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Die Kosinusfunktion

Zehn Übungen zum Kosinus — und wie er mit dem Sinus zusammenhängt.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Eigenschaften des Kosinus
AFB I

Welche Aussagen gelten für f(x) = cos(x)?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Falle steckt in der letzten Zeile: sin(x − π/2) ist der Sinus nach rechts verschoben — das ergibt −cos(x). Richtig ist cos(x) = sin(x + π/2).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zur Kosinusfunktion.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Kosinus = Sinus, nur um eine Viertelperiode früher: Alles, was der Sinus bei x tut, tut der Kosinus bei x − π/2.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Kosinus eines Bogens ist die des Kreispunkts. Sein Graph beginnt bei x = 0 mit einem . Er ist zur y-Achse. Verschiebt man den Sinusgraphen um π/2 nach , erhält man den Kosinusgraphen. Die beider Funktionen ist 2π.

Nach rechts verschoben entsteht −cos(x) — der Graph beginnt dann mit einem Tiefpunkt.
A4
Sinus, Kosinus oder beide?
AFB I

Ordne jede Eigenschaft zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nur beim Sinus
2nur beim Kosinus
3bei beiden
Form, Periode und Wertebereich sind gleich — nur die Lage der besonderen Punkte ist um π/2 verschoben.
A5
Wert ohne Rechner
AFB I

Gib cos(5π/3) exakt als Dezimalzahl an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
5π/3 = 2π − π/3: Spiegelbild von π/3 an der x-Achse, gleiche x-Koordinate: cos(π/3) = 0,5. Das Vorzeichen bleibt positiv, weil der Punkt rechts liegt.
A6
Vom Sinus zum Kosinus
AFB II

Ordne die Schritte, mit denen man den Kosinusgraphen aus dem Sinusgraphen gewinnt.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Graph von sin(x) zeichnen.
2Hochpunkt (π/2 | 1) markieren.
3Den ganzen Graphen um π/2 nach links schieben.
4Der Hochpunkt landet bei (0 | 1).
5Das Ergebnis ist der Graph von cos(x) = sin(x + π/2).
Die Kontrolle mit dem Hochpunkt verhindert den häufigsten Fehler: Wer nach rechts schiebt, landet bei (π | 1) — das passt nicht zu cos(0) = 1.
A7
Rechenkette
AFB II

Es gilt cos(a) = 0,28 mit 0 < a < π/2. Bestimme ohne Rechner:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. cos(−a) =
  2. cos(2π − a) =
  3. cos(π − a) =
  4. sin(a + π/2) =
Achsensymmetrie und Periode lassen den Wert gleich; π − a spiegelt an der y-Achse und dreht das Vorzeichen der x-Koordinate um.
A8
Stelle und Kosinuswert
AFB II

Verbinde jede Stelle mit dem Wert von cos(x).

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
4π/3 liegt π/3 hinter π: gleicher Abstand zur y-Achse wie π/3, aber links — daher −0,5.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

6 Sätze aus einem Schulheft — 3 davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die Richtung der Verschiebung (Zeile 6) ist der Klassiker: Plus im Argument heißt links.
A10
Kosinuswerte einschätzen
AFB III

Wie groß ist cos(x) für die angegebene Zahl (Bogenmaß)? Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ≈ −1 (unter −0,9), 2 = −0,9 bis −0,2, 3 = −0,2 bis 0,2, 4 = 0,2 bis 0,9, 5 = ≈ 1 (über 0,9). Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = ≈ −1 (unter −0,9)5 = ≈ 1 (über 0,9)
cos(0,2)
cos(1,6)
cos(2,5)
cos(3)
cos(5,5)
Beim Kosinus zählt, wie weit der Punkt rechts oder links liegt: 1,6 ist knapp hinter π/2 (fast 0), 3 fast bei π (fast −1), 5,5 schon wieder rechts unten.