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Die Sinusfunktion

Zwei Sachaufgaben — vom Fahrradreflektor bis zu den Symmetrien der Welle.

1

Der Reflektor am Fahrrad

AFB I–II

Ein Reflektor sitzt an einer Speiche \(0{,}3\,\mathrm m\) von der Radachse entfernt. Seine Höhe über der Achse wird durch \(h(x)=0{,}3\cdot\sin(x)\) beschrieben. Dabei ist \(x\) der Drehwinkel im Bogenmaß, gemessen ab der waagerechten Lage vorn.

Höhe des Reflektors
xhπ/2π3π/22π5π/23π7π/24π−0,30,3
Zwei Umdrehungen; x in Bogenmaß, h in m.
  1. Nennen Sie die größte und die kleinste Höhe über der Achse sowie die zugehörigen Drehwinkel in \([0;\,2\pi]\).
  2. Berechnen Sie die Höhe für den Drehwinkel \(x=2\).
  3. Skizzieren Sie den Graphen von \(h\) für zwei volle Umdrehungen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wo hat \(\sin(x)\) seinen Hoch- und seinen Tiefpunkt?
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechner im Modus Rad.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zwei Umdrehungen entsprechen \(0\le x\le4\pi\). Markiere zuerst Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Größte Höhe \(0{,}3\,\mathrm m\) bei \(x=\tfrac{\pi}{2}\), kleinste \(-0{,}3\,\mathrm m\) (unter der Achse) bei \(x=\tfrac{3\pi}{2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h(2)=0{,}3\cdot\sin(2)\approx0{,}27\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zwei Wellen: Nullstellen bei \(0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi\), Hochpunkte \((\tfrac{\pi}{2}|0{,}3)\) und \((\tfrac{5\pi}{2}|0{,}3)\), Tiefpunkte \((\tfrac{3\pi}{2}|-0{,}3)\) und \((\tfrac{7\pi}{2}|-0{,}3)\); runde Kurve.

2

Symmetrien der Sinuskurve

AFB II–III

Am Graphen von \(f(x)=\sin(x)\) lassen sich Symmetrien ablesen. Leon behauptet: „Weil \(\sin(0)=\sin(\pi)=0\) ist, hat die Sinusfunktion die Periode \(\pi\).“

  1. Begründen Sie am Einheitskreis, dass \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\) gilt, und deuten Sie die Gleichung am Graphen.
  2. Untersuchen Sie, ob \(\sin(x+\pi)=-\sin(x)\) für alle \(x\) gilt.
  3. Beurteilen Sie Leons Behauptung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Spiegle den Kreispunkt an der \(y\)-Achse.
Hinweis zu Aufgabe b)
Um welchen Punkt dreht eine halbe Runde den Kreispunkt?
Hinweis zu Aufgabe c)
Eine Periode muss für alle \(x\) passen. Teste \(x=\tfrac{\pi}{2}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Punkte zu \(x\) und \(\pi-x\) liegen spiegelbildlich zur \(y\)-Achse, also gleich hoch. Am Graphen: Er ist achsensymmetrisch zur Senkrechten \(x=\tfrac{\pi}{2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ja: Eine halbe Runde weiter liegt der Kreispunkt dem alten genau gegenüber (Punktspiegelung am Ursprung), seine Höhe hat das umgekehrte Vorzeichen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Falsch. Zwei gleiche Werte reichen nicht: \(\sin(\tfrac{\pi}{2})=1\), aber \(\sin(\tfrac{\pi}{2}+\pi)=-1\). Nach \(\pi\) wiederholt sich der Graph nicht, erst nach \(2\pi\).