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Übung AFB II

Gleichungen lösen, Parameter bestimmen, Modelle auswerten: zehn mehrschrittige Aufgaben mit gestuften Tipps.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben, die mehrere Schritte verbinden: Einheitskreis und Periode, Graph und Gleichung, Modell und Sachzusammenhang. Rechner im Modus Rad.

A1
Periode vorgeben
AFB II

Ein Vorgang wiederholt sich alle \(12\) Stunden.

Bestimmen Sie den Parameter \(b\) im Modell \(f(t)=a\sin(bt)+d\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

Ansatz: Periode \(p=12\) einsetzen in \(b=\tfrac{2\pi}{p}\).
Rechenweg: \(b=\tfrac{2\pi}{12}=\tfrac{\pi}{6}\).
Lösung: \(b\approx0{,}52\)
Vollständige Lösung
\(b=\tfrac{2\pi}{12}=\tfrac{\pi}{6}\approx0{,}52\). Hinweis: \(t\) muss dann in Stunden eingesetzt werden.
A2
Mittellinie und Amplitude
AFB II

Ein Sinusgraph hat als größten Wert \(5\) und als kleinsten Wert \(1\).

Bestimmen Sie \(a>0\) und \(d\).

Ansatz: Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen Max und Min.
Rechenweg: \(d=\tfrac{5+1}{2}\), \(a=\tfrac{5-1}{2}\).
Lösung: \(a=2\), \(d=3\)
Vollständige Lösung
\(d=\tfrac{5+1}{2}=3\) und \(a=\tfrac{5-1}{2}=2\).
A3
Ersten Hochpunkt bestimmen
AFB II

Gegeben ist \(f(x)=3\sin\big(2(x-\tfrac{\pi}{4})\big)+1\).

Bestimmen Sie den ersten Hochpunkt mit \(x>0\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

Ansatz: Der Sinus ist maximal, wenn sein Argument \(\tfrac{\pi}{2}\) ist.
Rechenweg: \(2(x-\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}\).
Lösung: \(H(\tfrac{\pi}{2}\,|\,4)\)
Vollständige Lösung
\(x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}57\), \(y=3\cdot1+1=4\). Also \(H(1{,}57\,|\,4)\).
A4
Negative Höhe
AFB II

Lösen Sie \(\sin(x)=-0{,}5\) im Intervall \([0;\,2\pi)\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen, kleinere Lösung zuerst.

Ansatz: Der Rechner liefert \(\sin^{-1}(-0{,}5)=-\tfrac{\pi}{6}\) — außerhalb des Intervalls.
Rechenweg: Zweite Lösung \(\pi-(-\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{7\pi}{6}\); erste \(-\tfrac{\pi}{6}+2\pi=\tfrac{11\pi}{6}\).
Lösung: \(x\approx3{,}67\) und \(x\approx5{,}76\)
Vollständige Lösung
\(\tfrac{7\pi}{6}\approx3{,}67\) und \(\tfrac{11\pi}{6}\approx5{,}76\). Hinweis: Negative Rechnerwerte erst um \(2\pi\) verschieben.
A5
Kosinusgleichung
AFB II

Lösen Sie \(\cos(x)=0{,}3\) im Intervall \([0;\,2\pi)\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

Ansatz: \(x_1=\cos^{-1}(0{,}3)\) im Modus Rad.
Rechenweg: Beim Kosinus spiegelt man an der \(x\)-Achse: \(x_2=2\pi-x_1\).
Lösung: \(x_1\approx1{,}27\), \(x_2\approx5{,}02\)
Vollständige Lösung
\(x_1=\cos^{-1}(0{,}3)\approx1{,}266\), \(x_2=2\pi-1{,}266\approx5{,}017\).
A6
Riesenrad
AFB II

Die Höhe einer Gondel wird durch \(h(t)=-20\cos\big(\tfrac{2\pi}{8}\,t\big)+23\) beschrieben (\(t\) in min, \(h\) in m).

Berechnen Sie die Höhe nach \(3\) Minuten. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

m
Ansatz: \(t=3\) einsetzen, Rechner im Modus Rad.
Rechenweg: \(\cos(\tfrac{3\pi}{4})\approx-0{,}7071\).
Lösung: \(h(3)\approx37{,}14\,\text{m}\)
Vollständige Lösung
\(h(3)=-20\cdot\cos(\tfrac{3\pi}{4})+23\approx-20\cdot(-0{,}7071)+23\approx37{,}14\,\text{m}\).
A7
Lösungen zählen
AFB II

Wie viele Lösungen hat \(\sin(2x)=0{,}4\) im Intervall \([0;\,2\pi]\)?

Ansatz: Die Periode von \(\sin(2x)\) ist \(\pi\).
Rechenweg: In \([0;\,2\pi]\) liegen zwei volle Perioden mit je zwei Schnittpunkten.
Lösung: \(4\) Lösungen
Vollständige Lösung
Periode \(\pi\), also zwei Perioden im Intervall; jede Periode liefert für \(0<0{,}4<1\) zwei Lösungen: insgesamt \(4\).
A8
Längster Tag
AFB II

Die Tageslänge in Hannover wird durch \(f(t)=4{,}3\sin\big(\tfrac{\pi}{6}(t-2{,}7)\big)+12{,}2\) modelliert (\(t\) in Monaten ab 1. Januar, \(f\) in h).

Bestimmen Sie die größte Tageslänge und den Zeitpunkt \(t\), an dem sie erreicht wird.

h
Ansatz: Maximum \(d+a\); Hochpunkt eine Viertelperiode nach \(c\).
Rechenweg: Periode \(p=\tfrac{2\pi}{\pi/6}=12\), also \(t=2{,}7+3\).
Lösung: \(16{,}5\,\text{h}\) bei \(t=5{,}7\)
Vollständige Lösung
Größter Wert \(12{,}2+4{,}3=16{,}5\,\text{h}\). Der Hochpunkt liegt bei \(t=c+\tfrac{p}{4}=2{,}7+3=5{,}7\) — etwa Ende Juni.
A9
Periode mit π im Argument
AFB II

Bestimmen Sie die Periode von \(g(x)=\sin(\pi x)\).

Ansatz: \(b=\pi\) in \(p=\tfrac{2\pi}{b}\) einsetzen.
Rechenweg: \(p=\tfrac{2\pi}{\pi}\).
Lösung: \(p=2\)
Vollständige Lösung
\(p=\tfrac{2\pi}{\pi}=2\). Der Graph wiederholt sich also nach \(2\) Einheiten.
A10
Gleichung mit b = 0,5
AFB II

Lösen Sie \(2\sin(0{,}5x)=1{,}2\) im Intervall \([0;\,2\pi]\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

Ansatz: Erst durch \(2\) teilen, dann \(u=0{,}5x\) setzen.
Rechenweg: \(\sin(u)=0{,}6\): \(u_1\approx0{,}6435\), \(u_2=\pi-u_1\approx2{,}4981\); dann \(x=2u\).
Lösung: \(x_1\approx1{,}29\), \(x_2\approx5{,}00\)
Vollständige Lösung
\(\sin(0{,}5x)=0{,}6\). Mit \(u=0{,}5x\in[0;\,\pi]\): \(u_1\approx0{,}6435\), \(u_2\approx2{,}4981\). Also \(x_1\approx1{,}29\), \(x_2\approx5{,}00\).