MINT lernen

Die Kosinusfunktion

Zwei Aufgaben — ein Schatten im Karussell und drei Terme für einen Graphen.

1

Der Schatten im Karussell

AFB I–II

Ein Kind sitzt in einem Karussell auf einem Kreis mit Radius \(4\,\mathrm m\). Die Sonne steht so, dass der Schatten des Kindes auf eine Gerade durch die Mitte fällt. Seine Lage wird durch \(s(x)=4\cdot\cos(x)\) beschrieben (\(x\) Drehwinkel im Bogenmaß, \(s\) in m).

  1. Geben Sie die Lage des Schattens für \(x=0\), \(x=\tfrac{\pi}{2}\) und \(x=\pi\) an.
  2. Berechnen Sie die Lage für \(x=2\).
  3. Erstellen Sie eine Wertetabelle für \(x=0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\dots,\pi\) und beschreiben Sie, wie schnell sich der Schatten bewegt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nutze die bekannten Kosinuswerte.
Hinweis zu Aufgabe b)
Modus Rad.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die Abstände benachbarter Werte.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s(0)=4\,\mathrm m\), \(s(\tfrac{\pi}{2})=0\,\mathrm m\) (Schatten in der Mitte), \(s(\pi)=-4\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(s(2)=4\cdot\cos(2)\approx-1{,}66\,\mathrm m\) — der Schatten liegt links der Mitte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(4;\ 2{,}83;\ 0;\ -2{,}83;\ -4\). In der Mitte bewegt sich der Schatten am schnellsten (Sprung um \(2{,}83\)), an den Rändern langsam (nur \(1{,}17\)) — dort kehrt er um.

2

Drei Terme, ein Graph

AFB II–III

Zum abgebildeten Graphen nennen drei Schüler einen Term. Mia: \(\sin(x+\tfrac{\pi}{2})\). Tom: \(\cos(x)\). Ben: \(\sin(x-\tfrac{3\pi}{2})\).

Der gesuchte Graph
xyπ/2π3π/22π−11
Ein Abschnitt von 0 bis 2π.
  1. Überprüfen Sie alle drei Vorschläge an den Stellen \(0\), \(\tfrac{\pi}{2}\) und \(\pi\).
  2. Begründen Sie, warum Bens Term trotz der anderen Verschiebung denselben Graphen liefert.
  3. Formulieren Sie eine allgemeine Regel, welche Verschiebungen des Sinusgraphen den Kosinus ergeben.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze die drei Stellen ein und vergleiche mit dem Graphen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie hängen \(+\tfrac{\pi}{2}\) und \(-\tfrac{3\pi}{2}\) zusammen?
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an \(k\cdot2\pi\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Alle liefern \(1;\ 0;\ -1\) — wie der Graph. Bei Ben: \(\sin(-\tfrac{3\pi}{2})=1\), \(\sin(-\pi)=0\), \(\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x-\tfrac{3\pi}{2}=(x+\tfrac{\pi}{2})-2\pi\). Eine Verschiebung um eine volle Periode ändert den Sinus nicht, also \(\sin(x-\tfrac{3\pi}{2})=\sin(x+\tfrac{\pi}{2})=\cos(x)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\cos(x)=\sin(x+\tfrac{\pi}{2}+k\cdot2\pi)\) für jede ganze Zahl \(k\): Nach links um \(\tfrac{\pi}{2}\) oder um \(\tfrac{\pi}{2}\) plus beliebig viele volle Perioden.