = ∛(7500/(4π)) = ∛596,8 ≈ 8,42 m; d ≈ 16,8 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

r(2V) = ∛2 · r(V) ≈ 1,26 · r(V). Das Volumen wächst mit r³, deshalb reicht ein um ∛2 größerer Radius für das doppelte Volumen.

2

Tempo und Bremsweg

AFB II–III

Für den Bremsweg eines Autos auf trockener Straße gilt näherungsweise s = v²/(2a) mit a = 8 m/s² (s in m, v in m/s). Nach einem Unfall misst die Polizei eine Bremsspur von 32 m. Der Fahrer sagt: „Ich bin höchstens 50 km/h gefahren.“ (1 m/s = 3,6 km/h)

  1. Stelle die Formel nach v um.
  2. Ermittle die Geschwindigkeit zu Beginn der Bremsung in km/h.
  3. Beurteile die Aussage des Fahrers und nenne eine Unsicherheit des Modells.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Mit 2a multiplizieren, dann Wurzel ziehen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze a = 8 und s = 32 ein.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche mit 50 km/h und überlege, was a beeinflusst.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

s = v²/(2a) ⇒ v² = 2as ⇒ v = √(2as).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

v = √(2 · 8 · 32) = √512 ≈ 22,6 m/s ≈ 81 km/h.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist nicht glaubwürdig: rund 81 km/h, deutlich mehr als 50 km/h. Bei 50 km/h (≈ 13,9 m/s) wäre der Bremsweg nur 13,9²/16 ≈ 12 m. Unsicher ist a: Auf nasser Straße ist a kleiner — dann wäre v sogar noch kleiner als berechnet, was für den Fahrer spräche. Bei trockener Straße bleibt die Geschwindigkeit weit über 50 km/h.