Die Größe mit Exponent freistellen
Man bringt die Potenz allein auf eine Seite und zieht dann die passende Wurzel.
- Würfel:\(V=a^3\ \Rightarrow\ a=\sqrt[3]{V}\).
- Kreis:\(A=\pi r^2\ \Rightarrow\ r=\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}\) — nur die positive Lösung, \(r\) ist eine Länge.
- Reihenfolge:erst Faktoren und Summanden wegschaffen, die Wurzel kommt zuletzt.
Herleitung:
Nach der Potenz auflösen: \(x^n=c\ \Rightarrow\ x=\sqrt[n]{c}=c^{\frac1n}\) für \(x>0,\ c>0\)
Messen und ausrechnen
Mit der umgestellten Formel wird aus einem Messwert eine Größe, die man nicht direkt messen kann.
- Fallzeit:\(s=\tfrac12gt^2\ \Rightarrow\ t=\sqrt{\tfrac{2s}{g}}\).
- Negativer Exponent:\(F=k\cdot r^{-2}\ \Rightarrow\ r^2=\tfrac kF\ \Rightarrow\ r=\sqrt{\tfrac kF}\).
- CAS:TI-Nspire CX CAS: solve(113.1=4/3·π·r^3,r) → \(r\approx3\).
- GTR:Casio fx-CG50: OPTN → F4 (CALC) → F5 (SolveN), SolveN(113.1=4÷3×π×X^3) EXE → \(X\approx3\).
Wähle eine Kugel und tauche sie ein. Ziehe dann die Ablesemarke genau auf den neuen Wasserstand (Pfeiltasten: 1 ml, mit Shift feiner). Aus dem verdrängten Volumen berechnet die umgestellte Formel den Radius.
Halte fest: Gemessen wird das Volumen, gesucht ist der Radius — erst die Formel nach \(r\) umstellen, dann den Messwert einsetzen.
Allgemeine Hinweise
Wurzel zuletzt ziehen
\(r=\sqrt[3]{3V}:(4\pi)\) ist falsch. Die Wurzel gilt für den ganzen Bruch \(\tfrac{3V}{4\pi}\).
Einheiten beachten
\(1\ \text{ml}=1\ \text{cm}^3\). Aus \(\text{cm}^3\) unter der Kubikwurzel wird \(\text{cm}\).
Probe mit dem Ergebnis
\(r=3\ \text{cm}\): \(\tfrac43\pi\cdot3^3\approx113{,}1\ \text{cm}^3\ \checkmark\) — einsetzen zeigt Umstellfehler sofort.