Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen beurteilen, Fehler finden, Modelle kritisch prüfen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründen Sie, dass die Gleichung \(\sin(x)=1{,}2\) keine Lösung hat — am Einheitskreis und am Graphen.
Hinweis: Denken Sie an den Radius des Einheitskreises.
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Musterlösung: \(\sin(x)\) ist die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis mit Radius \(1\); sie liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\). Die Höhe \(1{,}2\) wird nie erreicht. Am Graphen: Die Gerade \(y=1{,}2\) verläuft oberhalb aller Hochpunkte und schneidet die Sinuskurve nicht.
Lea löst \(\sin(x)=0{,}5\) in \([0;\,2\pi)\) so: „\(x=\sin^{-1}(0{,}5)=\tfrac{\pi}{6}\). Fertig.“ Beurteilen Sie Leas Lösung.
Hinweis: Zeichnen Sie die Höhe \(0{,}5\) in den Einheitskreis.
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Musterlösung: Leas Wert \(\tfrac{\pi}{6}\) ist richtig, aber unvollständig. Die Waagerechte auf Höhe \(0{,}5\) schneidet den Einheitskreis in zwei Punkten. Der zweite liegt spiegelbildlich zur \(y\)-Achse bei \(x_2=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}\). Lösungsmenge: \(\{\tfrac{\pi}{6};\,\tfrac{5\pi}{6}\}\).
Tim behauptet: „\(f(x)=\sin(2x)\) hat die Periode \(4\pi\), weil der Faktor \(2\) die Welle doppelt so lang macht.“ Nehmen Sie Stellung.
Hinweis: Berechnen Sie, wann \(2x\) den Wert \(2\pi\) erreicht.
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Musterlösung: Tim irrt. Das Argument \(2x\) erreicht \(2\pi\) schon bei \(x=\pi\); die Periode ist \(p=\tfrac{2\pi}{2}=\pi\). Der Faktor \(b=2\) staucht den Graphen in \(x\)-Richtung: Die Welle läuft doppelt so schnell und ist nur halb so lang.
Begründen Sie am Einheitskreis, dass \(\cos(x)=\sin\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)\) gilt.
Hinweis: Drehen Sie den Punkt \(P\) um \(90^\circ\) weiter.
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Musterlösung: Der Punkt zum Winkel \(x\) ist \(P(\cos x\,|\,\sin x)\). Dreht man ihn um \(\tfrac{\pi}{2}\) weiter, entsteht \(P'(-\sin x\,|\,\cos x)\). Die \(y\)-Koordinate von \(P'\) ist einerseits \(\sin(x+\tfrac{\pi}{2})\), andererseits \(\cos x\). Also \(\sin(x+\tfrac{\pi}{2})=\cos x\).
Entwickeln Sie eine Funktionsgleichung einer Sinus- oder Kosinusfunktion mit Amplitude \(2\), Periode \(\pi\) und Hochpunkt \(H(0\,|\,5)\).
Hinweis: Welche der beiden Funktionen beginnt oben?
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Musterlösung: Amplitude \(a=2\), \(b=\tfrac{2\pi}{\pi}=2\), Mittellinie \(d=5-2=3\). Der Kosinus hat bei \(x=0\) einen Hochpunkt: \(f(x)=2\cos(2x)+3\). Gleichwertig mit Sinus: \(f(x)=2\sin\big(2(x+\tfrac{\pi}{4})\big)+3\).
Aus Monatsmittelwerten eines Jahres wurde \(T(t)=9\sin\big(\tfrac{\pi}{6}(t-4)\big)+10\) (\(t\) in Monaten, \(T\) in °C) aufgestellt. Ein Schüler sagt damit die Temperatur für Juli in zehn Jahren voraus. Beurteilen Sie das Vorgehen.
Hinweis: Was hat das Modell gesehen — und was nicht?
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Musterlösung: Das Modell beschreibt den Jahresrhythmus aus einem einzigen Jahr. Es setzt voraus, dass jedes Jahr gleich verläuft. Tatsächlich schwanken die Monatsmittel von Jahr zu Jahr um mehrere Grad, und ein langfristiger Trend (Erwärmung) ist nicht enthalten. Als grobe Erwartung für einen Julimonat taugt der Wert, als genaue Vorhersage nicht.
Untersuchen Sie, wie viele Lösungen \(\sin(bx)=0{,}5\) im Intervall \([0;\,2\pi)\) für \(b\in\{1;\,2;\,3;\,\dots\}\) hat, und begründen Sie Ihre Vermutung.
Hinweis: Wie viele Perioden passen in das Intervall?
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Musterlösung: Die Periode ist \(\tfrac{2\pi}{b}\); in \([0;\,2\pi)\) passen genau \(b\) Perioden. Da \(0<0{,}5<1\), schneidet die Gerade \(y=0{,}5\) in jeder Periode den Graphen zweimal. Also gibt es \(2b\) Lösungen — z. B. \(2\) für \(b=1\), \(6\) für \(b=3\).
Für einen Pegel wird \(f(t)=-1{,}5\sin\big(0{,}5(t-8{,}3)\big)+2\) angegeben. Mia sagt: „Das ist falsch, eine Amplitude kann nicht negativ sein.“ Nehmen Sie Stellung.
Hinweis: Was bewirkt das Minus vor dem Sinus?
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Musterlösung: Mia verwechselt Parameter und Amplitude. Die Amplitude ist \(|a|=1{,}5\) und damit positiv. Das Minus spiegelt den Graphen an der Mittellinie — der Sinus fällt nach \(t=8{,}3\) statt zu steigen. Dieselbe Kurve erhält man auch mit \(a=1{,}5\) und \(c\) um eine halbe Periode (\(2\pi\)) verschoben. Die Gleichung ist also zulässig.
Der Wasserstand in einem Hafen wird durch \(f(t)=1{,}5\sin\big(0{,}51(t-2{,}1)\big)+2{,}1\) beschrieben (\(t\) in h, \(f\) in m). Deuten Sie alle vier Parameter im Sachzusammenhang.
Hinweis: Übersetzen Sie jeden Parameter in eine Aussage über Wasser und Zeit.
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Musterlösung: \(d=2{,}1\): Der mittlere Wasserstand beträgt \(2{,}1\,\text{m}\). \(a=1{,}5\): Das Wasser steigt bis \(3{,}6\,\text{m}\) und fällt bis \(0{,}6\,\text{m}\) (Tidenhub \(3\,\text{m}\)). \(b=0{,}51\): Periode \(\tfrac{2\pi}{0{,}51}\approx12{,}3\,\text{h}\) — etwa zweimal Flut am Tag. \(c=2{,}1\): Um \(2{,}1\,\text{h}\) nach Beobachtungsbeginn erreicht das steigende Wasser den mittleren Stand.
Zeigen Sie, dass für jeden Winkel \((\sin\alpha)^2+(\cos\alpha)^2=1\) gilt.
Hinweis: Suchen Sie im Einheitskreis ein rechtwinkliges Dreieck.
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Musterlösung: Für \(P(\cos\alpha\,|\,\sin\alpha)\) bilden \(O\), \(P\) und der Lotfußpunkt auf der \(x\)-Achse ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen \(|\cos\alpha|\) und \(|\sin\alpha|\) und der Hypotenuse \(1\). Nach Pythagoras gilt \(|\cos\alpha|^2+|\sin\alpha|^2=1\); da Quadrate das Vorzeichen nicht beachten, folgt die Behauptung. Liegt \(P\) auf einer Achse, ist ein Wert \(0\) und der andere \(\pm1\) — die Gleichung stimmt auch dann.